透視“算術(shù)”向“代數(shù)”的轉(zhuǎn)折，體現(xiàn)建模思想

丁錦華

一、內(nèi)容介紹、分析與教學(xué)建議

1、內(nèi)容介紹。

“式與方程”是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的教學(xué)內(nèi)容?！笆脚c方程”主要包括用字母表示數(shù)(四年級(jí)下冊)、簡易方程(五年級(jí)下冊)和列方程解決簡單的實(shí)際問題(六年級(jí)上冊)。這部分內(nèi)容是學(xué)生從算術(shù)的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向代數(shù)學(xué)習(xí)的重要轉(zhuǎn)折點(diǎn)，它們是后續(xù)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。

四年級(jí)下冊“用字母表示數(shù)”這部分內(nèi)容，主要包括用字母表示數(shù)，用含有字母的式子表示實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系或者計(jì)算公式，求簡單的含有字母式子的值等。在教學(xué)“用字母表示數(shù)”后，五年級(jí)下冊主要教學(xué)方程的意義，用等式的性質(zhì)解一步計(jì)算的方程，列方程解決一步計(jì)算的實(shí)際問題。六年級(jí)上冊主要教學(xué)用等式的性質(zhì)解形如ax+b=c、ax+b=c和ax±bx=c的方程，列方程解決兩、三步計(jì)算的實(shí)際問題。

2、教材分析。

“式與方程”這部分教學(xué)內(nèi)容都安排在第二學(xué)段，采用了循序漸進(jìn)、螺旋上升的編寫方式，具有系統(tǒng)性、邏輯性。

蘇教版教材中的“式與方程”先是學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)，教學(xué)用字母表示數(shù)，這是在學(xué)生認(rèn)識(shí)許多簡單數(shù)量關(guān)系，接觸過一些字母式子如計(jì)算公式、運(yùn)算律的基礎(chǔ)上安排的。學(xué)生掌握這部分內(nèi)容，有利于以后學(xué)習(xí)方程、比例以及其他的代數(shù)知識(shí)。用字母表示數(shù)，教材先是通過簡單的問題情境，讓學(xué)生理解字母可以表示數(shù)，并學(xué)習(xí)用含有字母的式子表示簡單的數(shù)量、數(shù)量關(guān)系的計(jì)算公式；再聯(lián)系一些稍復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)用含有字母的式子表示稍復(fù)雜的數(shù)量、數(shù)量關(guān)系和計(jì)算公式，接著學(xué)習(xí)化簡形如“ax+bx”這樣含有字母的式子，既初步“涉足”代數(shù)式運(yùn)算，又為后繼學(xué)習(xí)了解形如ax±bx=c的方程做準(zhǔn)備?！坝米帜副硎緮?shù)”這一單元的學(xué)習(xí)。有利于體驗(yàn)數(shù)學(xué)表達(dá)的簡練，發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感，能有效地培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力、概括能力，也為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)方程的初步知識(shí)奠定基礎(chǔ)。到方程部分，教材首先結(jié)合具體的情境，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)等式和方程，了解等式與方程的關(guān)系；再探索并理解等式的性質(zhì)，學(xué)習(xí)解只有加法或減法、乘法、除法的簡單方程；然后學(xué)習(xí)列方程解決簡單的實(shí)際問題。在學(xué)習(xí)只有加、減、乘、除一步計(jì)算的方程之后，再由淺入深、由易到難，探討解稍復(fù)雜一些的方程以及實(shí)際問題。

我們都知道方程是解決實(shí)際問題的有效方法之一，在用方程解決實(shí)際問題的過程中，學(xué)生需要“從錯(cuò)綜復(fù)雜的情境中，將最本質(zhì)的東西抽象出來……”，這一抽象概括的過程很有價(jià)值；同時(shí)，解方程的過程需要“清晰的思路和計(jì)劃，逐步將復(fù)雜的問題簡單化，這種優(yōu)化的思想對于人的思維習(xí)慣的影響是深遠(yuǎn)的”。這也正是方程思想的本質(zhì)所在。所以我們在教學(xué)方程的意義，用等式的性質(zhì)解一步計(jì)算的方程，列方程解答簡單的實(shí)際問題時(shí)，教師在重視有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能教學(xué)的同時(shí)，應(yīng)有意識(shí)地讓學(xué)生初步體會(huì)方程的思想。在列方程解決實(shí)際問題的教學(xué)過程中，教師教的重點(diǎn)和學(xué)生學(xué)的重點(diǎn)，不在于“解”，而在于“學(xué)解”。以“解”為出發(fā)點(diǎn)，注重的是解決問題的結(jié)果；以“學(xué)解”為出發(fā)點(diǎn)。注重的則是解決問題的過程。也就是說，要讓學(xué)生經(jīng)歷尋找實(shí)際問題中數(shù)量之間的相等關(guān)系并列方程解答的全過程——學(xué)生在問題情境中，探索、研究、尋求已知與未知之間的內(nèi)在聯(lián)系，建立數(shù)量之間的相等關(guān)系，把日常語言抽象成數(shù)學(xué)語言(數(shù)量關(guān)系式)，進(jìn)而轉(zhuǎn)換成符號(hào)語言(方程式)。

