簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)周期公式的間接推導(dǎo)

張學(xué)文

摘要：機(jī)械振動(dòng)是自然界中常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)形式，在研究各種各樣的機(jī)械振動(dòng)前，首先要研究最簡(jiǎn)單、最基本的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。本文以簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征和受力特征為基礎(chǔ)，從三個(gè)不同角度對(duì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)周期公式的推導(dǎo)進(jìn)行了探討。

關(guān)鍵詞：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；周期公式；推導(dǎo)

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1003-6148(2009)6(S)-0075-3

振動(dòng)是物體運(yùn)動(dòng)的基本形式之一，它在自然界中廣泛存在。鐘擺的擺動(dòng)、水中浮標(biāo)的上下浮動(dòng)、擔(dān)物行走時(shí)扁擔(dān)下物體的顫動(dòng)、樹(shù)梢在微風(fēng)中的搖擺等等都是振動(dòng)。在物理學(xué)中，對(duì)于一個(gè)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)可以看成是由若干個(gè)簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)合成的，這些簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)是一些最基本的運(yùn)動(dòng)，掌握了這些基本運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，其合運(yùn)動(dòng)規(guī)律就清楚了，這是物理學(xué)的一種研究方法。同樣的，我們?cè)谘芯扛鞣N各樣的機(jī)械振動(dòng)前，首先要研究最簡(jiǎn)單、最基本的一種機(jī)械振動(dòng)——簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)不但是一種周期性的運(yùn)動(dòng)，而且是一種變加速度的直線運(yùn)動(dòng)，因此，它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律比較復(fù)雜。由于中學(xué)生缺少必要的數(shù)學(xué)知識(shí)，研究簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律就成為一個(gè)較為困難的問(wèn)題。

根據(jù)高中教材對(duì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述，我們可以作出這樣的判斷：從運(yùn)動(dòng)學(xué)特征的角度看，物體對(duì)平衡位置的位移隨時(shí)間作余弦 (或正弦)變化的運(yùn)動(dòng)叫作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，即x=Acos(ω?t+φ₀)。式中A是振幅，ω為角頻率，t為時(shí)間，φ₀稱作初相位或初相。從受力特征的角度看，物體在線性回復(fù)力作用下的運(yùn)動(dòng)叫做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，即線性回復(fù)力F=-kx。式中k為比例系數(shù)（常數(shù)），x為以平衡位置為原點(diǎn)時(shí)物體的位移。有鑒于此，現(xiàn)以簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征和受力特征為基礎(chǔ)，從三個(gè)不同的角度初步探討簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期公式。

1 根據(jù)最大加速度來(lái)推導(dǎo)周期公式

如圖1所示，一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在xy平面內(nèi)以原點(diǎn)O為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，該質(zhì)點(diǎn)在x軸上的投影將以O(shè)為中心在x軸上振動(dòng)，這個(gè)振動(dòng)有什么特點(diǎn)呢？設(shè)t=0時(shí)，半徑跟x軸方向的夾角為φ₀，經(jīng)時(shí)間t，半徑跟x軸方向夾角為θ，則θ=ω?t+φ₀。在任意時(shí)刻t，質(zhì)點(diǎn)在x軸上的位移為x=r?cos(ω?t+φ₀)，顯然該質(zhì)點(diǎn)在x軸上的投影（M點(diǎn)）是以O(shè)點(diǎn)為中心的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。實(shí)驗(yàn)也可以證明，一個(gè)以原點(diǎn)O為圓心作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)m，它在x軸或y軸 上的投影是作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

這個(gè)事實(shí)告訴我們：勻速圓周運(yùn)動(dòng)與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在運(yùn)動(dòng)學(xué)上有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系。因此，它提供了利用勻速圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)來(lái)研究簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的依據(jù)，即任何一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)必然存在一個(gè)與之相對(duì)應(yīng)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這個(gè)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓周叫做與之相對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的參考圓。參考圓的各量與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量有如下的一些對(duì)應(yīng)關(guān)系：(1)參考圓的圓心為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的平衡位置；(2)參考圓的半徑為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅A；(3)參考點(diǎn)m作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期或頻率和其投影點(diǎn)M作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期或頻率是相同的。

利用參考圓可以很方便地找到簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的最大加速度。設(shè)圓半徑為r，角速度為ω，則勻速圓周運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)向心加速度的大小為ω2r，其在x軸上射影加速度的大小為a=ω2rcos(ω?t+φ₀)，質(zhì)點(diǎn)在x軸上投影所作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的加速度最大為ω2r。又由線性回復(fù)力的特征F=-kx和牛頓第二定律可得：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)加速度的大小為a=kx/m，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)加速度的最大值為kA/m。考慮到參考圓的半徑r等于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅A，參考點(diǎn)m作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期和其投影點(diǎn)M作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期是相同的。故：ω2=k/m，即有T=2πm/k。

