關(guān)于《高等幾何》課程教學(xué)改革的若干思考

楊俊林

(泰州師范高等?？茖W(xué)校，江蘇 泰州 225300)

《高等幾何》是高等師范院校數(shù)學(xué)教育專業(yè)一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程.人們由于習(xí)慣了歐氏幾何的觀念，射影平面上那種“將無窮遠(yuǎn)點與普通點同等看待”的觀念實在難以被學(xué)生“觀念認(rèn)同”，因而該課程就成為了“數(shù)學(xué)專業(yè)課程體系中最難教、最難學(xué)的課程之一”.[1]筆者從06年開始承擔(dān)《高等幾何》課程的教學(xué)任務(wù)，教過三輪，對該課程教學(xué)在理念與實踐兩方面都作過深入的探索與思考，取得了較好的教學(xué)效果.本文將對此作簡要介紹.

1 理念層面

1.1 堅持“以人為本”

無論是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)，還是高中教育階段課程標(biāo)準(zhǔn)其核心理念都是“以人為本”.因而，高等教育課程大綱的編寫也應(yīng)堅持“以人為本”的理念.《高等幾何》課程中蘊(yùn)含著極為抽象的數(shù)學(xué)思想，在教學(xué)中的主要矛盾就是學(xué)生的理解力與課程的抽象性之間的矛盾，如果教師無視這一矛盾的存在，學(xué)生失去的將不僅僅是對內(nèi)容的理解，而是對本課程的感受及學(xué)習(xí)愿望，這是非?？膳碌?高等教育與初等教育不同，不少學(xué)生只著眼于課程考試，考試過關(guān)也就意味著課程學(xué)習(xí)的結(jié)束.由于命題權(quán)一般在授課教師手中，因而大部分學(xué)生應(yīng)付考試并不困難，但通過考試并不意味著領(lǐng)會了課程的精神實質(zhì).如果說教師吃的是良心飯，這在高等學(xué)校更能集中體現(xiàn).高校數(shù)學(xué)教師決不能讓學(xué)生在一次次痛苦難熬的過程中“通過”一門又一門的課程，帶著一顆對數(shù)學(xué)十分厭惡的心走上中學(xué)數(shù)學(xué)講臺.努力讓學(xué)生理解《高等幾何》中的知識點是堅持“以人為本”的第一要務(wù).其次，本課程的教學(xué)還應(yīng)努力幫助學(xué)生提高理解的層次性，形成可持續(xù)發(fā)展的能力.數(shù)學(xué)專業(yè)的課程體系嚴(yán)密，課程之間聯(lián)系緊密，《高等幾何》中的不少思想觀念在后續(xù)課程中仍有重要體現(xiàn).在教學(xué)中，如果僅滿足于淺層次的理解其知識點而不幫助學(xué)生提高理解的層次性，使課程中的基本觀念內(nèi)化為學(xué)生自己的觀念，則對學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)是極為不利的.再次，應(yīng)著眼于使學(xué)生能以較高的觀點審視中學(xué)幾何教材，提高他們處理中學(xué)幾何教材的能力.誠然，對高專學(xué)生來說，進(jìn)一步從事數(shù)學(xué)研究的可能性不大，但更多的學(xué)生將從事初等數(shù)學(xué)的教學(xué)與研究.因而在本課程的教學(xué)中，著眼于提高學(xué)生審視初等幾何問題的能力也是堅持“以人為本”的重要內(nèi)容.

