一類非線性時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性分析

李潔坤, 丁明智, 虞繼敏

(1.柳州師范高等專科學(xué)校數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系 廣西柳州545004; 2.廣西師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系 廣西南寧530023;3.重慶郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院 重慶400065)

一類非線性時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性分析

李潔坤1, 丁明智2, 虞繼敏3

(1.柳州師范高等專科學(xué)校數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系 廣西柳州545004; 2.廣西師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系 廣西南寧530023;3.重慶郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院 重慶400065)

研究了一類常時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局漸近穩(wěn)定性.通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov-Krasovskii泛函,利用線性矩陣不等式(LM I)得出了全局漸近穩(wěn)定性判據(jù).數(shù)值的例子驗(yàn)證了方法結(jié)果的有效性.

全局漸近穩(wěn)定性;線性矩陣不等式;Lyapunov-Krasovskii泛函;時(shí)滯

0 引言

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局漸近穩(wěn)定、平衡點(diǎn)的存在性和唯一性、動(dòng)力學(xué)特性受到許多專家學(xué)者的深切關(guān)注,并成功地應(yīng)用到信息處理、圖像處理、最優(yōu)化問題、模式識別等問題中.同時(shí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中時(shí)滯現(xiàn)象又是客觀存在的,有時(shí)是不可避免的,在研究的過程中常要考慮時(shí)滯的存在對整個(gè)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響.時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性分為兩類:一類是時(shí)滯相關(guān)的[1-2];另一類是時(shí)滯無關(guān)[3]的.時(shí)滯無關(guān)的判據(jù)趨于保守,尤其是時(shí)滯較小時(shí),而時(shí)滯相關(guān)通常具有較小的保守性.

文獻(xiàn)[4]通過變換把神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)變換成線性系統(tǒng),然后構(gòu)造Lyapunov函數(shù)得出全局漸近穩(wěn)定的一個(gè)充分條件且該條件是時(shí)滯相關(guān)的.文獻(xiàn)[5]引入自由權(quán)值矩陣得出兩個(gè)全局漸近穩(wěn)定性判據(jù),一個(gè)與時(shí)滯相關(guān),一個(gè)與時(shí)滯無關(guān).文獻(xiàn)[6]通過對Lyapunov范函導(dǎo)數(shù)上界進(jìn)行估計(jì),得出全局漸近穩(wěn)定性的一個(gè)充分條件與時(shí)滯無關(guān).本文通過構(gòu)造具有增廣形式的Lyapunov范函,利用牛頓-萊布尼茲公式,對系統(tǒng)方程引入自由權(quán)值矩陣,結(jié)合矩陣不等式技巧,得到了比文獻(xiàn)[4-6]限制性更少、條件更為寬松常時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局穩(wěn)定性的充分判據(jù).

1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

考慮如下的細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

或者其等價(jià)形式

其中,y(t)=[y1(t),y2(t),…,yn(t)]T是狀態(tài)向量,C是正定的對角矩陣,A=[aij]n×n,B=[bij]n×n分別表示狀態(tài)反饋矩陣和時(shí)滯反饋矩陣,J=[j1,j2,…,jn]T是外部輸入向量,τ>0為傳輸時(shí)滯,g(y(t))=[g1(y1(t)),g2(y2(t)),…,gn(yn(t))]T表示神經(jīng)元的激活非線性向量函數(shù).

(1)轉(zhuǎn)化為模型

或等價(jià)的系統(tǒng)模型

其中,x(t)=[x1(t),x2(t),…,xn(t)]T是新的狀態(tài)向量,f(x(t))=[f1(x1(t)),f2(x2(t)),…,fn(xn(t))]T是新的激活函數(shù),并且有

系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)y＊可以通過x(t)=y(t)-y＊平移到系統(tǒng)(3)的零點(diǎn)上.于是,系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)y＊的全局漸近穩(wěn)定性問題轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)(3)的關(guān)于零點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性問題.

2 主要結(jié)果

定理1在條件(5)成立的條件下,如果存在正定矩陣P,Q,Z,半正定對角矩陣Tj=diag(tj1,tj2,…,tjn)≥0, j=1,2,D=diag(d1,d2,…,dn)≥0,適維矩陣N=[NT1,NT2,NT3,NT4]T,使得矩陣不等式滿足Θ<0,那么,系統(tǒng)(4)關(guān)于原點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的,且時(shí)滯相關(guān)的,

其中,

證明 構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii范函V=V1+V2+V3+V4,其中,

沿系統(tǒng)(4)的解軌線,計(jì)算Vi(i=1,2,3,4)關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù):

又由(5)有

由式(6)和式(8)得˙V<ζT(t)(Ω+N Z-1NT)ζ(t)=ζT(t)Θζ(t)<0.從而,系統(tǒng)(4)關(guān)于原點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的,且時(shí)滯相關(guān)的.

