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    揭開鏡反數(shù)的神秘面紗

    2009-11-09 03:35:34
    科學(xué)大眾(中學(xué)) 2009年9期
    關(guān)鍵詞:六位數(shù)回文四位數(shù)

    小 七 小 璐

    還記得《尋找那些美麗的數(shù)》嗎?(詳見2009年7/8期)我們提到回文數(shù)中有兩組四位數(shù)1089和9801,2178和8712,我們不僅稱它們是“倍回文數(shù)”,還可以把它們叫做互為鏡反數(shù)。那什么是鏡反數(shù)呢?

    在對(duì)聯(lián)中,有一類文字特別有趣,它可以回讀“書讀苦處閑心少,少心閑處苦讀書”。而在數(shù)學(xué)中,我們把1089和9801具有這種對(duì)稱格式的兩個(gè)數(shù)叫做互為鏡反數(shù)(有時(shí)也稱一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的逆序數(shù)或反序數(shù))。如49與94、465與564、8326與6238。我們這里研究的鏡反數(shù)可以看作是將偶數(shù)位回文數(shù)在中問分成兩半得到的,所有的回文數(shù)的鏡反數(shù)都是它本身。

    互為鏡反數(shù)的兩數(shù)差一定能被9、99、999、9999整除。如472-274=198=99×2。

    許多互為鏡反數(shù)的數(shù)具有特殊的關(guān)系:如:2178×4=8712,1089×9=9801,更有趣的是此數(shù)中不論插進(jìn)多少個(gè)9,具有同樣的關(guān)系,如2199978×4=8799912,1099989×4=9899901。

    再如:12與21不僅互為鏡反數(shù),且122=144與21=441也互為鏡反數(shù),我們把12與21這類鏡反數(shù)叫做互為平方鏡反數(shù)。13和31也是互為平方鏡反數(shù)。那么,除了以上列舉的這些平方鏡反數(shù)以外,還有哪些平方鏡反數(shù)?這些平方鏡反數(shù)有哪些共同特征呢?

    對(duì)于任何n位數(shù),都存在平方鏡反數(shù)。我們通過計(jì)算歸納如下:

    兩位數(shù)中共有6個(gè)平方鏡反數(shù)11,12,13,21,22,31。

    三位數(shù)中有15個(gè)平方鏡反數(shù):101,102,103,111,112,113,121,122,201,202,211,212,221,301,311。

    四位數(shù)中共有39個(gè)平方鏡反數(shù):1001,1002,1003,1011,1012,1013,1021,1022,1031,1101,1102,1103,1111,1112,1113,1121,1122,1201,1202,1211,1212,1301,

    2001,2002,2011,2012,2021,2022,2101,2102,2111,2121,2201,2202,2211,3001,3011,3101,3111。

    五位數(shù)中共有91個(gè)平方鏡反數(shù)10001,10011,10012,10013,10101,10102,10103,10111,10112,0113,10121,11003,11001,11011,11012,11013,11101,11102,11103,11111,11112,1113,11121,11122,11123,12202,13001,20001,20011,20012,20101,20102,20112,20121,20122,21001,21011,21101,21102,22001,22011,22101…

    六位數(shù)中……七位數(shù)中

    對(duì)于n位自然數(shù),若是平方鏡反數(shù),我們可以看到這些平方鏡反數(shù)的數(shù)值是由0,1,2,3組成的。我們?cè)谏厦姘l(fā)現(xiàn)的平方鏡反數(shù)中間插入任意多個(gè)0,都可以得到更高位的平方鏡反數(shù)。

    立方鏡反數(shù):如:

    10113=1033364331,

    1334633301=11013

    鏡反數(shù)等式:如144×441=252×252:156×651=273×372168×861=294×492

    鏡反數(shù)等式中又存在這樣的特殊關(guān)系,請(qǐng)看下面的情形:

    144×441=252×252,1+4+4=2+5+2。

    156×651=273×372,1+5+6=2+7+3。

    1586×6851=3782×2873,1+5+8+6=3+7+8+2。

    所有的例子表明了這種等式的奇妙性。我們?cè)谫潎@的同時(shí),可以動(dòng)腦子想想,它是否可以獲得證明呢?

    想一想

    把41和107這兩個(gè)數(shù)同時(shí)乘以一位數(shù)3、6、9,如下:

    41×3=123 107×3=321

    41×6=246 107×6=642

    41×9=369 107×9=963

    它們的積正好互為鏡反數(shù),這樣的數(shù)字還有嗎?你能寫出幾個(gè)來(同樣乘以3、6、9)?

    (參考答案)

    有三組34與67,44與77,71與104。

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