由此可知，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期與它們的振幅無(wú)關(guān)，而僅取決于振動(dòng)系統(tǒng)兩個(gè)方面的性質(zhì)：一是系統(tǒng)所受線性回復(fù)力的比例系數(shù)k，二是系統(tǒng)的慣性質(zhì)量m。為了強(qiáng)調(diào)T是由系統(tǒng)性質(zhì)所決定的，故稱T為系統(tǒng)的固有周期。

2 根據(jù)最大速度來(lái)推導(dǎo)周期公式

“應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題的能力”是物理高考考試大綱中對(duì)考生的五種能力要求之一，它要求考生能夠根據(jù)具體問(wèn)題列出物理量之間的關(guān)系式，進(jìn)行推導(dǎo)和求解，并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論，必要時(shí)能夠運(yùn)用函數(shù)進(jìn)行表達(dá)和分析。導(dǎo)數(shù)作為高中數(shù)學(xué)中增加的內(nèi)容已在新教材中出現(xiàn)了兩年，而導(dǎo)數(shù)在高中物理中也有廣泛的運(yùn)用，如高中物理中運(yùn)用“微元法”就是千方百計(jì)繞過(guò)“導(dǎo)數(shù)”求解有關(guān)物理問(wèn)題的典型例子。高中物理教學(xué)中導(dǎo)數(shù)的引入，使學(xué)生對(duì)一些物理知識(shí)有了更加深刻的理解。

現(xiàn)根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程x=Asin(ωt+φ)將位移對(duì)時(shí)間求一次導(dǎo)數(shù)dx/dt，從而求得：v=dx/dt=Aωcos(ωt+φ)，即簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的速度變化規(guī)律為v=v璵cos(ωt+φ)。顯然，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的最大速度為v璵，并且滿足v璵=Aω。對(duì)于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的速度變化規(guī)律，我們也可以采用這樣的觀點(diǎn)研究：在時(shí)間間隔Δt比較小的情況下，平均速度能比較精確地描述物體運(yùn)動(dòng)的快慢程度，Δt越小，描述越精確。因此當(dāng)Δt很小時(shí)，就可以認(rèn)為Δx/Δt是物體在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度。即v=ΔxΔt，取t2-t1=Δt，并利用正弦函數(shù)sinx=x(x極小時(shí))和三角函數(shù)和差化積可知：

v=Asin(ωt2+φ )-Asin(ωt1+φ)t2-t1

=2Acos(ωt2/2+ωt1/2+φ)sin(ωt2/2-ωt1/2)Δt

=ω(t2-t1)Acos(ωt2/2+ωt1/2+φ)Δt

=Aωcos(ωt+φ)。

即有v=v璵cos(ωt+φ),簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的最大速度為v璵，并且滿足v璵=Aω。

以水平放置的彈簧振子為例，理論上可以證明：在彈簧振子振動(dòng)的過(guò)程中，如果摩擦阻力造成的損耗可以忽略，則在彈簧振子運(yùn)動(dòng)的任意位置，系統(tǒng)的動(dòng)能與勢(shì)能之和是定值，這與機(jī)械能守恒定律是相一致的。在振動(dòng)的過(guò)程中，彈簧的彈性勢(shì)能：E璸=12kx2,

振子的動(dòng)能：E璳=12mv2,

由機(jī)械能守恒可知：

機(jī)械能既等于最大彈性勢(shì)能：

E=12kA2，

也等于最大動(dòng)能：E=12mv璵2，代入有：

12mv璵2=12kA2。

而物體的動(dòng)能和物體的運(yùn)動(dòng)速率又有定量的聯(lián)系，如果將這兩部分知識(shí)組合起來(lái)，就有：

12kA2=12mv璵2=12mA2ω2，

化簡(jiǎn)得：T=2πω=2πmk。

此即為彈簧振子簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)周期的表達(dá)式。顯然，彈簧振子的周期由彈簧的勁度系數(shù)和振子的質(zhì)量所決定，與振幅的大小無(wú)關(guān)，T為彈簧振子的固有周期。

以同樣的方式處理單擺。當(dāng)單擺從最高點(diǎn)擺到最低位置的過(guò)程中，重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能。由機(jī)械能守恒可知：

最大動(dòng)能：E璳=12mv2=mgl(1-cosα),

其中α為擺球擺動(dòng)的最大角度。

利用三角形余弦定理，有：

cosα=2l2-A22l2，代入可得：

mgl（1-cosα)=mgl（1-2l2-A22l2）=mgA22l，

即單擺擺動(dòng)時(shí)的最大動(dòng)能為：

E璳=12mv璵2=mgA22l。

代人最大速率v璵=Aω，

有：mgA22l=12mA2ω2。

化簡(jiǎn)即得：T=2πω=2πl(wèi)g（擺角較小時(shí)，單擺的運(yùn)動(dòng)才為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，才有v璵=Aω），此即為單擺簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期表達(dá)式。顯然，單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期跟擺長(zhǎng)的二次方根成正比，跟重力加速度的二次方根成反比，跟振幅、擺球的質(zhì)量無(wú)關(guān)。

