用山路引理證明擬線性方程組正解的存在性

祁瑞改, 楊國(guó)英

(河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 河南焦作454000)

用山路引理證明擬線性方程組正解的存在性

祁瑞改, 楊國(guó)英

(河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 河南焦作454000)

考察了一類帶有Dirichlet邊界條件的p-Lap lacian方程組的正解.主要用山路引理給出在合適的參數(shù)條件下方程組解的存在性,再利用方程的積分不等式等得到解的非負(fù)性結(jié)論.

p-Lap lacian方程組;山路引理;臨界點(diǎn)

0 引言

本文主要討論下述帶有Dirichlet邊界條件的p-Laplacian擬線性方程組

對(duì)于含有p-Laplacian的單個(gè)方程,正解的存在性和多解性結(jié)果很多,主要用到變分法、拓?fù)涠壤碚摰萚1-2].對(duì)于含有p-Laplacian擬線性橢圓型方程(組)的邊值問題,許多學(xué)者用上下解方法、爆破方法、纖維方法等討論了正解的存在性和不存在性[3-5].

本文主要是通過山路引理證明泛涵存在臨界點(diǎn),進(jìn)而證明方程組(1)存在正解.

1 基本假設(shè)

定義Sobolev空間D1,p(RN)和D1,q(RN)是C0∞(RN)分別關(guān)于范數(shù)

基本假設(shè)如下:

其中,

另外,

并且相應(yīng)于λp方程在上存在一正解φ[6].同理,對(duì)于方程,記

并且相應(yīng)于λq方程在D1,q(RN){0}上存在一正解ψ.

2 主要結(jié)論

首先建立泛函J:D→R如下:

顯然,J(u,v)的臨界點(diǎn)是方程組(1)的弱解.

引理1當(dāng)時(shí),存在s>0和t>0,使得時(shí),有J(u,v)≥t成立.

證明令,因此,和兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)不小于1,不妨設(shè),從而有

由H?lder不等式和嵌入定理,得

引理2當(dāng)λ>0時(shí),對(duì)任意給定的s>0和t>0,存在(u0,v0)∈D使得‖(u0,v0)‖>s和J(u0,v0)

證明選取,且當(dāng)x∈A+時(shí),u>0,v>0,對(duì)所有的k>0,有

由假設(shè)α+β+2q1和a(x)>0(x∈A+),可知當(dāng)k→+∞時(shí),

令(u0,v0)=(ku,kv),則總存在充分大的k,使和J(u0,v0)

定理1假設(shè)(2)～(6)成立,當(dāng)

證明易知D=D1,p(RN)×D1,q(RN)是Banach空間,并且J(u,v)是C1(D1,p(RN)×D1,q(RN),R)上滿足P.S.條件的連續(xù)函數(shù)[7-8].在假設(shè)(2)～(6)條件下,引理1和引理2顯然成立,再由山路引理可得,泛函J存在臨界點(diǎn)(′)∈D1,p(RN)×D1,q(RN)使得′(′)=0,J(′)=J(h(t)),其中,h(t)是連接(0,0)和(u0,v0)的一條道路,Φ由D中連接(0,0)和(u0,v0)的所有道路組成,從而(u′,v′)是方程組(1)的弱解.

下面驗(yàn)證弱解的非負(fù)性.

記u-=max(0,-u′)?0,v-=max(0,-u′)?0,其中,(u′,v′)∈D1,p(RN)×D1,q(RN)是方程(1)的解.對(duì)方程組(1)第一個(gè)式的兩邊同時(shí)乘以u(píng)-,并在RN上積分,得

顯然,這與(7)式矛盾,所以u(píng)′≥0.同理可證,v′≥0.

顯然,(u′,v′)?(0,0).假設(shè)(u′,0)是方程組(1)的解,則u′≥0,且u′?0.把(u′,0)帶入方程組(1),兩邊同時(shí)乘以u(píng)′,并在RN上積分,可得

顯然,這與(7)式矛盾,所以(u′,0)不是方程組(1)的解.同理驗(yàn)證(0,v′)也不是方程組(1)解,所以(u′, v′)是方程組(1)的一正解.證畢.

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Existence of Positive Solution for Quasilinear Systems via Mountain Pass Lemma

Q IRui-gai, YANG Guo-ying
(Department of M athem atics,Henan Poly technic University,Jiaozuo 454000,China)

A p-Lap lacian system w ith Dirichlet boundary conditions is investigated.By using the mountain pass lemma and the p roperty of integral,the result of the existence of positive solutions w ith suitable parameters is obtained.

p-Lap lacian system;mountain pass lemma;critical point

O 175.25

A

1671-6841(2010)03-0019-04

2009-06-21

河南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目,編號(hào)082300410310;河南理工大學(xué)博士基金資助項(xiàng)目,編號(hào)B2008-56;河南理工大學(xué)研究生學(xué)位論文創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目,編號(hào)2008-M-29.

祁瑞改(1983-),女,碩士研究生,主要從事橢圓型方程組正解的存在性研究,E-mail:qiruigai@163.com.