3、教學(xué)建議。

(1)用字母表示數(shù)這部分內(nèi)容分兩段安排：例1～例5引導(dǎo)學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)用字母表示數(shù)；例6教學(xué)簡單字母式子的加減運(yùn)算。在進(jìn)行教學(xué)時(shí)要做到：引導(dǎo)學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)字母表示數(shù)，首先在簡單的數(shù)量關(guān)系里讓學(xué)生體會(huì)字母表示數(shù)，這里通過常見的、簡單的、學(xué)生容易理解的實(shí)例。讓學(xué)生依據(jù)簡單的數(shù)量關(guān)系，體會(huì)每個(gè)實(shí)例中字母的具體含義，認(rèn)識(shí)可以用字母表示相應(yīng)的數(shù)，并了解字母式子的意義。然后在稍復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系里體會(huì)字母表示數(shù)，這里主要是根據(jù)含有兩級(jí)運(yùn)算的兩步計(jì)算的數(shù)量關(guān)系的表達(dá)，引入用字母表示其中某個(gè)量的數(shù)，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)字母的含義，再通過擺圖形等實(shí)際情況，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系實(shí)際問題和具體情境理解用字母所表示的數(shù)的意義，在操作、感知的基礎(chǔ)上理解字母表示的數(shù)的實(shí)際含義，從不同角度理解簡單的加減計(jì)算的結(jié)果，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)字母可以表示數(shù)，加深對字母表示數(shù)的認(rèn)識(shí)和理解，體現(xiàn)和反映對學(xué)生符號(hào)感的培養(yǎng)，從而達(dá)到數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中所規(guī)定的要求：“能從具體的情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號(hào)來表示”、“理解符號(hào)所表示的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”。

(2)在四年級(jí)下冊“用字母表示數(shù)”教學(xué)的基礎(chǔ)上五年級(jí)下學(xué)期第一次教學(xué)方程，涉及的基礎(chǔ)知識(shí)比較多，教學(xué)內(nèi)容主要有等式的含義與方程的意義，根據(jù)直觀情境里的等量關(guān)系列方程：還有等式的性質(zhì)和解方程的教學(xué)，列方程解答一步計(jì)算的實(shí)際問題。

在教學(xué)時(shí)先教學(xué)等式，再教學(xué)方程的意義。教學(xué)時(shí)應(yīng)注意要讓學(xué)生經(jīng)歷由圖過渡到式子的抽象過程。先通過觀察天平圖，判斷物體的輕重，再用式子表示兩端物體的質(zhì)量關(guān)系：在交流等式和方程有什么關(guān)系時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生觀察具體實(shí)例進(jìn)行說明，這樣能加深學(xué)生對方程的認(rèn)識(shí)，還可以引導(dǎo)學(xué)生從集合的角度體會(huì)這兩個(gè)概念之間的關(guān)系。在對方程的意義有了明確的認(rèn)識(shí)之后應(yīng)循序漸進(jìn)地教學(xué)等式的性質(zhì)和用等式的性質(zhì)解方程，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》從學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展和中小學(xué)教學(xué)的銜接出發(fā)，要求小學(xué)階段的學(xué)生也要利用等式的性質(zhì)解方程。為了讓學(xué)生聯(lián)系等式的性質(zhì)解方程，教學(xué)時(shí)可以讓學(xué)生自己說說怎樣求出z的值。同時(shí)還要學(xué)生注意3點(diǎn)：一是規(guī)范解方程的書寫格式，等式變換時(shí)，每個(gè)等式的等號(hào)要上下對齊；二是利用等式的意義對方程進(jìn)行檢驗(yàn)，只要看左右兩邊是不是相等：三是聯(lián)系上面的過程，深刻領(lǐng)會(huì)什么是“解方程”。作為教師要知道方程就是一種數(shù)學(xué)模型，它是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量相等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，可以幫助人們更準(zhǔn)確清晰地認(rèn)識(shí)、描述和把握現(xiàn)實(shí)世界。五上教材主要安排了求和、相差關(guān)系和倍數(shù)關(guān)系等一些基本問題，它們是最基本的數(shù)量關(guān)系，所以在列方程解決實(shí)際問題的過程中，找到問題中數(shù)量之間的相等關(guān)系是列方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵。列方程解決問題與列算式解決問題相比，在思維方式上是一個(gè)飛躍。應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生積極參與解決問題的活動(dòng)，教學(xué)時(shí)具體分這樣幾步：(1)明確條件和問題；(2)分析問題中已知量和未知量的相等關(guān)系；(3)把數(shù)量間的相等關(guān)系“翻譯”成未知數(shù)x和已知數(shù)之間相等關(guān)系的方程。這樣的過程就是建立數(shù)學(xué)模型的過程。

