雙參數(shù)指數(shù)分布參數(shù)的最短區(qū)間估計

周世國, 張新育, 蘇 慶

(鄭州大學(xué)數(shù)學(xué)系 河南鄭州450001)

雙參數(shù)指數(shù)分布參數(shù)的最短區(qū)間估計

周世國, 張新育, 蘇 慶

(鄭州大學(xué)數(shù)學(xué)系 河南鄭州450001)

研究了雙參數(shù)指數(shù)分布的區(qū)間估計方法.首先討論了當(dāng)其中一參數(shù)為已知,而另一參數(shù)未知時,雙參數(shù)指數(shù)分布尺度參數(shù)基于選定樞軸變量的最短區(qū)間估計方法;然后討論了兩參數(shù)均未知的情況下,參數(shù)的最短置信區(qū)間估計方法.

雙參數(shù)指數(shù)分布;區(qū)間估計;最短置信區(qū)間

0 引言

未知參數(shù)最短置信區(qū)間的估計問題實際上是一個條件極值問題,可以被轉(zhuǎn)化為一個方程組,從而可用數(shù)值計算的方法迭代求解.未知參數(shù)θ的區(qū)間估計與其點估計相比有著明顯的優(yōu)勢,它不僅給出了參數(shù)真值所在的范圍,還給出了該范圍包含真值的可信程度.因此在置信水平1-α確定的前提下,置信區(qū)間的長度越短越好.如果樞軸量的密度是單峰對稱函數(shù),顯然當(dāng)兩側(cè)各取α/2時,置信區(qū)間長度為最短;如果樞軸量的概率密度非對稱,目前常用的方法[1-3]仍是按對稱情況來處理,但這樣確定的置信區(qū)間一般并非最短.本文首先給出總體服從指數(shù)分布參數(shù)的區(qū)間估計方法,然后在此基礎(chǔ)上研究最短區(qū)間估計的問題.

1 當(dāng)μ已知時,關(guān)于σ的最短置信區(qū)間估計

定理1設(shè)X1,X2,…,Xn為雙參數(shù)指數(shù)分布總體X～E(μ,σ)的一個簡單樣本,則

證明因為X～E(μ,σ),故(X-μ)/σ～E(1).

由于m個獨立同分布的指數(shù)變量之和為伽瑪變量[4],即

由定理1知,可以用Gn作為σ區(qū)間估計的樞軸量.選取分位點a,b,使P{a

由于n,σ與a,b的選取無關(guān),所以求最短區(qū)間問題即化為求解下述條件極值問題

采用Lagrange乘子法[5],令可得

定理2條件極值問題(1)在n≥2時有解,且解唯一.

證明令h(x)=xn+1e-x(x≥0),可知h(x)為單峰函數(shù),且在x0=n+1處達到最大值.由單峰函數(shù)的性質(zhì)可知,只需b>n+1,a

f(x,n)與h(x)性質(zhì)類似,在x0=n-1處達到峰值,當(dāng)b增加到b0時,對應(yīng)的a減小到a0=u(b0),所以是關(guān)于b單調(diào)增加的,易知當(dāng)b→∞時,u(b)→0;當(dāng)b→n+1時,u(b)→n+1,故有

所以(1),(2)有唯一的解b＊,a＊=u(b＊),而σ的最短置信區(qū)間為

其中a＊,b＊可通過軟件[6]求解方程組得到.

例1已知某種電子元件的使用壽命服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布.現(xiàn)從中抽取10個元件進行壽命檢測,獲得數(shù)據(jù)如下(單位:h):1050,1100,1080,1200,1300,1250,1340,1060,1150,1150,求在置信度為95%下的最短置信區(qū)間.

2 當(dāng)σ已知時,關(guān)于μ的最短置信區(qū)間估計

求最短區(qū)間問題即化為求解條件極值問題:

仍采用Lagrange乘子法,仿照1,可得μ的最短置信區(qū)間為,其中a＊,b＊可通過軟件

3 當(dāng)μ,σ均未知時,關(guān)于μ,σ的最短置信區(qū)間估計

引理1設(shè)X1,X2,…,Xn獨立同分布于E(1),X(1),…,X(n)為其次序樣本,則

3)X(1),Yr之間相互獨立,r=2,3,…,n.

