利用物理模型解決彈簧類問題

馬立收

(南宮中學(xué) 河北 南宮 055750)

彈簧問題經(jīng)常出現(xiàn)在高考中，是由于彈簧和與其相連的物體構(gòu)成的系統(tǒng)相互作用時(shí)涉及到的物理規(guī)律比較多、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)比較復(fù)雜、所給條件比較隱蔽.彈簧問題能考查學(xué)生分析物理過程、建立物理模型的能力，對(duì)學(xué)生思維能力和知識(shí)遷移能力的要求也比較高.

彈簧類問題題型多樣，但用模型法分析彈簧與其相連的物體還是有章可循的.

1 彈簧與其相連的物體處于靜止?fàn)顟B(tài)或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的模型

彈簧處于壓縮或伸長時(shí)彈力沿彈簧方向，利用胡克定律和平衡條件是解決此類問題的基本方法.有時(shí)也利用彈簧的彈力不突變的特點(diǎn)來解題.

【例1】如圖1，小球重為G，固定在半徑為R的大環(huán)上.輕彈簧原長為L(L<2R)其勁度系數(shù)為κ，接觸面光滑.求小球靜止時(shí)彈簧與豎直方向的夾角α.

圖1

圖2

解析：以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，受力如圖2.若在圖1中彈簧處于壓縮狀態(tài)，則小球與環(huán)的彈力無論向里還是向外均無法平衡.所以彈簧一定處于伸長狀態(tài).由圖2中F′在N、G的角平分線上，根據(jù)平衡條件：

F=2mgcosα

(1)

由胡克定律可得

F=κx=κ(2Rcosα-L)

(2)

由以上兩式得

【例2】如圖3所示，質(zhì)量為m的小球在不可伸長的繩AC和輕彈簧BC作用下靜止，且AC=BC，∠BAC=θ.突然在小球附近剪斷繩子時(shí)，求小球的加速度.

圖3

解析:小球平衡時(shí)水平方向

T1cosθ=T2cosθ

(3)

豎直方向

T1sinθ+T2sinθ=mg

(4)

由(3)、(4)式得

所以剪斷后

得

方向沿AC向下.

圖4

【例3】如圖4，質(zhì)量為m1、m2的木塊用一根原長為L勁度系數(shù)為κ的輕彈簧相連，木塊與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，現(xiàn)用一水平力向右拉木塊2.

求:當(dāng)兩木塊一起勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩木塊之間的距離.

解析:適當(dāng)選取研究對(duì)象，利用平衡條件求解.

以木塊1為研究對(duì)象

μm1g=κx

(5)

得

所以

2 彈簧與其相連的物體處于勻變速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的模型

抓住運(yùn)動(dòng)過程中彈簧彈力為一變量的特征，充分挖掘隱含條件，利用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和胡克定律解題.

【例4】勁度系數(shù)為κ的彈簧掛在天花板的O點(diǎn)，下端掛一質(zhì)量為m的木塊用托盤托著，使彈簧位于原長.然后使其以加速度a由靜止開始勻加速下降，求物體勻加速下降的時(shí)間.

解析:以木塊為研究對(duì)象，木塊下降過程中彈簧彈力隨x的增大而增大，托盤的支持力N之減小.

隱含條件：當(dāng)N=0時(shí)為勻加速的末態(tài)，設(shè)此時(shí)彈簧伸長量為x，有

mg-κx=ma

(6)

(7)

由(6)、(7)式可得

3 彈簧與其相連的物體處于簡諧運(yùn)動(dòng)(或簡諧運(yùn)動(dòng)的一部分)的模型

彈簧與其相連的物體做簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)具有對(duì)稱性，利用簡諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性是解決此類問題的有效手段.

圖5

【例5】如圖5示，一質(zhì)量為M的塑料球型容器，在A處與水平面接觸.它的內(nèi)部有一直立的輕彈簧，彈簧下端固定于容器內(nèi)部底部，上端系一帶正電、質(zhì)量為m的小球在豎直方向振動(dòng).當(dāng)加一向上的勻強(qiáng)電場后，彈簧正好在原長時(shí)，小球恰好有最大速度，在振動(dòng)的過程中球型容器對(duì)桌面的最小 壓力為零.求小球振動(dòng)的最大加速度和容器對(duì)桌面的最大壓力.