1.2 將“變換群”思想貫穿教學(xué)始終

任何一門課程的學(xué)習(xí)都務(wù)求把握其精髓.要把握《高等幾何》這門課程的精髓必須弄清它與歐氏幾何之間的關(guān)系.在Klein變換群觀點下，可以清晰地看出歐氏幾何、仿射幾何、射影幾何之間的關(guān)系.根據(jù)Klein的觀點，幾何學(xué)是研究在相應(yīng)變換群下圖形保持不變的質(zhì)和量的科學(xué).每一種幾何對應(yīng)著一個變換群，在某種變換群下保持不變的性質(zhì)和量，就構(gòu)成這種變換群下的幾何學(xué).因而射影幾何就是研究在射影變換下不變性和不變量的幾何學(xué)；仿射幾何就是研究在仿射變換下不變性和不變量的幾何學(xué)；而歐氏幾何學(xué)就是研究在正交變換下不變性和不變量的幾何學(xué).全體正交變換構(gòu)成正交群，它是仿射變換群的子群，而仿射變換群又是射影變換群的子群.有了對高等幾何學(xué)與歐氏幾何學(xué)關(guān)系的認(rèn)識，在教學(xué)過程中就更有助于學(xué)生理解：在射影變換下，點與直線的結(jié)合性保持不變，直線上四個不同點的交比保持不變；在仿射變換下，點與直線的結(jié)合性、兩直線的平行性保持不變，簡單比保持不變，且無窮遠(yuǎn)直線仍變換為無窮遠(yuǎn)直線；而射影幾何與仿射幾何這兩者之間的根本區(qū)別又在于射影平面上無窮遠(yuǎn)點與普通點是“平等”看待，仿射平面上則不然；在正交變換下，點與直線的結(jié)合性、兩直線的平行性、正交性保持不變、距離與角度保持不變，無窮遠(yuǎn)直線、虛圓點仍變換為無窮遠(yuǎn)直線、虛圓點.

在教學(xué)中，始終堅持運用“變換群”的觀點，有助于學(xué)生從整體上理解幾何學(xué)的內(nèi)容，把握幾何學(xué)的精髓，有利于他們在更加廣闊的背景上理解初等幾何內(nèi)容，指導(dǎo)初等幾何教學(xué).

2 實踐層面

《高等幾何》課程教學(xué)改革是一個系統(tǒng)工程.理念層面的問題解決后，關(guān)鍵在于實踐層面.實踐層面主要解決教材編寫、教學(xué)方法、學(xué)習(xí)評價等問題.教材編寫解決“教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式”，教學(xué)方法解決“如何開展有效教學(xué)”，而學(xué)習(xí)評價不僅是對教學(xué)成果的檢測，更是對教學(xué)實踐活動的反思，是對“教什么”與“怎么教”的追問.