為了說明得到的判據(jù)比以前結(jié)果的優(yōu)越性,令Z=0,N=0得到系統(tǒng)(4)在原點(diǎn)時(shí)滯無關(guān)的全局穩(wěn)定性判據(jù).

推論1在條件(5)成立的條件下,如果存在正定矩陣P,Q,Tj=diag(tj1,tj2,…,tjn)≥0,使得矩陣不等式滿足Θ<0,那么系統(tǒng)(4)關(guān)于原點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的.其中,

在推論1中,令Q11=0,Q12=0,T1=D,T2=0,得文獻(xiàn)[6]的結(jié)論.

若令C=I,則(4)變?yōu)?

推論2如果存在正定矩陣P=[Pij]∈Rn×n,Q=[qij]∈Rn×n和半正定對角矩陣D=diag(d1,d2,…,dn)≥

如果保留˙x(t)項(xiàng),利用系統(tǒng)(4)的方程引入自由權(quán)值矩陣,我們有定理2.

定理2在條件(5)成立的條件下,如果存在正定矩陣P,Q,Z,和半正定對角矩陣Tj=diag(tj1,tj2,…,tjn)≥0,j=1,2.適維矩陣N=[N1T,N2T,N3T,N4T,N5T]T和適維矩陣M=[M1T,M2T,M3T,M4T,M5T]T,使得矩陣不等式滿足Θ<0,那么系統(tǒng)(4)關(guān)于原點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的,且時(shí)滯相關(guān)的.其中

證明 構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii范函如(7),類似定理1的證明(略).

在定理2中,我們令Z=0,N=0得到系統(tǒng)(4)在原點(diǎn)時(shí)滯無關(guān)的全局穩(wěn)定性判據(jù).

推論3在條件(5)成立的條件下,如果存在正定矩陣P,Q,半正定對角矩陣Tj=diag(tj1,tj2,…,tjn),j=1,

2,使得矩陣不等式滿足Υ<0,那么系統(tǒng)(4)關(guān)于原點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的.其中,

在推論3中,如令M4=0,M5=0,T2=0,Q12=0,D=0,得類似文獻(xiàn)[5]的結(jié)果.

推論4在條件(5)成立的條件下,如果存在正定矩陣P,Q,Tj=diag(tj1,tj2,…,tjn),j=1,使得矩陣不等式滿足^Υ<0,那么系統(tǒng)(4)關(guān)于原點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的.其中,

3 舉例及仿真

為了說明所得結(jié)果的有效性條件的寬松性,我們舉例與先前文獻(xiàn)的結(jié)果相比較.用matlab中DDE23程序求解時(shí)滯微分方程,用LM I工具箱求解定理中的線性矩陣不等式.

例1 考慮如下的時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),

應(yīng)用推論1,通過matlab的LM I工具箱求得一個(gè)可行解:

圖1 系統(tǒng)(10)時(shí)間狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.1 System(10)time response curve of the state

當(dāng)初始值為(-1,1)、時(shí)滯為τ=127時(shí)系統(tǒng)(10)時(shí)間狀態(tài)響應(yīng)曲線如圖1所示.因此,根據(jù)推論1～4知,該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的,且與時(shí)滯無關(guān)的.而文獻(xiàn)[4]的結(jié)果與時(shí)滯相關(guān)的,這就意味著我們的結(jié)果比文獻(xiàn)[4]具有更少的保守性.

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Stability Analysis of Celluar Neural Networks with Delay

L IJie-kun1, D INGM ing-zhi2, YU Ji-min3
(1.Department of M athem atics and Com puter Science,L iuzhou Teachers College,L iuzhou 545004, China;2.Department of M athem atics and Com puter Science,Guangxi Teachers Education University, N anning 530023,China;3.College of M athem atics and Physics,Chongqing University of Posts and Elecomm unications,Chongqing 400065,China)

The global asymp totic stability of celluar neural networks w ith constant delay is studied.An app rop riate type of Lyapunov-Krasovskii functions and the linear matrix inequatity (LM I)app roach are p roposed to investigate the p roblem.An imp roved global asymp totic stability criterion is also derived.Numerical examp le demonstrates the effectiveness of the criterion.

global asymp totic stability;linear matrix inequatity;Lyapunov-Krasovskii functionals;delay

O 231.2

A

1671-6841(2010)03-0054-05

2010-01-18

重慶市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目,編號2009BB3280.

李潔坤(1967-),女,副教授,主要從事時(shí)滯系統(tǒng)控制研究,lzszljk@163.com.