關(guān)于一道高考題的討論

桑芝芳

摘要：自感現(xiàn)象的暫態(tài)過(guò)程分析是高中物理教學(xué)的難點(diǎn)，本文利用數(shù)值解法定量分析討論一道關(guān)于自感現(xiàn)象的高考題（2008年江蘇高考卷第8題），使對(duì)題中通過(guò)各燈泡的電流變化規(guī)律有更深刻的理解。

關(guān)鍵詞：自感現(xiàn)象；自感電動(dòng)勢(shì)；感應(yīng)電流；數(shù)值求解

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1003-6148(2009)6(S)-0048-2

題目(2008年江蘇高考卷第8題) 如圖1所示的電路中，三個(gè)相同的燈泡a、b、c和電感L1、L2與直流電源連接，電感的電阻忽略不計(jì)，電鍵S從閉合狀態(tài)突然斷開(kāi)時(shí)，下列判斷正確的有：

A.a先變亮，然后逐漸變暗

B.b先變亮，然后逐漸變暗

C.c先變亮，然后逐漸變暗

D.b、c都逐漸變暗

本題考查的是電路自感問(wèn)題，由于自感現(xiàn)象暫態(tài)過(guò)程本身比較復(fù)雜，因而自感現(xiàn)象的暫態(tài)過(guò)程分析一直是高中物理教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。本題中電鍵S從閉合狀態(tài)突然斷開(kāi)時(shí)，電感線圈L1、L2內(nèi)磁通量發(fā)生變化，從而產(chǎn)生自感電動(dòng)勢(shì)，使燈泡a、b、c有暫態(tài)電流。本題主要考查的是通過(guò)燈泡a、b、c的暫態(tài)電流變化情況。該題的答案是A、D，即a燈先變亮，然后逐漸變暗，b、c燈逐漸變暗。那么通過(guò)a、b、c燈泡的電流到底是如何變化的?是按什么規(guī)律變化的?下面定量討論通過(guò)a、b、c燈泡的電流變化規(guī)律。

如圖1，在開(kāi)關(guān)S斷開(kāi)前，由電路知識(shí)易知，有恒定電流通過(guò)a、b、c燈泡，且電流相等，即I璦=I璪=I璫=I0，通過(guò)電感L1、L2的電流為I㎜1=2I0，I㎜2=I0。開(kāi)關(guān)S斷開(kāi)瞬間，由于自感作用，電感L1、L2產(chǎn)生自感電動(dòng)勢(shì)，原電路等效為如圖2所示的電路圖。電感L1、L2的自感電動(dòng)勢(shì)E㎜1、E㎜2分別為E㎜1=-L1di㎜1猟t，E㎜2=-L2di㎜2猟t。

根據(jù)基爾霍夫定律，可列出相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)電流方程和回路電壓方程：

i璦=i璪+i璫，

E㎜1=i璪R璪+i璦R璦，

E㎜2=i璫R璫+i璪R璪。

由于a、b、c三個(gè)燈泡相同，所以R璦=R璪=R璫=R，而兩個(gè)電感的自感系數(shù)相等，即L1=L2=L，因而上述方程組可簡(jiǎn)化為：

i璦=i璪+i璫，Ldi璦dt+(i璦+i璪)R=0， (1)Ldi璫dt+(i璫-i璪)R=0。

由圖2還可以看出，通過(guò)a燈泡的電流i璦與通過(guò)電感L1的電流i㎜1相等，通過(guò)c燈泡的電流i璫與通過(guò)電感L2的電流i㎜2相等，即i璦=i㎜1，i璫=i㎜2。由于在斷開(kāi)前，通過(guò)a燈泡電流I璦=I0，通過(guò)電感L1的電流為I㎜1=2I0，因此在斷開(kāi)瞬間，通過(guò)a燈泡的電流由I0突變到2I0，即斷開(kāi)瞬間t=0時(shí)，i璦=2I0，i璫=I0(2)

由常微分方程組(1)式和初始條件(2)式可解得通過(guò)a、b、c燈泡的電流i璦、i璪、i璫隨時(shí)間的變化規(guī)律，i璦(t)=12I0e-3RtL(1+3e2RtL)，(3)

i璪(t)=I0e-3RtL，(4)

i璫(t)=12I0r-3RtL(-1+3e2RtL)。(5)

從(3)～(5)式可以看出，開(kāi)關(guān)S斷開(kāi)后，通過(guò)a燈泡的電流先由I0突變到2I0，再按兩個(gè)e指數(shù)組合的規(guī)律衰減；通過(guò)b燈泡的電流按e指數(shù)規(guī)律衰減;通過(guò)c燈泡的電流按兩個(gè)e指數(shù)組合的規(guī)律衰減。為了更直觀、形象地了解通過(guò)各燈泡電流的變化規(guī)律，我們作出相應(yīng)的電流隨時(shí)間變化的曲線；取E=6V，L1=L2=L=30mH，R璦=R璪=R璫=6Ω，則

I0=ER=6V6Ω=1A。

圖3、圖4、圖5分別為通過(guò)a、b、c燈泡的電流隨時(shí)間的變化規(guī)律。

從圖中容易看出，a燈泡在開(kāi)關(guān)S斷開(kāi)瞬間，電流由I0突變到2I0，然后按圖3規(guī)律衰減，即a燈泡在開(kāi)關(guān)S斷開(kāi)瞬間先變亮，然后逐漸變暗至熄滅；b、c燈泡按圖4、圖5規(guī)律衰減，即b、c燈泡逐漸變暗。因而本題正確選項(xiàng)為A、D，從圖中還可以看出b燈較a、c燈先熄滅。

高中物理中有很多問(wèn)題只需要作定性討論，不要求定量研究，但作為教師僅停留在定性層面上是不夠的，還要有“量”的意識(shí)，要盡量作定量分析，這樣才能真正理解物理量的變化規(guī)律。

(欄目編輯陳 潔)