2.1 關(guān)于教材編寫

2.1.1 以“教育形態(tài)”呈現(xiàn)《高等幾何》內(nèi)容

當(dāng)前，中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革在數(shù)學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)形式上已初步形成共識：即應(yīng)防止兩種極端傾向——去數(shù)學(xué)化的“情境式”與嚴(yán)密的“學(xué)術(shù)態(tài)”，應(yīng)在保持?jǐn)?shù)學(xué)“特質(zhì)”下將學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)的教育形態(tài).提出上述觀點的代表人物是華東師范大學(xué)的張奠宙先生.張先生認(rèn)為：中小學(xué)教育是基礎(chǔ)教育，雖然有一些優(yōu)秀的學(xué)生可以輕松地跨過“抽象”的門檻，嚴(yán)密地按照形式化的敘述把握數(shù)學(xué)的含義，但還有相當(dāng)多的學(xué)生不能接受這樣的數(shù)學(xué)，他們總是把數(shù)學(xué)看成是“天書”，與自己的思維掛不上鉤.張先生所說的中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的現(xiàn)象在高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)中又何嘗不存在？！高專師范專業(yè)學(xué)生數(shù)學(xué)天賦一般者占絕大多數(shù)，而《高等幾何》課程歷來被認(rèn)為是一門難教難學(xué)的課程，有人稱它為“頭痛幾何”[2].不少版本的高等幾何教材學(xué)術(shù)性很強(qiáng)，如果在教學(xué)過程中教師不善于轉(zhuǎn)化，學(xué)生是很難接受的.以仿射變換為例，若按現(xiàn)行教材照本宣科，再讓學(xué)生處理相應(yīng)習(xí)題時發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生對“建立坐標(biāo)系{A;AB,AC},其中令A(yù)(0，0)，B(0，1)，C(1，0)”無法理解.究其原因，學(xué)生未能真正把握仿射變換的實質(zhì)：仿射變換下元素的結(jié)合關(guān)系及共線三點的簡單比不變.而從“仿射標(biāo)架”到“仿射坐標(biāo)系”、“仿射平面”，然后探究坐標(biāo)變換式的“學(xué)術(shù)”線索的教材呈現(xiàn)形式是不利于學(xué)生把握仿射變換的實質(zhì)的.教材僅是課堂教學(xué)中師生對話的“媒介”，高等教育不同于初等教育，高等教育更強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，何況每節(jié)內(nèi)容都要求授課教師進(jìn)行深度教法處理對教師也是一個很大的挑戰(zhàn).因而改變教材內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，增強(qiáng)教材的可讀性顯得十分重要.仍以仿射變換為例，筆者在自編講義中就作過如下嘗試：(1)從一道平面幾何問題談起.題目：連接三角形一個頂點與對邊三等分點，過另一頂點的三角形的中線被這些線段依次分成連比x:y:z.求x:y:z的值.1)試用綜合法與解析法求解;2)畫有上述圖形的透明玻璃板在陽光照射下的影像中相應(yīng)線段的比值x′∶y′∶z′將發(fā)生怎樣的變化？你能得到什么結(jié)論？3)采用解析法時可否設(shè)A(0，0)，B(1，0)，C(0，1).(2)介紹仿射標(biāo)架、仿射坐標(biāo)系、仿射平面與仿射變換.實踐表明，學(xué)生通過閱讀上述材料再結(jié)合教師的講解，學(xué)生對選定三點A(0，0)，B(0，1)，C(1，0)建立仿射坐標(biāo)系沒有疑慮.究其原因，上述內(nèi)容呈現(xiàn)方式是從學(xué)生原有知識結(jié)構(gòu)出發(fā)，將學(xué)術(shù)形態(tài)的“仿射變換”轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，掃除了學(xué)生理解上的障礙.

再以“交比”內(nèi)容的編寫為例.現(xiàn)行幾種版本的教材都是從“單比”出發(fā)，先討論共線四點的兩個單比之比，從而給出交比的定義，接著研究交比的性質(zhì)，然后在研究射影變換時再交待射影變換的不變量是“交比”.這樣的編寫方式至少存在兩方面的問題：一是學(xué)生對剛開始研究“交比”沒有充分的心理準(zhǔn)備，“交比”概念以“空降”方式投給學(xué)生，學(xué)生感到茫然，缺少學(xué)習(xí)“交比”的心理需求，因而教學(xué)效果不好；二是對“在射影平面上建立坐標(biāo)系需要四個點”無法理解.筆者編寫的講義以如下方式呈現(xiàn)：(1)展現(xiàn)一生活情境并提出問題.兩名畫家對同一風(fēng)景寫生，由于視角不同，畫出了兩張不同的風(fēng)景圖畫.但人們能從中判斷出這兩張不同的風(fēng)景畫取材于同一風(fēng)景，這是為什么？(2)對上述情境作初步抽象.兩個畫家對同一長方形框?qū)懮?，畫出的四邊形其形狀仍然是長方形嗎？為什么看上去還是一個長方形框？而且能看出這兩個畫家是以同一長方形框為實物畫出的圖案？(3)呈現(xiàn)點透視相關(guān)知識點，同時給出下面一道思考題:兩個四邊形ABCD、A′B′C′D′是同一長方形在同一點透視下兩個不同平面內(nèi)的像.已知點P是平面ABCD上的一點，如何確定平面A′B′C′D′內(nèi)的對應(yīng)點P′?(4)介紹共線四點的“交比”后引導(dǎo)學(xué)生解決上述問題.

上述內(nèi)容的呈現(xiàn)方式從生活情境出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生不但抽象出射影變換的概念，而且給學(xué)生思想深處留下“變化之中必有一不變的東西”，為“交比”概念的出現(xiàn)奠定基礎(chǔ)，使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)“交比”的強(qiáng)烈欲望.通過解決(3)中提出的問題，也為學(xué)生能深刻地理解“在射影平面上四點可以確定一個射影變換”奠定基礎(chǔ).

