一種基于J-無損分解的性能加權(quán)函數(shù)優(yōu)化設(shè)計

韓蕾， 傅紹文

（1.中國民航大學(xué)航空自動化學(xué)院，天津 300300;2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制與仿真中心，黑龍江哈爾濱 150080）

0 引言

H∞控制理論在線性時不變系統(tǒng)魯棒控制方面一直擔(dān)負(fù)著重要角色，而加權(quán)函數(shù)選擇是其在實際應(yīng)用中成功與否的關(guān)鍵。文獻(xiàn)［1］通過L綜合方法指出了伺服系統(tǒng)權(quán)函數(shù)選取的方向。文獻(xiàn)［2］討論了加權(quán)函數(shù)構(gòu)造的一般化方法。伺服系統(tǒng)控制器設(shè)計的一個重要目標(biāo)是達(dá)到系統(tǒng)的性能極限，性能加權(quán)函數(shù)優(yōu)化反映了這種要求。一般而言，達(dá)到系統(tǒng)的最好性能，需要將閉環(huán)系統(tǒng)控制器與性能加權(quán)函數(shù)同時加以優(yōu)化［3］。文獻(xiàn)［4］給出頻域內(nèi)有限個頻率點的性能加權(quán)函數(shù)優(yōu)化算法，隨著頻率點選取數(shù)量增多，計算量非常大。文獻(xiàn)［5］在系統(tǒng)狀態(tài)空間內(nèi)通過分解技術(shù)得出一種性能加權(quán)函數(shù)優(yōu)化算法，但算法中矩陣乘積的可交換條件很難滿足。

本文提出一種新的、易于計算的性能加權(quán)函數(shù)優(yōu)化方法。首先利用閉環(huán)系統(tǒng)性能最優(yōu)的條件，給出性能加權(quán)函數(shù)優(yōu)化算法的迭代步驟。然后根據(jù)Bode積分關(guān)系以及H∞最優(yōu)控制結(jié)果的全通特性，證明了算法的收斂性。最后基于J-無損分解方法給出了算法迭代過程中性能加權(quán)函數(shù)的更新公式。

1 性能加權(quán)函數(shù)優(yōu)化方法

H∞控制經(jīng)常將設(shè)計問題歸納成混合靈敏度問題，如圖1所示。

圖1 混合靈敏度問題Fig．1 Mixed sensitivity problem

其中:G（s）為被控對象;K（s）為閉環(huán)系統(tǒng)控制器;We（s）是性能加權(quán)函數(shù)，在控制器設(shè)計中可以調(diào)整;WT（s）是系統(tǒng)不確定性加權(quán)函數(shù)，在控制器設(shè)計中是固定不變的?；旌响`敏度問題中用靈敏度函數(shù)S和補靈敏度函數(shù)T分別表示對系統(tǒng)的要求或約束，具體來說就是求解如下H∞優(yōu)化問題，為

式中:S=（1+GK）－1;T=GK（1+GK）－1。所謂最優(yōu)性能加權(quán)函數(shù)是指符合閉環(huán)系統(tǒng)性能要求且滿足如下條件的Wep［6］，即

1．1 性能加權(quán)函數(shù)優(yōu)化算法迭代步驟

We表征了閉環(huán)系統(tǒng)對干擾的抑制水平以及靈敏度要求，一般具有低通特性。給定初始的性能加權(quán)函數(shù)We0，求解H∞最優(yōu)控制問題

假定γ0<1。性能加權(quán)函數(shù)優(yōu)化算法的指標(biāo)可描述為:計算 Wep，滿足式（2），且有 ˉσ（Wep（jω））>ˉσ（We0（jω）），?ω。

給出性能加權(quán)函數(shù)優(yōu)化算法的迭代步驟為:

步驟一:給定初始性能加權(quán)函數(shù)We0，求解H∞

步驟三:令We0=We1，重復(fù)步驟一、二，直到閉環(huán)系統(tǒng)范數(shù)收斂到1。

1．2 算法收斂性分析

最優(yōu)控制問題，得到最優(yōu)控制器K0，閉環(huán)系統(tǒng)H∞范數(shù) γ0。

步驟二:控制器固定為K0，求解We1，滿足

系統(tǒng)不確定性一般在高頻影響顯著，在系統(tǒng)不確定性影響較大的頻段ω>ωm內(nèi)，為保證系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性有‖GK‖∞?1，ln（ˉσ（S））≈0。由于 H∞最優(yōu)控制設(shè)計結(jié)果使得閉環(huán)系統(tǒng)具有全通特性，即曲線 －ln（ˉσ（S））與 ln（ˉσ（We））之差 Δ（ω）在低頻段0<ω<ωm上為常值，如圖2所示。因此有

