三個(gè)著名無理數(shù)的有理表達(dá)式

廖紅菊

（恩施職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖北 恩施 445000）

三個(gè)著名無理數(shù)的有理表達(dá)式

廖紅菊

（恩施職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖北 恩施 445000）

π、е、φ是數(shù)學(xué)上三個(gè)著名的無理數(shù)，在初等數(shù)學(xué)看來，無理數(shù)與有理數(shù)是不相容的。但用高等數(shù)學(xué)的極限、級(jí)數(shù)思想方法，π，е，φ三個(gè)無理數(shù)卻能用有理數(shù)表達(dá)，這說明二者既對(duì)立又統(tǒng)一。

無理數(shù)；有理數(shù)；表達(dá)式

初等數(shù)學(xué)實(shí)數(shù)的分類中，有{有理數(shù)}∪{無理數(shù)}＝{實(shí)數(shù)}，而{有理數(shù)}∩{無理數(shù)}＝Ф，所以有理數(shù)與無理數(shù)既對(duì)立又統(tǒng)一。有理數(shù)可表成（p，q為互質(zhì)的整數(shù)，0除外）的形式；無理數(shù)是無限不循環(huán)的小數(shù)，它不能表成（p，q為互質(zhì)的整數(shù)）的形式，即在初等數(shù)學(xué)中，無理數(shù)與有理數(shù)不能互相表示，二者也是不相容的。但在高等數(shù)學(xué)中，用極限、級(jí)數(shù)的思想方法，無理數(shù)與有理數(shù)卻能相互表示。本文主要介紹三個(gè)著名無理數(shù)π，е，φ的有理表達(dá)式。

1 圓周率π

π是一個(gè)非常重要的數(shù)，它是指平面上圓周長(zhǎng)與直徑的比值。1600年，英國威廉·奧托蘭特首先使用π表示圓周率；公元前200年間，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德首先用圓外切與內(nèi)接多邊形的周長(zhǎng)從大、小兩個(gè)方向上同時(shí)逐步逼近圓的周長(zhǎng)，從理論上給出π值的求法；公元200年間，我國數(shù)學(xué)家劉徽用極限方法——割圓術(shù)，提供了求圓周率π的科學(xué)方法；萊布尼茨、歐拉等數(shù)學(xué)家也找到了求圓周率的其它方法。π架起了三角與代數(shù)的橋梁，在初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中是出現(xiàn)頻率最多的無理數(shù)。

π是無理數(shù)，它不能表示成兩個(gè)整數(shù)之商，但它能用無窮個(gè)有理數(shù)既有規(guī)律又簡(jiǎn)明地表達(dá)。

2 自然對(duì)數(shù)的底數(shù)е

無理數(shù)е也能用有理數(shù)有序而和諧地表達(dá)。

如在еx的麥克勞林級(jí)數(shù)：

3 黃金分割數(shù)φ

公元前500年，古希臘學(xué)者發(fā)現(xiàn)了“黃金”長(zhǎng)方形，即長(zhǎng)方形的寬和長(zhǎng)之比φ＝0.618時(shí)，看起來令人賞心悅目，這個(gè)比叫黃金比（也稱黃金數(shù)）。

這神奇的黃金數(shù)，為什么能使數(shù)學(xué)家和藝術(shù)家都對(duì)它“情有獨(dú)鐘”呢？古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家柏拉圖說：“美就是恰當(dāng)。”德國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡爾說：“美是一種恰到好處的協(xié)調(diào)和適中?！?/p>

黃金數(shù)φ仍能僅用數(shù)“1”完整地表達(dá)。

有理數(shù)也能用無理數(shù)表達(dá)，如著名的裴波那契數(shù)列的每一項(xiàng)都是自然數(shù)，但其通項(xiàng)公式為：

有理數(shù)與無理數(shù)在高等數(shù)學(xué)的思想方法中達(dá)到了和諧統(tǒng)一，正如數(shù)學(xué)中的加與減、乘與除、指數(shù)與對(duì)數(shù)、微分與積分等運(yùn)算一樣，是一分為二成對(duì)出現(xiàn)的，二者既對(duì)立又統(tǒng)一。

1 易南軒著.數(shù)學(xué)美拾趣［M］.北京：科學(xué)出版社，2004

2 李雍等著.數(shù)學(xué)和諧美［M］.大連：大連理工大學(xué)出版社，2009

3 劉玉鏈等著.數(shù)學(xué)分析講義［M］.北京：高等教育出版社，2008

Rational Expression of Three Famous Irrational Num ber

Liao Hongju

π, е, φ are three famous irrational numbers in mathematics. In elementary mathematics view, irrational and rational numbers are incompatible. However, π, е, φ can use rational expression to present the limit of advanced mathematics and Series thinking. It shows that they are both opposite and unified.

irrational number; rational number; expression

O156.1

A

1000－8136（2010）33－0127－02