2.1.2 立足于高觀念下對初等幾何的審視

對高專學(xué)生而言，學(xué)習(xí)高等幾何的重要目的是幫助學(xué)生在高觀念下審視初等幾何問題，提高分析處理中學(xué)數(shù)學(xué)教材的能力.不少人認(rèn)為只要學(xué)過高等幾何，學(xué)生就會自覺地運用所學(xué)過的知識去審視初等幾何問題.其實不然，只有在學(xué)生深刻領(lǐng)會高等幾何思想觀念的基礎(chǔ)上這種自覺性才能表現(xiàn)出來.而要深刻領(lǐng)會，在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)與初等幾何的聯(lián)系則是重要途徑之一.因而在教材編寫過程中，通過增加相應(yīng)例習(xí)題來加強(qiáng)這種聯(lián)系就顯得十分必要.

例1 在仿射映射一節(jié)編寫如下例題或習(xí)題:(1)用仿射映射的觀念解釋初中幾何中平行線截得比例線段定理.(在仿射映射下，平行線截得比例線段定理所反映的就是仿射映射保持簡單比不變);(2)用仿射變換的方法推導(dǎo)橢圓面積公式.(考察橢圓與一長方形，在同一壓縮變換下，橢圓變?yōu)閳A，長方形變?yōu)榱硪婚L方形.由于在仿射變換下，兩封閉圖形的面積之比保持不變，可以推導(dǎo)出橢圓面積公式.進(jìn)一步也可以得到，橢圓與圓在仿射變換下可視為同一類曲線);(3)用仿射變換的觀念思考下面的問題：如圖1(a)，已知平行四邊形ABCD的邊AB、BC上各有一點E、F，且EF∥AC.試證明△AED與△CDF的面積相等.

考慮到仿射變換保持簡單比及兩封閉圖形面積比不變，故可將平行四邊形轉(zhuǎn)化為正方形(如圖1(b))，通過證明S△A′E′D′=S△C′D′F′來說明S△AED=S△CDF.對本題的思考應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生感悟“在仿射平面上平行四邊形與矩形為同一類四邊形.”

例2 在“交比”一節(jié)“完全四點形定理”后可編寫下面的例題:運用完全四點形定理證明：四邊形兩組對邊延長后分別相交，且交點的連線與四邊形一條對角線平行，則另一條對角線的延長線必平分對邊交點連成的線段.本題是1978年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽決賽中的一道題，是一道以射影幾何中完全四點形定理為背景的試題，顯然可以運用初等方法進(jìn)行證明.通過對本題的研究，引導(dǎo)學(xué)生明確高等幾何與初等幾何的關(guān)系，獲得駕馭初等幾何教學(xué)內(nèi)容的本領(lǐng).

例3 在介紹Pascal與Brianchon定理后給出問題：為什么不共線的三點確定一個圓？在介紹過二階曲線的仿射與度量性質(zhì)后給出問題：為什么橢圓與拋物線沒有漸近線？為什么拋物線只有一個頂點，一個焦點和一條準(zhǔn)線？

上述問題運用初等方法是很難說清的，但運用高等幾何知識可以得到準(zhǔn)確的回答.這對提高學(xué)生高觀念下審視初等幾何的能力大有裨益，也有助于學(xué)生更加深刻地領(lǐng)悟高等幾何的思想，提高自身的數(shù)學(xué)修養(yǎng).

2.2 關(guān)于教學(xué)方法

提及數(shù)學(xué)教學(xué)方法的研究往往專指中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué).仿佛高等數(shù)學(xué)教學(xué)除了“滿堂灌”外，無其他方法可言.其實不然，高等學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)也應(yīng)研究教學(xué)方法以提高課堂教學(xué)效率.在高等幾何教學(xué)中，關(guān)于教學(xué)方法筆者提出如下兩點.

