善于捕捉“特殊”性，巧解中考壓軸題

周華鋒

許多中考綜合題特別是一些所謂的壓軸題具有情境獨特、形式多變、構(gòu)思巧妙，肩負(fù)著區(qū)分考生水平的重任，有時不少試題常令許多考生摸不著頭緒從而望而生畏，甚至走入思維的“歧途”越解越煩，導(dǎo)致題沒有解好，時間浪費大量。筆者認(rèn)為一些中考壓軸題可以通過尋找題目中的特殊“點”、特殊“角”、特殊“三角形或多邊形”等作為解題的切入點，應(yīng)該是一種行之有效的方法。

1、善于捕捉題中的特殊“點”

中考壓軸題最后一小題，雖題型多樣，但有時抓住特殊“點”的特殊坐標(biāo)(或點的特殊位置)往往會給解題者帶來“山重水復(fù)疑無路，柳岸花明又一村”的感覺。這種方法解決可以解決近幾年中考試題中一類題目,如08年湖北咸寧中考最后一題等等,下面以2007年泰州市初中畢業(yè)、升學(xué)統(tǒng)一考試最后一題為例：

如圖①，RtΔABC中，∠B=90°，∠CAB=30°．它的頂點A的坐標(biāo)為(10，0)，頂點B的坐標(biāo)為(5，53)，AB=10，點從點A出發(fā)，沿A鯞鯟的方向勻速運動，同時點Q從點D(0，2)出發(fā)，沿y軸正方向以相同速度運動，當(dāng)點P到達(dá)點C時，兩點同時停止運動，設(shè)運動的時間為t秒．

(1)求∠BAO的度數(shù)．

(2)當(dāng)點P在AB上運動時，ΔOPQ的面積S(平方單位)與時間t(秒)之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分，(如圖②)，求點P的運動速度．

(3)求(2)中面積S與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式及面積S取最大值時點P的坐標(biāo)．

(4)如果點P，Q保持(2)中的速度不變，那么點P沿AB邊運動時，∠OPQ的大小隨著時間t的增大而增大；沿著BC邊運動時，∠OPQ的大小隨著時間t的增大而減小，當(dāng)點P沿這兩邊運動時，使∠OPQ=90°的點P有幾個？請說明理由

分析：第(4)題有的同學(xué)對此題無法下手，找不到解題的突破口。其實我們可以從特殊的點作為解題的“入口”，當(dāng)點P與A點重合時，∠OPQ＜90°(如圖③)，

當(dāng)點P運動到與點B重合時，如圖(4)計算OQ的長是2+2×5=12單位長度,然后作一個90°角∠OPM只要比較OQ與OM的長度就行,作∠OPM=90°交y軸于點M，作PH⊥y軸于點H，由ΔOPH∽ΔOPM得：OM=2033=11、5，所以O(shè)Q＞OM，從而∠OPQ＞90°．所以當(dāng)點P在AB邊上運動時，∠OPQ=90°的點P有1個②同理當(dāng)點P在BC邊上運動時，可算得OQ=12+1033=17、8．而構(gòu)成直角時交y軸于0，3533，3533=20、2＞17、8，所以∠OCQ＜90°，從而∠OPQ=90°的點P也有1個．

所以當(dāng)點P沿這兩邊運動時，∠OPQ=90°的點有2個

2、善于捕捉題中的特殊角

在中考壓軸題解題過程中，如果能抓住一些特殊角，比如30°、45°、60°角的特殊性，往往會給解題者帶來一條捷徑。因為這些角往往與它們的邊緊密的聯(lián)系在一起,用直角三角形邊角關(guān)系可以把問題簡單化。在解題過程中關(guān)鍵抓住題中的這些特殊角,作為解題的一個突破口、這類試題目在06年山西臨汾,07年浙江紹興,07年浙江金華等一些中考壓軸題中分別得以體現(xiàn)

例如：2007年蘇州市中考題最后一題如圖①設(shè)拋物線y=ax²+bx-2與x軸交于兩個不同的點A(一1，0)、B(m，0)，與y軸交于點C、且∠ACB=90°．