圖2 性能權(quán)函數(shù)與靈敏度函數(shù)關(guān)系Fig．2 The relation between performance weight function and sensitivity function

1．3 基于J-無損分解的We1求取

下面討論性能加權(quán)函數(shù)優(yōu)化迭代算法步驟二中We1的求取，結(jié)果表明不必借助步驟一中的控制器K0，即可由 We0、γ0以及 WT得出 We1。

由于性能加權(quán)函數(shù)主要表征了系統(tǒng)對低頻區(qū)域的要求，而系統(tǒng)的不確定性一般在高頻較大，式（8）可簡化為

此時，采用如上性能加權(quán)函數(shù)優(yōu)化算法，滿足前述指標(biāo)要求:由算法收斂性證明過程可知隨著迭代次數(shù)增加，閉環(huán)系統(tǒng)范數(shù)收斂到1，且有ˉσ（We1（jω））>ˉσ（We0（jω）），?ω。其迭代步驟可簡化為

步驟一:給定性能加權(quán)函數(shù)We0，求解H∞最優(yōu)控制問題，得到閉環(huán)系統(tǒng)H∞范數(shù)γ0;

步驟二:令 We0=We0/γ0，重復(fù)步驟一，直到閉環(huán)系統(tǒng)范數(shù)收斂到1附近。

2 仿真實例

在圖1所示的系統(tǒng)中，給定不確定性加權(quán)函數(shù)、被控對象傳遞函數(shù)以及初始性能加權(quán)函數(shù)為

算法經(jīng)過10次迭代后，閉環(huán)系統(tǒng)H∞范數(shù)收斂到0.992，得到最優(yōu)性能加權(quán)函數(shù)為

圖4 算法迭代中閉環(huán)系統(tǒng)范數(shù)γFig．4 γ of the closed loop during algorithm’s iteration

3 結(jié)語

所提出性能加權(quán)函數(shù)優(yōu)化算法具有非常簡單的表達(dá)形式，易于迭代計算，且具有較快的收斂速度。雖然算法的得出是以混合靈敏度問題為背景的，但經(jīng)過類似的推導(dǎo)過程可知對于一般的H∞控制問題該算法仍然適用。

［1］ 王廣雄，何雨奮.伺服設(shè)計的性能極限［J］.電機與控制學(xué)報，1997，1（4）:238－240.

WANG Guangxiong，HE Yufen.Performance limit of servo design［J］.Electric Machines and Control，1997，1（4）:238 －240.

［2］ 王曦，曾慶福.頻域不確定性系統(tǒng)加權(quán)混合靈敏度函數(shù)頻域整形［J］.航空學(xué)報，1999，20（4）:358－361.

WANG Xi，ZENG Qingfu.Frequency shaping of mixed weighted sensitivity function for frequency uncertainty systems［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，1999，20（4）:358－361.

［3］LANZON Alexander.Weight Optimisation in H∞Loop-shaping［J］.Automatica，2005，41:1201 －1208.

［4］LANZON Alexander.Pointwise in frequency performance weight optimization in μ synthesis［J］.International Journal of Robust and Nonlinear Control，2005，15（2）:171 －199.

［5］LANZON Alexander.On the formulation and solution of robust performance problems［J］.Automatica，2003，39（11）:1707－1720.

［6］ 王廣雄.H∞控制中的LMI法.電機與控制學(xué)報［J］.1997，1（2）:71－74.

WANG Guangxiong.On the LMI Approach to H∞Control［J］.E-lectric Machines and Control，1997，1（2）:71 －74.

［7］ GREEN M，GLOVER K，LIMEBEER D，et al.A J-spectral factorization approach to H∞control［J］.SIAM Journal of Control and Optimization，1990，28（6）:1350－1371.

（編輯:劉素菊）