2.2.1 搭建共享平臺，加強(qiáng)數(shù)學(xué)交流

數(shù)學(xué)交流的實質(zhì)是信息溝通、思想共享和意義生成，其根本作用在于促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解.隨著年級的增高，同學(xué)之間的學(xué)業(yè)交流越來越少，除了教師的講解，更多的就是個人的沉思默想.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)固然需要主體的靜思默想，但大學(xué)課程中不少知識內(nèi)涵、思想僅憑個人的孤軍作戰(zhàn)往往理解效果不佳.不同的人對某一知識點的理解角度、深度往往不同，數(shù)學(xué)交流有助于推動思想碰撞，而對相應(yīng)知識點不同角度的理解能促使主體從整體上把握其要領(lǐng)，從而提高理解的深度.同伴對相應(yīng)知識點更深層次的理解能減少個人靜思時間，提高學(xué)習(xí)效率.在高等幾何課堂上可適時組織相應(yīng)的課堂研討，為學(xué)生搭建一個思想碰撞的平臺.筆者在教完仿射變換一章后就組織過一次課堂研討.對“仿射變換”概念的理解，就有學(xué)生提出“在仿射變換下，所有三角形可以不加區(qū)分地歸為一類”.受此啟發(fā)很快有學(xué)生提出“既然如此，我們在研究三角形中點線結(jié)合關(guān)系時都可以在等邊三角形中進(jìn)行研究，然后再運用仿射變換還原就可以了”.

對任何數(shù)學(xué)概念的理解透徹與否都需要豐富的數(shù)學(xué)現(xiàn)實予以支撐，離開豐富數(shù)學(xué)現(xiàn)實支撐的數(shù)學(xué)思想在頭腦中一定是不牢靠的、孤立的.數(shù)學(xué)交流有助于知識之間的聯(lián)系的加強(qiáng)，有助于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善與優(yōu)化.

2.2.2 加強(qiáng)探究性學(xué)習(xí)，提高理解的層次性

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要“理解”，但“理解”是有層次性的.層次越高，主體吸納知識的方法品位就越高，更有利于豐富、完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，能更高層次地理解知識.[3]在高等幾何教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生由于在開始學(xué)習(xí)時不注意提高相關(guān)知識理解的層次，以至在以后的學(xué)習(xí)中越來越被動，最后甚至放棄本課程的學(xué)習(xí).例如，在射影幾何中，教材首先給出擴(kuò)大平面的概念，通過引進(jìn)無窮遠(yuǎn)點，說明擴(kuò)大平面上任何兩直線都相交.如果學(xué)生對這一內(nèi)容的理解最多只停留在“邏輯性層次”(即對知識能按邏輯順序排成網(wǎng)絡(luò))，而不能上升到“觀念性層次”(即對擴(kuò)大平面達(dá)到思想上的認(rèn)同)，那么學(xué)生對后面的內(nèi)容“射影平面上橢圓、雙曲線、拋物線方程的標(biāo)準(zhǔn)方程為同一種，三種曲線是不加區(qū)分的”是無法理解的.

加強(qiáng)探究性學(xué)習(xí)是提高學(xué)生對相關(guān)內(nèi)容理解層次性的有效途徑之一，因為探究性學(xué)習(xí)是一種引導(dǎo)學(xué)生親歷知識形成過程的學(xué)習(xí).在前文中筆者曾介紹過關(guān)于“交比”這一內(nèi)容的呈現(xiàn)形式的改革，其實也是一種教學(xué)方法的改革.學(xué)生通過一個實際問題的探究，親歷了“交比”這一概念的揭示及其計算、性質(zhì)的探究過程，從而形成了射影變換下保持不變的幾何量是“交比”這一基本觀念.

