揭開鏡反數(shù)的神秘面紗

小　七　小　璐

還記得《尋找那些美麗的數(shù)》嗎?(詳見2009年7／8期)我們提到回文數(shù)中有兩組四位數(shù)1089和9801，2178和8712，我們不僅稱它們是“倍回文數(shù)”，還可以把它們叫做互為鏡反數(shù)。那什么是鏡反數(shù)呢?

在對(duì)聯(lián)中，有一類文字特別有趣，它可以回讀“書讀苦處閑心少，少心閑處苦讀書”。而在數(shù)學(xué)中，我們把1089和9801具有這種對(duì)稱格式的兩個(gè)數(shù)叫做互為鏡反數(shù)(有時(shí)也稱一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的逆序數(shù)或反序數(shù))。如49與94、465與564、8326與6238。我們這里研究的鏡反數(shù)可以看作是將偶數(shù)位回文數(shù)在中問分成兩半得到的，所有的回文數(shù)的鏡反數(shù)都是它本身。

互為鏡反數(shù)的兩數(shù)差一定能被9、99、999、9999整除。如472-274=198=99×2。

許多互為鏡反數(shù)的數(shù)具有特殊的關(guān)系：如：2178×4=8712，1089×9=9801，更有趣的是此數(shù)中不論插進(jìn)多少個(gè)9，具有同樣的關(guān)系，如2199978×4=8799912，1099989×4=9899901。

再如：12與21不僅互為鏡反數(shù)，且12²=144與21=441也互為鏡反數(shù)，我們把12與21這類鏡反數(shù)叫做互為平方鏡反數(shù)。13和31也是互為平方鏡反數(shù)。那么，除了以上列舉的這些平方鏡反數(shù)以外，還有哪些平方鏡反數(shù)?這些平方鏡反數(shù)有哪些共同特征呢?

對(duì)于任何n位數(shù)，都存在平方鏡反數(shù)。我們通過計(jì)算歸納如下：

兩位數(shù)中共有6個(gè)平方鏡反數(shù)11，12，13，21，22，31。

三位數(shù)中有15個(gè)平方鏡反數(shù)：101，102，103，111，112，113，121，122，201，202，211，212，221，301，311。

四位數(shù)中共有39個(gè)平方鏡反數(shù)：1001，1002，1003，1011，1012，1013，1021，1022，1031，1101，1102，1103，1111，1112，1113，1121，1122，1201，1202，1211，1212，1301，

2001，2002，2011，2012，2021，2022，2101，2102，2111，2121，2201，2202，2211，3001，3011，3101，3111。

五位數(shù)中共有91個(gè)平方鏡反數(shù)10001，10011，10012，10013，10101，10102，10103，10111，10112，0113，10121，11003，11001，11011，11012，11013，11101，11102，11103，11111，11112，1113，11121，11122，11123，12202，13001，20001，20011，20012，20101，20102，20112，20121，20122，21001，21011，21101，21102，22001，22011，22101…

六位數(shù)中……七位數(shù)中

對(duì)于n位自然數(shù)，若是平方鏡反數(shù)，我們可以看到這些平方鏡反數(shù)的數(shù)值是由0，1，2，3組成的。我們?cè)谏厦姘l(fā)現(xiàn)的平方鏡反數(shù)中間插入任意多個(gè)0，都可以得到更高位的平方鏡反數(shù)。

立方鏡反數(shù)：如：

1011³=1033364331，

1334633301=1101³

鏡反數(shù)等式：如144×441=252×252：156×651=273×372168×861=294×492

鏡反數(shù)等式中又存在這樣的特殊關(guān)系，請(qǐng)看下面的情形：

144×441=252×252，1+4+4=2+5+2。

156×651=273×372，1+5+6=2+7+3。

1586×6851=3782×2873，1+5+8+6=3+7+8+2。

所有的例子表明了這種等式的奇妙性。我們?cè)谫潎@的同時(shí)，可以動(dòng)腦子想想，它是否可以獲得證明呢?

想一想

把41和107這兩個(gè)數(shù)同時(shí)乘以一位數(shù)3、6、9，如下：

41×3=123 107×3=321

41×6=246 107×6=642

41×9=369 107×9=963

它們的積正好互為鏡反數(shù)，這樣的數(shù)字還有嗎?你能寫出幾個(gè)來(同樣乘以3、6、9)?

(參考答案)

有三組34與67，44與77，71與104。