面積大法秘笈

趙　輝

面積對學生來說大多是一種負擔，只能作為求解的目標，不是解題武器庫中的珍藏.其實，武功高手能撒豆成兵，樹葉化袖箭.解題高手也是一樣，什么知識都可轉(zhuǎn)化為解題的工具，就連最無用的面積，也能派上大用場.

一、用不同方法表示同一個圖形的面積

例1 如圖1，已知BD，CE是△ABC的高，且BD=CE.求證：△ABC是等腰三角形.

分析： 同一個三角形的面積只有一個值，但可以列出不同的求面積算式，由此建立方程，可以順利求解.

證明：顯然S△ABC = AB?CE= AC?BD.

即AB?CE=AC?BD.

由CE=BD，可得AB=AC.即△ABC是等腰三角形.

二、圖形面積相等

例2 如圖2，已知AD是△ABC的中線，CF⊥AD于F，BE⊥AD交AD的延長線于E.求證：BE=CF.

分析：因為△ABD，△ACD有相同的邊AD，要證BE=CF，只需證△ABD和△ACD的面積相等.

證明：∵AD是△ABC的中線，即BD=CD，

∴S△ABD =S△ACD .

∵S△ABD = AD?BE，S△ACD = AD?CF，

∴ AD?BE= AD?CF.由此可得BE=CF.

三、一個圖形的面積等于幾個圖形面積的和

例3 如圖3，P是等邊△ABC內(nèi)一點，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，AH⊥BC于H.求證：PD+PE+PF=AH.

分析： 將PD，PE，PF，AH看成是三角形的高，找出這四條線段分別屬于哪個三角形即可.這引導我們要構(gòu)造三角形.連接PA，PB，PC，把△ABC分成△ABP、△BCP、△CAP，并通過這三個三角形的面積和等于等邊三角形的面積來證明.

證明：連接PA，PB，PC.顯然S△ABP +S△BCP +S△ACP =S△ABC .

∴ AB?PD+ BC?PE+ AC?PF= BC?AH.

由AB=BC=AC，可得PD+PE+PF=AH.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”