焦循與《加減乘除釋》

劉　軍

劉軍，中學(xué)一級(jí)教師，現(xiàn)任職于江蘇大豐市第四中學(xué) ，江蘇大豐市初中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)能手，曾被大豐市人民政府評(píng)為“優(yōu)秀教育工作者”，主編《中學(xué)教材學(xué)習(xí)講義》一書(shū).

焦循（1763~1820），江蘇甘泉（今揚(yáng)州市）人，我國(guó)清代著名的數(shù)學(xué)家．他對(duì)我國(guó)古代數(shù)學(xué)進(jìn)行了比較深入的研究和總結(jié)，在我國(guó)數(shù)學(xué)史上第一次系統(tǒng)地提出了數(shù)量運(yùn)算的基本規(guī)則，推動(dòng)了清代數(shù)學(xué)的發(fā)展，為我國(guó)古代數(shù)學(xué)增添了新的光彩．

焦循在數(shù)學(xué)上最大的貢獻(xiàn)是對(duì)我國(guó)古代數(shù)學(xué)在運(yùn)算規(guī)則方面進(jìn)行了全面總結(jié)，提出了數(shù)量運(yùn)算的基本規(guī)則．這一成果體現(xiàn)在他的數(shù)學(xué)著作《加減乘除釋》當(dāng)中．

此書(shū)初寫(xiě)于乾隆五十九年（1794年）秋．嘉慶二年（1797年），焦循對(duì)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》、《孫子算經(jīng)》、《張邱建算經(jīng)》等進(jìn)行了進(jìn)一步研究，獲得了許多新的想法．在此基礎(chǔ)上，他將過(guò)去寫(xiě)成的草稿進(jìn)行了詳細(xì)的修改完善，最終撰成了《加減乘除釋》這一數(shù)學(xué)專(zhuān)著．

《加減乘除釋》是一部論述數(shù)量加減乘除運(yùn)算規(guī)則的著作，也是我國(guó)古代對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行理論性研究的最早著作．全書(shū)共有8卷，基本內(nèi)容為：第一、五兩卷主要講述數(shù)的加減運(yùn)算規(guī)則，第二卷主要講述二項(xiàng)式的乘方運(yùn)算，第三卷主要論述數(shù)的乘除運(yùn)算規(guī)則，第四、六卷主要講述分?jǐn)?shù)的性質(zhì)和運(yùn)算規(guī)則，第七卷主要講述各種比例問(wèn)題，第八卷主要講述加減乘除四則運(yùn)算規(guī)則．全書(shū)共列出有關(guān)運(yùn)算規(guī)則93條，其中每一條都相當(dāng)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)書(shū)中的一條定理或公式．

焦循在《加減乘除釋》中提出了有關(guān)數(shù)量運(yùn)算的基本規(guī)則，這是他的一項(xiàng)卓越創(chuàng)造．從現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論來(lái)說(shuō)，在關(guān)于數(shù)量運(yùn)算的眾多規(guī)則中，最基本、最主要的有5條：加法交換律，加法結(jié)合律，乘法交換律，乘法結(jié)合律，乘法對(duì)加法的分配律．這些定律在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中有特別重要的地位，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的基礎(chǔ)內(nèi)容和出發(fā)點(diǎn)．而這5條基本運(yùn)算規(guī)則，焦循在《加減乘除釋》中均作了比較準(zhǔn)確的闡述．

在《加減乘除釋》中，焦循還對(duì)加減乘除運(yùn)算之間的關(guān)系進(jìn)行了探討，提出了不少明確而又恰當(dāng)?shù)挠^(guān)點(diǎn)和看法．如他在第二卷中提出：除法不脫離乘法，而乘法實(shí)際上是在加法之內(nèi)，因此，如果明白了加減的道理，乘除的道理自然就明白了．這一段話(huà)深刻地說(shuō)明了加減是乘除的運(yùn)算基礎(chǔ)．在第三卷中他對(duì)加減乘除的運(yùn)算作了進(jìn)一步詳細(xì)闡述，他指出：乘法用來(lái)代替比較繁雜的加法，除法用來(lái)代替比較繁雜的減法，因此可以說(shuō)乘除就是加減的簡(jiǎn)化算法，但乘除不能完全取代加減的功用．由這些論述我們可以看出，焦循對(duì)于加減乘除的運(yùn)算規(guī)則和相互關(guān)系有著多么深刻的理解和認(rèn)識(shí)．

在《加減乘除釋》中，焦循是用甲、乙、丙、丁等天干文字來(lái)表示數(shù)，與直接用具體的數(shù)字運(yùn)算來(lái)表示某些運(yùn)算規(guī)則相比要抽象化、一般化，反映了焦循對(duì)一般原理的追求．這在中國(guó)數(shù)學(xué)史上也是一項(xiàng)創(chuàng)造．在焦循之前，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家都是以具體數(shù)字來(lái)說(shuō)明某種運(yùn)算規(guī)則，而焦循則是第一個(gè)使用某些抽象符號(hào)來(lái)表示一些數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)則，這與今天我們使用a、b、c、d等字母來(lái)表示一些數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)則是相同的．焦循的這些思想從某種意義上代表了我國(guó)古代數(shù)學(xué)的新發(fā)展，為我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)注入了新的血液．Y