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    消點法的運用(一)

    2008-09-27 09:18:12張景中彭翕成
    關(guān)鍵詞:通法輔助線作圖

    張景中 彭翕成

    幾何題千變?nèi)f化,解無定法,這似乎已經(jīng)成為2 000年來人們的共識.但人們還是沒有放棄,一直都在尋找一種“通法”.這里所說的通法,并不是說它能夠解決所有的幾何問題,而是指它能夠解決幾何中的很大一類問題.下面我們要介紹的就是這樣的一種通法——消點法.一般說來,只要題目中的條件可以用尺規(guī)作圖表示出來,并且結(jié)論可以表示成常用幾何量的多項式形式(常用幾何量包括面積、線段及角的三角函數(shù)),那么,就總可以用消點法一步一步地做出解答.

    首先,我們用一個例子來介紹什么是消點法.

    例1如圖1,在?荀ABCD中,E、F分別為AD、CD的中點.連接BE、BF,它們分別交AC于點R、T.求證:R、T分別為AC的三等分點.

    很多人在做幾何題的時候,即使書本上已經(jīng)畫好了幾何圖形,仍然會在草稿紙上重新畫一遍.這樣做,一是擔(dān)心添加輔助線的時候把書本上的圖形搞亂了,二是重新作圖也有利于理解題目意思.其實,幾何題難就難在不知道如何作輔助線.作輔助線屬于人類獨有的高級智慧,既需要平時大量的積累,更需要解題時的“靈機(jī)一動”.能不能避開作輔助線呢?也是可以的.消點法就不需要作輔助線,但要求深入理解題目意思.

    下面我們來重新作圖,要特別注意作圖的順序喲!

    第一步:在平面上作A、B、C三點.這三個點是任意畫的,不受約束.當(dāng)然,A、B、C三點不能在一條直線上,否則下面的圖形就沒法畫下去了.

    第二步:作點D,使得AD∥BC,DC∥AB.

    第三步:連接AC,并作出AD中點E和CD中點F.

    第四步:連接BE交AC于點R,連接BF交AC于點T.

    在該圖形中的所有點中,我們把A、B、C三點稱之為“自由點”,而將其他點稱之為“約束點”.之所以這樣劃分,是因為一旦A、B、C三點位置確定,那么其他點的位置也隨之確定,沒有變動的可能了.

    為了證明點T是AC的三等分點,從圖形可以看出需要證明= 2.我們的思路是:要證明的等式左端牽涉到好幾個點(A、C、T),但右端卻只有數(shù)字2,如果想辦法把字母A、C、T都消掉,不就水落石出了嗎?在這種思想的指導(dǎo)下,我們首先著手從式子 中消去最晚出現(xiàn)的點T.

    用什么辦法消去一個點,這要看此點的來歷和它出現(xiàn)在什么樣的幾何量中.點T是AC、BF相交產(chǎn)生的,用我們前面所介紹的共邊定理共邊定理的內(nèi)容是:若直線AB和PQ相交于點M,則有:= 可得:=.這就成功地消去了點T.此時卻多出了個點F.下一步就要消去點F.根據(jù)點F的來歷“點F是CD的中點”,則S△CBF =S△BCD .由點F是CD上的點,且AB∥DC,則有S△ABF = S△ABC.接下來消去點D.根據(jù)點D的來歷“AD∥BC”,則S△BCD = S△ABC .于是一個簡潔的證明產(chǎn)生了:= = = 2?= 2.同理,可再證點R是AC的三等分點.

    現(xiàn)在我們來總結(jié)一下.上題解題的順序和點的排列大有關(guān)系.題目的結(jié)論是= 2.怎么處理這個式子呢?解二元一次方程組有“消元法”.把未知數(shù)一個一個地消去,消到后面就解決了.這個方法在解幾何題的時候也可以借用,不妨稱之為“消點法”.消點法,就是從我們要處理的式子中消去約束點.約束點消完了,問題往往就水落石出了.消約束點有個順序:后產(chǎn)生的先消去.在式子 中,點T是最后產(chǎn)生的,就先消點T.怎樣消去點T ?就要查查點T的來歷,正所謂“解鈴還須系鈴人”.依此類推即可.如果在消點的過程中,出現(xiàn)了新的約束點,也要按照順序消除.一般來說,自由點是不需要專門想辦法消掉的,到一定的時候,自然就會消掉.

    例2如圖2,一個不規(guī)則四邊形ABCD,其中AG = GH = HD,BE = EF = FC.分別連接EG、FH.求證:S四邊形ABCD = 3S四邊形 GEFH.

    證明:根據(jù)作圖順序,將點分為兩個級別.第一級別:A、B、C、D;第二級別:G、E、F、H.

    我們先消去G、F兩個點.

    S四邊形GEFH = S△GEH + S△EFH =S △AEH +S△CEH .

    再消去E、H兩個點. S△AEH +S△CEH =S四邊形AECH =S△AEC +S△CHA =? S △ABC +? S△CDA =S四邊形ABCD.

    所以S四邊形ABCD = 3S四邊形 GEFH.

    例3如圖3,四邊形ABCD的邊AD、BC的延長線交于點E,對角線AC、BD的中點分別為F、G,求 .

    解析:我們將題目中的點分為兩個級別.第一級別:A、B、C、D;第二級別:E、F、G.下面給出求法.

    S△EFG = S△EAG - S△EAF - S△AFG (S△ADG + S△EDG) -S△EAC -S△ACG = S△ADB +S△EDB -S四邊形AGCE =S△ABE -S四邊形AGCES四邊形 ABCG? S四邊形ABCD =S四邊形ABCD.所求的值為 .

    在A、B、C、D四點確定之后,E、F、G三點也隨之確定,而E、F、G三點之間并無明確的先后順序.

    在很多題目中,并不需要將點的級別分得很細(xì).譬如在例1中,完全可以將A、B、C、D看成是一個級別,因為我們對平行四邊形的性質(zhì)已經(jīng)比較了解,沒有必要在熟悉的地方再做文章.又如在例3中,也不必將E、F、G再分成幾個級別.熟練之后,甚至不需要再在稿紙上作圖.眼睛一掃,題目各點的來龍去脈全部都清楚了,因為很多題目的條件也是按照作圖順序進(jìn)行敘述的.這也是一些解題高手能夠記住很多題目的原因.下一期,我們將列舉更多的例子,繼續(xù)介紹消點法的運用.Y

    注:“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”

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