巧解鐘表夾角問題

陳　亮

鐘表指針夾角問題看似復(fù)雜，但概括起來無外乎兩種情形：一是單針轉(zhuǎn)過的角度問題，二是分針、時(shí)針夾角問題.只要同學(xué)們認(rèn)真學(xué)習(xí)，是很容易掌握其解題要領(lǐng)的，下面分別介紹.

一、求單針轉(zhuǎn)過角度的方法（單針是指時(shí)針或分針）

因?yàn)殓姳砩系男「駥⒈肀P平均分成60份，每一份（即1小格）對應(yīng)6°，每一格（1格等于5小格）對應(yīng)30°，所以，單針（分針或時(shí)針）轉(zhuǎn)過的角度等于單針轉(zhuǎn)過的小格數(shù)（也是分鐘數(shù)）乘以6°，時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度還等于時(shí)針轉(zhuǎn)過的格數(shù)乘以30°.

例1從2時(shí)30分到2時(shí)55分，時(shí)鐘的分針轉(zhuǎn)過的角度大小是；2時(shí)15分到5時(shí)30分，時(shí)鐘的時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度大小是 .

解析：本題的兩問都是求單針轉(zhuǎn)過的角度.因?yàn)閺?時(shí)30分到2時(shí)55分，分針共轉(zhuǎn)過55 - 30 = 25（min）（也就是25小格），所以，分針轉(zhuǎn)過的角度等于25 × 6° = 150°；從2時(shí)15分到5時(shí)30分，時(shí)針共轉(zhuǎn)過了5- 2= 5.5 - 2.25 = 3.25（h），所以，時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度等于3.25 × 30° = 97.5°.

二、分針與時(shí)針夾角問題，我們可用公式求解

為方便敘述，先設(shè)定本情形中涉及的三個(gè)量，時(shí)針的點(diǎn)數(shù)用d表示，分針的分鐘數(shù)用f表示，兩針的夾角用α表示.下面，我們探索d、f、α這三個(gè)量之間的關(guān)系.

因?yàn)殓姳淼臅r(shí)針12 h轉(zhuǎn)一圈，分針1 h轉(zhuǎn)一圈，所以，分針的速度是時(shí)針?biāo)俣鹊?2倍.分針每分鐘轉(zhuǎn)的角度是6°，則時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)的度數(shù)為× 6° = 0.5°，分針與時(shí)針每分鐘夾角變化的度數(shù)就是6° - 0.5° = 5.5°.假設(shè)d時(shí)f分時(shí)兩針的夾角為α°，那么分針f min轉(zhuǎn)（6 f）°，時(shí)針f min就轉(zhuǎn)× （6 f）° = （0.5 f）°，我們以前一個(gè)最近的整點(diǎn)為基準(zhǔn)，分針、時(shí)針夾角的度數(shù)顯然等于分針、時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度之差.如果分針在前，則

α = （6 f）°- [（30d）° + （0.5f）°]，

即α = （5.5f）° - （30d）°.

如果時(shí)針在前，則

α = （30d）° + （0.5f）° - （6f）°，

即 α = （30d）° - （5.5f）°.

總之，無論分針在前還是時(shí)針在前，都有α = ｜（30d）° - （5.5f）°｜.

這就是解決分針與時(shí)針夾角問題的公式，實(shí)踐中，我們應(yīng)該有“任意知道d、f、α中的兩個(gè)量可求出第三量”的靈活性.

例2鐘表在1時(shí)20分時(shí)，它的時(shí)針與分針?biāo)山堑拇笮∈?.

解析：由題意，知d = 1， f = 20，所以α = ｜30 × 1 - 5.5 × 20｜ = 80°.故填80°.

例3鐘表在5時(shí)過多少分時(shí)，分針與時(shí)針的夾角為90°？

解析：本題已知d與α，要求f，可以用方程的思想解題.

設(shè)鐘表在5時(shí)過f分時(shí)，分針與時(shí)針的夾角為90°.由題意，知d = 5，α = 90°.于是可得方程

30° × 5 - （5.5f）° = 90°

解得f1 =， f2 =.

答：鐘表在5時(shí) 分或5時(shí) 分時(shí)，分針和時(shí)針的夾角為90°.

指針重合問題，實(shí)質(zhì)是分針、時(shí)針夾角為0°的特例.

例4在1時(shí)至2時(shí)之間的什么時(shí)刻，鐘表的分針與時(shí)針重合？

解析：設(shè)在1時(shí)過f分時(shí)，鐘表的分針與時(shí)針重合，根據(jù)題意，得

30° × 1 - （5.5f）° = 0°.

解得f =.

至于整點(diǎn)時(shí)刻分針、時(shí)針的夾角，只需數(shù)出兩針之間（小于平角之間）的格數(shù)，然后用格數(shù)乘以30°即可.

例5 早上8時(shí)的時(shí)針與分針的位置如圖1，那么分針與時(shí)針?biāo)傻慕堑拇笮∈牵ǎ?

A. 60°B. 80°C.120° D. 150°

解析：選C.

因?yàn)檎c(diǎn)時(shí)刻分針和時(shí)針的夾角等于兩針間的格數(shù)乘以30°，而本題兩針間的格數(shù)是4，所以夾角大小為4 × 30° = 120°.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文