(1)求m的值和拋物線的解析式；

(2)已知點D(1，n)在拋物線上，過點A的直線y=x+1交拋物線于另一點E．若點P在x軸上，以點P、B、D為頂點的三角形與△AEB相似，求點P的坐標(biāo)．

(3)在(2)的條件下，△BDP的外接圓半徑等于．

分析：首先看第(2)小題中E點的坐標(biāo)的特殊性(6,7)過點E作x軸的垂線EH

如圖②EH=AH=7,由此可得出∠EAH=45°,同理∠DBF=45°,從這特殊角出發(fā)在x軸上尋找一點P,使ΔEAB∽ΔDBP1或ΔEAB∽ΔP2BD,可以求出點P的坐標(biāo)、

第(3)小題在(2)的條件下求△BDP的外接圓半徑,學(xué)生在解題過程中無法找到與外接圓半徑有關(guān)的信息,我們可從特殊的角作為“入口”∠DBP1=45°，把ΔDBP1從整個圖形中分理出來。

如圖③由∠DBP1=45°，可得∠P1OD=90°，ΔP1OD是一個等腰直角三角形,因此只要求出DP1的值問題迎刃而解、DP1通過在RtΔDP1F中,DP1=DF²+FP²1=3537,所以可得ΔDP1B的外接圓半徑為310614,同理可得ΔDP2B外接圓的半徑為3535、

3、善于捕捉題中的特殊多邊形的特殊性質(zhì)

許多特殊的多邊形的一些特性隱藏在中考壓軸題中,在近幾年全國各地的中考試題中,不斷體現(xiàn),如07年河南省數(shù)學(xué)中考卷第23題等如果學(xué)生巧妙地捕捉到它的特性,那么對我們解綜合題，特別是中考壓軸題是有很大幫助的。

例如：2006年江西數(shù)學(xué)中考第25題問題背景：某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到了如下兩個命題：

①如圖1，在正三角形ABC中，M、N分別是AC、AB上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=60°，則BM=CN；

②如圖2，在正方形ABCD中，M、N分別是CD、AD上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=90°，則BM=CN。

③如圖3，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是CD、DE上的點，BM與CN相交于點O。若∠BON=108°，則BM=CN。

任務(wù)要求：

(1)請你從①，②，③三個命題中選擇一個進行證明；

(2)請你繼續(xù)完成下面的探索：

①請在圖3中畫出一條與CN相等的線段DH，使點H在正五邊形的邊上，且與CN相交所成的一個角是108°，這樣的線段有幾條？(不必寫出畫法，不要求證明)

②如圖4，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是DE、EA上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=108°，請問結(jié)論BM=CN是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由。

解析：此題雖然是一種類比思想的運用,其實抓住正多邊形的特殊角的度數(shù),探索邊和角的關(guān)系,證明三角形全等、任務(wù)(2)的②從特殊到一般的情況：N點的位置從DE上拓展到AE上，M點從CD的位置拓展到DE上，應(yīng)用前幾小題已有的解題思維方式進行延伸。

解題過程如下選命題③

證明：在圖3中，∵∠BON=108°，∴∠1+∠2=108°

∵∠2+∠3=108°，∴∠1=∠3

又∵BC=CD，∠BCM=VCDN=108°

∴BM=CN

(2)①如圖3所示，只有一條

②BM=CN成立。

證明：如圖4，連結(jié)BD、CE

在△BCD和△CDE中，

∵BC=CD，∠BCD=∠CDE=108°，CD=DE

∴BD=CE，∠BDC=∠CED，∠DBC=∠ECD

∵∠CDE=∠DEA=108°，∴∠BDM=∠CEN

∵∠OBC+∠OCB=108°，∠OCB+∠OCD=108°，∴∠MBC=∠NCD

又∵∠DBC=∠ECD=36°，∴∠DBM=∠ECN

∴ΔBDM≌ΔCEN，∴BM=CN

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生掌握從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想,許多探索型綜合性試題往往從知識“特殊性”進行編題,然后用特殊性解決“一般性”問題，因此，數(shù)學(xué)中考壓軸題用抓住特殊點、特殊角、特殊圖形的特性去解決是一種很好的方法。

參考資料

2006、07、08年全國各地中考數(shù)學(xué)試題匯編、新疆青少年出版社

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”