證明 利用次序統(tǒng)計量密度函數(shù)公式[4]:

當(dāng)zr≥0時,

當(dāng)zr<0時,pZr(zr)=0,所以Zr～E(n-r+1),因此Yr=(n-r+1)Zr～E(1).即證得2)成立.下面證明X(1),Yr之間相互獨立,再令Z1=X(1),則只需證明Zr之間相互獨立,r=1,2,3,…,n.對于次序統(tǒng)計量X(1),…,X(n),其聯(lián)合分布函數(shù)為

(ⅰ)當(dāng)zr≥0,r=1,2,…,n時,

所以Zr之間相互獨立(r=1,2,3,…,n);即X(1),Yr之間相互獨立(r=2,…,n),即證得3)成立.

定理3設(shè)X1,X2,X3,…,Xn為來自雙參數(shù)指數(shù)分布E(μ,σ)的一個簡單樣本,令Y=X(1),S=,則(Y,S)為(μ,σ)的一組充分統(tǒng)計量,且Y,S獨立.

證明樣本的概率函數(shù)為

由因子分解定理[4]可知,是(μ,σ)的一組充分統(tǒng)計量,而顯然與(Y,S)之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系,所以(Y,S)也是(μ,σ)的一組充分統(tǒng)計量.令,r=1,2,…,n,則T獨立同分布于Er(1).

3.1 關(guān)于σ最短置信區(qū)間估計

采用Lagrange乘子法,仿照(1)可得σ的最短置信區(qū)間為,其中a＊,b＊通過軟件求解方程組得到.

3.2 關(guān)于σ的最短置信區(qū)間估計

當(dāng)g<0時,pG(g)=0.

顯然這樣的a,b不存在,所以上述問題極值在邊界達到,比較端點得μ的最短置信區(qū)間為X(1)),其中a＊由方程得到.

例2以下一組數(shù)據(jù)(數(shù)據(jù)選取于參考文獻[3])被認(rèn)為來自雙參數(shù)指數(shù)分布電子元器件的失效時間,求在置信度為95%下的區(qū)間估計,

對σ的估計,常規(guī)等尾置信區(qū)間的分位點計為2.198和11.639.

對μ的估計,常規(guī)等尾置信區(qū)間的分位點為1.182和230.971;μ的常規(guī)等尾置信區(qū)間為

[1] 蔣福坤,劉正春.指數(shù)分布參數(shù)的最短置信區(qū)間[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理,2004(5):43-55.

[2] 袁長迎,徐明民.伽馬分布參數(shù)的最短置信區(qū)間[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理,2006(7):435-437.

[3] 周莉.雙參數(shù)指數(shù)分布的比較[J].煙臺師范學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2005,21(4):250-253.

[4] 羅俊明,代寧,等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].鄭州:鄭州大學(xué)出版社,2002.

[5] 閆戰(zhàn)立.微積分[M].北京:高等教育出版社,2007:115-121.

[6] 郝黎仁,李寶麟,何鳳蘭,等.Mathcad 2001及概率統(tǒng)計應(yīng)用[M].北京:高等教育出版社,2002:50-151.

The Shortest Interval Estimates on Exponential Distribution with Two-parameter

ZHOU Shi-guo, ZHANG Xin-yu, SU Qing
(Department of M athem atics,Zhengzhou University,Zhengzhou 450001,China)

Themethod of interval estimate on exponential distribution w ith two-parameter is studied.Firstly,the shortest confidence interval of scale parameter based on chosen pivot variables for exponential distribution w ith two-parameter is studied on condition that the other parameter has been know n.Then the methods of the sho rtest confidence interval of scale parameters based on chosen pivot variables fo r two-parameter exponential distribution are discussed under the condition that no parameter has been know n.

exponential distribution with two-parameter;interval estimate;shortest confidence interval

O 212.1

A

1671-6841(2010)03-0001-06

2009-09-10

國家自然科學(xué)基金資助項目,編號10671183.

周世國(1971-),男,副教授,碩士,主要從事概率統(tǒng)計理論及其應(yīng)用研究,E-mail:haoyu1019@vip.sohu.com.