(3)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材在第二學(xué)段分兩次教學(xué)“方程”。六年級(jí)上冊是第二次接觸方程，教學(xué)解形如ax+b=c、ax÷b=c、ax±bx=c的方程，列方程解答兩、三步計(jì)算的實(shí)際問題。我們知道，小學(xué)生學(xué)習(xí)方程，是學(xué)習(xí)一種有效的解決實(shí)際問題的方法，進(jìn)一步豐富解決問題的策略，更有價(jià)值與長遠(yuǎn)意義的是體現(xiàn)建模思想。

在列方程解決實(shí)際問題的過程中，要靈活對問題

進(jìn)行“表征”，建立問題表征時(shí)，必須引導(dǎo)學(xué)生正確、迅速地收集、處理題目中的信息，去除多余的，選擇必需的。經(jīng)過問題表征之后，下一個(gè)重要步驟就是提示問題中數(shù)量之間的相等關(guān)系。找到數(shù)量之間的相等關(guān)系，才能把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，也才能列出相應(yīng)的方程解答問題。由于學(xué)生已經(jīng)在五上學(xué)過列方程解決簡單的實(shí)際問題。所以這里在揭示等量關(guān)系之后，他們一般能夠比較熟練地應(yīng)用列方程解決問題的程序，但在寫設(shè)句時(shí)，我們教師要多加指導(dǎo)。必要時(shí)，可以像教科書中處理的一樣，在設(shè)句中寫出兩個(gè)未知量的表示方法，從而幫助學(xué)生完成數(shù)量關(guān)系式到方程式的轉(zhuǎn)換。當(dāng)學(xué)生得到問題答案之后，教師要引導(dǎo)學(xué)生對問題的解答進(jìn)行回顧與反思。一是檢查解答是否正確，這不僅有利于促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成自覺檢驗(yàn)的習(xí)慣，而且通過檢驗(yàn)，可以幫助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)先前解決問題時(shí)所建構(gòu)的解題模型。二是把解決問題的活動(dòng)作為一個(gè)思考對象，反思活動(dòng)過程中關(guān)鍵的想法與關(guān)鍵的過程，從而幫助學(xué)生將解決具體問題中的“經(jīng)驗(yàn)”推廣到更一般的情況。正是在多次經(jīng)歷這樣的活動(dòng)過程中，學(xué)生感受到方程與實(shí)際問題的聯(lián)系，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)建模的思想和基本過程。

二、典型課例設(shè)計(jì)分析

教學(xué)內(nèi)容：蘇教版國標(biāo)本六上“列方程解決實(shí)際問題”例1、試一試和練習(xí)1～5。

教學(xué)目標(biāo)：

1、讓學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中，理解并掌握形如ax±bx=c的方程的解法，會(huì)列上述方程解決兩步計(jì)算的實(shí)際問題。

2、讓學(xué)生在觀察、分析、抽象、概括和交流的過程中，經(jīng)歷將現(xiàn)實(shí)問題抽象為方程的過程，進(jìn)一步體會(huì)方程的思想方法及價(jià)值。

3、讓學(xué)生在積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中，養(yǎng)成獨(dú)立思考、主動(dòng)與他人合作交流、自覺檢驗(yàn)等習(xí)慣。

教學(xué)重點(diǎn)：

正確分析題中數(shù)量間的相等關(guān)系并列出方程，提高用方程解答實(shí)際問題的能力。

教學(xué)難點(diǎn)：

找出數(shù)量之間的等量關(guān)系并解方程。

教學(xué)過程：

一、知識(shí)回顧(電腦出示)

1、解方程(口答)。

x+20=394x=28x-16=1224+x=40

簡要說說分別是怎么想的?解方程的依據(jù)是什么?