再比如，關(guān)于笛沙格(Desargues)定理的學(xué)習(xí)，講授教材中相關(guān)內(nèi)容后，學(xué)生只能停留在對該定理理解的“邏輯性層次”，在課堂上可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探究下列三個命題之間的聯(lián)系：(1)三角形的垂足三角形與原三角形對應(yīng)邊的交點共線；(2)三角形的三內(nèi)角平分線與對邊交點為頂點的三角形的三邊與原三角形對應(yīng)邊的交點共線；(3)三角形三邊中點連線所成的三角形的三邊與原三角形的對應(yīng)邊分別平行.

通過探究可以發(fā)現(xiàn)：上述三個命題都是Desargues定理的直接推論.更一般性的結(jié)論還有：若三角形三頂點分別與其對邊上一點的三連線共點，則由對邊上三點組成的三角形的三邊與原三角形對應(yīng)邊的交點共線.

學(xué)習(xí)過Pascal定理與Brianchon定理后，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生審視上述結(jié)論會發(fā)現(xiàn)：如圖2，在△ABC三邊上各取一點M，N，L，若AM，BN，CL相交于一點，則存在唯一的以M，N，L為切點的△ABC的內(nèi)切二階曲線.

對上述問題的深入探究，進(jìn)一步加強(qiáng)了Desargues定理、點透視與軸透視、Pascal定理與Brianchon

定理、對偶原則等知識點之間的聯(lián)系，有助于學(xué)生加強(qiáng)對知識整體性理解，使其對相關(guān)知識點理解的層次性不斷提高.

2.3 關(guān)于學(xué)習(xí)評價

任何課程教學(xué)改革都無法避開學(xué)習(xí)評價方式的改革.《高等幾何》課程教學(xué)其評價方式歷來采用閉卷考試的形式.通過若干道與學(xué)生平常作業(yè)類似的填空、選擇、計算與證明題來檢查學(xué)生對本課程的學(xué)習(xí)情況，其結(jié)果往往是學(xué)生通過了考試卻不知《高等幾何》課程到底講的是什么.這里有一個評價標(biāo)準(zhǔn)的問題(仍然可以歸結(jié)為課程教學(xué)的理念).《高等幾何》課程學(xué)習(xí)評價到底是以會做幾道題為標(biāo)準(zhǔn)，還是以觀念的形成為標(biāo)準(zhǔn)？課程教學(xué)改革應(yīng)堅持學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展的理念.僅管閉卷考試的方式也可以從一個側(cè)面反映學(xué)生對相關(guān)觀念的形成情況，但一者要對題目本身進(jìn)行客觀評價，二者不少類型的題目只要求寫出結(jié)果，掩蓋了解題的過程，很難反映學(xué)生是否領(lǐng)悟了高等幾何的基本思想.既然如此，就必須對傳統(tǒng)的評價方式進(jìn)行改革.在實踐中，我們嘗試過(或思考過)如下幾種方式：

(1)口試加筆試式.首先對學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)一筆試.筆試題型以解答題為主(包括計算與證明)，既有常規(guī)題，也給出一定數(shù)量的開放性試題(條件開放或結(jié)論開放，或條件與結(jié)論都開放).相關(guān)知識點不要求面面俱到，但高等幾何中的基本思想方法都能有所涉及.筆試結(jié)束后，教師在批閱的基礎(chǔ)上對每位學(xué)生進(jìn)行逐個口試.口試以筆試題為“話題”，對觀念層面的“習(xí)得性”進(jìn)行考核.口試克服了筆試在語言組織上的自由度小及針對性不強(qiáng)等不足，對學(xué)生的考核更全面、更客觀.

(2)課程論文式.對平時學(xué)習(xí)較好的學(xué)生，可以通過撰寫課程論文的方式代替課程考試.教師按畢業(yè)論文的規(guī)范對學(xué)生選題、開題、寫作進(jìn)行指導(dǎo).論文寫作完成后進(jìn)行答辯.這種方式克服了考查再現(xiàn)性知識隨考隨忘的弊端，將落腳點放在課程觀念的掌握上.在前兩屆學(xué)生中，曾有8名學(xué)生畢業(yè)時撰寫高等幾何方面的論文，論文質(zhì)量較高，對這類學(xué)生完全可以免除筆試.

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