解析：小球受重力、彈力和電場力，在豎直方向做簡諧運(yùn)動(dòng).要抓住簡諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性.

彈簧原長時(shí)有最大速度，即此位置為簡諧運(yùn)動(dòng)的平衡位置，此時(shí)有

qE=mg

(8)

小球在最高點(diǎn)時(shí)，對(duì)容器有

κx=Mg

(9)

對(duì)小球有

F=mg+κx-qE

(10)

由(8)、(9)、(10)式得

F=Mg

即最大加速度為

由簡諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性知，小球在最低點(diǎn)和最高點(diǎn)具有大小相等的加速度.

在最低點(diǎn)時(shí)，對(duì)小球有

κx′-mg+qE=ma

得

κx′=Mg

此時(shí)容器對(duì)桌面有最大壓力

FN=Mg+κx′=2Mg

圖6

【例6】已知彈簧勁度系數(shù)為κ，物塊重為m，彈簧立在水平面上，下端固定，上端固定一輕圓盤，物塊放于盤中，如圖6示.現(xiàn)給物塊一個(gè)向下的壓力F，當(dāng)物塊靜止時(shí)撤去外力，在運(yùn)動(dòng)過程中物塊正好不離開盤.求：

⑴給物塊所加的向下的壓力F；

⑵在運(yùn)動(dòng)過程中盤對(duì)物體的最大作用力.

解析： ⑴物塊在豎直面內(nèi)受重力、彈力的作用做簡諧運(yùn)動(dòng).由物塊正好不離開盤(簡諧運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn))時(shí)，可知

N=0

彈簧恰處于原長，所以有

F向=mg

由對(duì)稱性知最低點(diǎn)時(shí)

F向=κx-mg=mg

所以

κx=2mg

物塊靜止在最低點(diǎn)時(shí)

F+mg=κx

所以

F=mg

⑵在最低點(diǎn)時(shí)盤對(duì)物體的支持力最大，有

FN-mg=F向=mg

得FN=mg

顯然，分析簡諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性是解決此類問題的關(guān)鍵所在.

【例7】一根輕彈簧豎直放在水平地面上，一個(gè)物體從高處自由下落到彈簧上部.當(dāng)彈簧被壓縮x0時(shí)物塊速度變?yōu)榱悖飰K的速率v隨下降位移x的變化情況與圖7中4個(gè)圖像比較一致的是

圖7

4 彈簧與其相連的物體處于非勻變速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的模型

在此模型的問題中，彈簧的彈性勢能和其他形式的能發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，考慮功能關(guān)系是解決此類問題的基本思路.

【例8】如圖8，固定的水平光滑金屬導(dǎo)軌間距為L，左端接有阻值為R的電阻，處在方向垂直于紙面向里磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒與固定彈簧相連，放在導(dǎo)軌上，導(dǎo)軌與導(dǎo)體棒的電阻均可忽略.初始時(shí)刻彈簧恰處于自然狀態(tài)，導(dǎo)體棒具有水平向右的初速度v0，在沿導(dǎo)軌往復(fù)運(yùn)動(dòng)的過程中，導(dǎo)體棒始終與導(dǎo)軌垂直并保持接觸良好.問：

圖8

⑴若導(dǎo)體棒從初始時(shí)刻到速度第一次為零時(shí)，彈簧的彈性勢能為Ep，則這一過程中安培力所做的功W1和電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q1分別為多少？

⑵導(dǎo)體棒往復(fù)運(yùn)動(dòng)，最終將靜止在何處？從導(dǎo)體棒開始運(yùn)動(dòng)到最終靜止的過程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q2為多少？

解析： 導(dǎo)體棒受彈力、安培力均為變力，運(yùn)動(dòng)過程較復(fù)雜，但從功能關(guān)系上考慮會(huì)有茅塞頓開的感覺.

⑴在這一過程中，彈性勢能增加、動(dòng)能減少.由功能關(guān)系可得

⑵由平衡條件可判斷棒最終靜止于初始位置.

由功能關(guān)系可得