2、說出下面各數(shù)量之間的關(guān)系。

(1)果園里桃樹的棵數(shù)是梨樹的4倍。(如果梨樹有x棵，那么……)

梨樹棵數(shù)×4=桃樹棵數(shù)

(2)男生人數(shù)比女生人數(shù)少5人。

女生人數(shù)-5=男生人數(shù)

女生人數(shù)-男生人數(shù)=5

女生人數(shù)=男生人數(shù)+5

3、解答實(shí)際問題。

(1)五一班男生30人，是女生人數(shù)的2倍，女生多少人?

(2)五一班男生30人，女生人數(shù)是男生的2倍，女生多少人?

提問：哪道題更適合用方程解答?為什么?

怎樣列算式或方程解答?

(評析：課始讓學(xué)生對已有知識(shí)在腦海里進(jìn)行自動(dòng)檢索，學(xué)生選擇必要的數(shù)學(xué)信息列出數(shù)量關(guān)系，促使學(xué)習(xí)內(nèi)容在動(dòng)態(tài)中生成。這就激活了學(xué)生的認(rèn)知需求與思維熱情，使其積極主動(dòng)地參與到下面的學(xué)習(xí)活動(dòng)中。)

二、教學(xué)新課

1、談話導(dǎo)入。

西安是我國的歷史文化名城，有很多著名的古代建筑，其中包括聞名遐邇的大雁塔和小雁塔(電腦出示風(fēng)景圖片)。今天我們就來研究與這兩座建筑有關(guān)的數(shù)學(xué)問題。

2、分析數(shù)量關(guān)系。

(出示例題1：西安大雁塔高64米，比小雁塔高度的2倍少22米。小雁塔高多少米?)

(學(xué)生讀題)

提問：題目告訴了我們什么條件?要求什么?

題目中的哪個(gè)條件說明了大雁塔和小雁塔高度之間的關(guān)系?

我們可以把題目中的小雁塔的高度的2倍看作一個(gè)……(整體)

你能根據(jù)這句話說出這兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系式嗎?

學(xué)生獨(dú)立思考后再分組討論，學(xué)生匯報(bào)討論結(jié)果：

教師分別出示：

小雁塔的高度×2-22=大雁塔的高度

小雁塔的高度×2=大雁塔的高度+22

小雁塔的高度×2-大雁塔的高度=22

(評析：教師對學(xué)生尋找出的兩個(gè)數(shù)量之間的相等關(guān)系進(jìn)行評價(jià)，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)自信心，最終得出正確的方法。)

提問：(引導(dǎo)到第一個(gè)關(guān)系式)在這個(gè)關(guān)系式中，已知什么數(shù)量?要求什么數(shù)量?你覺得可以用什么方法來求小雁塔的高度?(算術(shù)方法、解方程)

3、列方程、學(xué)解方程。

在這個(gè)關(guān)系式中，一倍的量(小雁塔的高度)未知，這樣的問題適合列方程解答，今天我們就繼續(xù)學(xué)習(xí)列方程解決實(shí)際問題。(板書課題)

提問：列方程解決問題首先要寫設(shè)句，怎么設(shè)?(板書設(shè)句)

根據(jù)數(shù)量關(guān)系式，我們可以列出怎樣的方程?

(學(xué)生自己嘗試列方程，并口答)

(板書：2x-22=64)

提問：說說你是怎么列出這個(gè)方程的?(將數(shù)量關(guān)系式中的數(shù)量用數(shù)或字母替換)

這道方程可以怎么解?你能運(yùn)用以前學(xué)的知識(shí)解決這個(gè)問題嗎?

(學(xué)生思考，快速討論解法，并進(jìn)行交流)

點(diǎn)評：我們可以將2x看作一個(gè)整體的未知數(shù)，先應(yīng)用等式的性質(zhì)將方程兩邊同時(shí)加上22，將這道方程轉(zhuǎn)化為所學(xué)過的形如“2x=?”的一步計(jì)算的方程，再用以前學(xué)過的方法繼續(xù)解答。

(教師和學(xué)生一起完成第一步)

(學(xué)生完成剩余步驟，請一人板演)