3 根據(jù)回復(fù)力的比例系數(shù)來(lái)推導(dǎo)周期公式

簡(jiǎn)諧振動(dòng)是物體運(yùn)動(dòng)的基本形式之一，當(dāng)物體離開(kāi)平衡位置時(shí)，總要受到指向平衡位置的力，這個(gè)力稱為回復(fù)力。物體在離開(kāi)平衡位置時(shí)必須受到回復(fù)力是一切振動(dòng)的產(chǎn)生條件，但是回復(fù)力的規(guī)律不同，產(chǎn)生的振動(dòng)規(guī)律也不同。

在彈性限度內(nèi)，彈性力的大小遵從胡克定律F=kx，方向總是和位移方向相反，物體在彈性力作用下的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。有些力不是彈性力，但其變化規(guī)律也和彈性力相似，叫做準(zhǔn)彈性力。在準(zhǔn)彈性力的作用下，物體受到的回復(fù)力滿足同樣的條件時(shí)，物體也作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，寫(xiě)成數(shù)學(xué)表達(dá)式即：F=-kx。在這里要注意正確理解兩點(diǎn):（1）做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)物體的位移是相對(duì)于平衡位置的，所以位移的方向總是由平衡位置指向物體，而回復(fù)力總是由物體指向平衡位置，故回復(fù)力的方向總是跟位移的方向相反，式中的負(fù)號(hào)表示了這種相反關(guān)系；（2）公式中的k表示回復(fù)力大小跟位移大小的比例系數(shù)，對(duì)于一個(gè)確定的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，k是一個(gè)常量，對(duì)不同的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，k有不同的值。

下面我們先做這樣的一個(gè)證明：圍繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造地球衛(wèi)星，其在直徑方向上的投影也是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

設(shè)地球、人造衛(wèi)星的質(zhì)量分別為M和m，人造衛(wèi)星圍繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，以地球球心位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系x-y?？紤]到地球球心和人造地球衛(wèi)星間的距離為r，則萬(wàn)有引力的大小為：F=GMmr₂,

其x方向分力的大小為：

GMmr₂cosθ=GMmr3?x。

由于人造地球衛(wèi)星圍繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑r始終保持不變，則萬(wàn)有引力F在x方向分力的大小GMmr3?x=kx。

其中k為常量，大小為：GMmr3。

結(jié)合F瓁和x的方向，故萬(wàn)有引力F在x方向的分力滿足F瓁=-kx，符合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)所受回復(fù)力的特征。所以說(shuō)，圍繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造地球衛(wèi)星，其在直徑方向上的投影運(yùn)動(dòng)，也是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

人造地球衛(wèi)星在軌道上運(yùn)行時(shí)，所需要的向心力是由萬(wàn)有引力提供的，由

GMmr₂=mr(2πT)2，得：

T²=4π2?rGM。

將k=GMmr3代人即得：

T²=4π2?mk，化簡(jiǎn)得:

T=2πmk。

由于人造地球衛(wèi)星m做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期等于其在直徑方向上所做分運(yùn)動(dòng)的周期，所以有T簡(jiǎn)=T圓，即勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造地球衛(wèi)星，其在直徑方向上的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)也滿足周期公式2πmk，其中k為回復(fù)力大小跟位移大小的比例系數(shù)，m為人造地球衛(wèi)星的質(zhì)量。

綜上所述，我們可以說(shuō)，對(duì)于一般的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其周期均可表示為T(mén)=2πmk。也就是說(shuō)，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期與它們的振幅、速度等無(wú)關(guān)，而取決于振動(dòng)系統(tǒng)兩個(gè)方面的性質(zhì)：一是系統(tǒng)所受線性回復(fù)力的比例系數(shù)k，二是系統(tǒng)的慣性質(zhì)量m。為了強(qiáng)調(diào)T是由系統(tǒng)性質(zhì)所決定的，故稱T為系統(tǒng)的固有周期。當(dāng)然，對(duì)于自然界中各種紛繁復(fù)雜的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其線性回復(fù)力的比例系數(shù)k往往具有不同的物理涵義。如對(duì)于彈簧振子，線性回復(fù)力的比例系數(shù)即為彈簧的勁度系數(shù)；對(duì)于單擺的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，線性回復(fù)力的比例系數(shù)即為mg/L。

(欄目編輯張正嚴(yán))