(評析：讓學(xué)生在交流討論的過程中了解到列方程解決實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)根據(jù)列出的方程的不同情況而采用不同的方法，使學(xué)生在應(yīng)用過程中體會(huì)數(shù)量關(guān)系的特點(diǎn)，即“順向思考——用算術(shù)方法解”“逆向思考——用方程解”的規(guī)律，使學(xué)生在練習(xí)中進(jìn)一步理解和領(lǐng)悟到知識(shí)的一般規(guī)律。)

4、交流、檢驗(yàn)、小結(jié)。

小組內(nèi)相互說說解這道方程的方法和過程。

請學(xué)生檢驗(yàn)方程的解是否正確，并完成答句。

(教師板書答句)

提問：還可以怎么列方程?(根據(jù)不同的數(shù)量關(guān)系式)

(學(xué)生自己列方程解答，并交流)

小結(jié)：剛才我們通過列方程解決了一個(gè)實(shí)際問題。你能說說列方程解決問題的大致步驟嗎?其中哪些環(huán)節(jié)很重要?

說明：(1)要根據(jù)題目中的條件尋找等量關(guān)系，而且一般要找出最容易發(fā)現(xiàn)的等量關(guān)系；(2)分清等量關(guān)系中的已知量和未知量，用字母表示未知量并列方程；(3)解出方程后，要及時(shí)進(jìn)行檢驗(yàn)。(電腦出示)

(評析：教者力求讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和概括出規(guī)律性的知識(shí)，無論在體會(huì)列方程解決問題的優(yōu)越性，還是在多種方法的擇優(yōu)上，給學(xué)生提供自主的活動(dòng)空間和交流的機(jī)會(huì)，引領(lǐng)學(xué)生通過自己的探索來獲取知識(shí)，改變以往教師教和學(xué)生學(xué)的方式。)

5、完成“練一練”。

讀題并理解題意。

想一想，可以找到怎樣的數(shù)量關(guān)系式?

學(xué)生根據(jù)數(shù)量關(guān)系式自己列方程并解答。

全班反饋交流。

三、鞏固練習(xí)

1、小試牛刀。

杭州灣大橋是世界上最長的跨海大橋，全長大約36千米，比香港青馬大橋的16倍還多0.8千米。香港青馬大橋全長大約多少千米?

說說解方程時(shí)，第一步怎么做?依據(jù)是什么?

學(xué)生自己完成解方程，請3名學(xué)生板演。

集體點(diǎn)評，強(qiáng)調(diào)檢驗(yàn)的習(xí)慣。

2、對號(hào)入座。

學(xué)生在課本上獨(dú)立完成填空。

說說每個(gè)含字母的式子分別表示哪個(gè)數(shù)量，你是怎么想的?

3，火眼金睛。

(1)學(xué)校運(yùn)動(dòng)隊(duì)男生30人，是女生人數(shù)的2倍，女生有多少人?

(2)學(xué)校運(yùn)動(dòng)隊(duì)男生30人，女生人數(shù)是男生的2倍，女生有多少人?

讀題并理解題意。

改變條件：

(1)學(xué)校運(yùn)動(dòng)隊(duì)男生30人，比女生人數(shù)的2倍多4人，女生有多少人?

(2)學(xué)校運(yùn)動(dòng)隊(duì)男生30人，女生人數(shù)比男生人數(shù)的2倍多4人，女生有多少人?

學(xué)生自己寫數(shù)量關(guān)系式并列方程解答。二人板演。

集體點(diǎn)評，強(qiáng)調(diào)數(shù)量關(guān)系與方程的對應(yīng)，說說解方程的方法和依據(jù)。

4，明辨是非。

(1)讀書節(jié)學(xué)校買來500本科技書，文藝書的本數(shù)比科技書的2倍多15本，文藝書有多少本?

500x2+15()

(2)植樹節(jié)五年級(jí)種了150棵楊樹，比柳樹棵數(shù)的2倍少5棵，種了多少棵柳樹?

150×2-5()

解：設(shè)種了x棵柳樹。

2x-5=150()

解：設(shè)種了x棵柳樹。

2x+5=150()

(評析：采用分層練習(xí)，力求在練習(xí)過程中，既鞏固新知，又發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生在發(fā)散性、多維度的思維活動(dòng)中提高解決實(shí)際問題的能力。)

四、課堂作業(yè)

練習(xí)一3、4、5。

五、課堂小結(jié)

今天我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容?你有哪些收獲?還有沒有疑惑的地方?

(評析：讓學(xué)生回顧反思本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，不同學(xué)習(xí)層次的學(xué)生談學(xué)習(xí)收獲，使每個(gè)學(xué)生都體驗(yàn)到成功的喜悅。)