利用提公因式法解題

劉學(xué)杰

提公因式法是分解因式的“專利”嗎？不是的！對其他許多數(shù)學(xué)題，若能根據(jù)題目的特點(diǎn)，靈活運(yùn)用提公因式法，往往會收到意想不到的效果.現(xiàn)舉例說明.

[一][利用提公因式法簡化計(jì)算]

例1計(jì)算：0.124×255+36.5×1.24-12.4×2.75+0.124×655.

分析：如果分別運(yùn)算，顯然有一定的難度.但四個乘積中都可以尋找到0.124的“倍數(shù)”，所以可以將0.124提出，或許可以簡化運(yùn)算.

解：原式=0.124×（255+365-275+655）=0.124×1 000=124.

說明：通過對本題的求解可以看出，提取了公因數(shù)，不但大大降低了運(yùn)算難度，而且快速準(zhǔn)確.

[二][利用提公因式法比較大小]

例2已知a=-，b=-，c=-，試用不等號將a、b、c連接起來.

分析：如果分別求出a、b、c，顯然不易完成.考慮到有關(guān)數(shù)據(jù)較大，可以采用作差法，或許通過提取公因數(shù)能夠簡化運(yùn)算.

解：a-b=-+=×

-.

因?yàn)?gt;1，＜1，所以a-b>0，a>b.同理可得b-c>0，b>c.所以a>b>c.

說明：通過分析數(shù)字特點(diǎn)，巧妙地作差，然后提取公因數(shù)，大大降低了運(yùn)算的難度.

[三][利用提公因式法求值]

例3已知a=2 005x+2 006，b=2 005x+2 007，c=2 005x+2 008，試求代數(shù)式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值.

分析：若要先求出a、b、c的值，則肯定無法辦到.但是，要求的代數(shù)式通過分組后有公因式可提取，同時已知條件兩兩相減也可以得到a-b、b-c和c-a的值，從而可以較方便地求解.

解：因?yàn)閍=2 005x+2 006，b=2 005x+2 007，c=2 005x+2 008，所以a-b=-1，b-c=-1，c-a=2.

∴a2+b2+c2-ab-bc-ca

=（a2-ab）+（b2-bc）+（c2-ca）

=a（a-b）+b（b-c）+c（c-a）

=-a-b+2c

=（c-a）-（b-c）

=3.

說明：本題也可通過a2+b2+c2-ab-bc-ca=［（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2］求解.

[四][利用提公因式法幫助說理]

例47204-5×7203+3×7202能被17整除嗎？說說你的理由.

分析：能不能被17整除，關(guān)鍵是看是否含有因數(shù)17，因此可以采用分解因數(shù)的方法.原式中三項(xiàng)的公因數(shù)是7202，可將各項(xiàng)中的7202提出，以尋求解法.

解：7204-5×7203+3×7202能被17整除，因?yàn)?204-5×7203+3×7202=72×7202-5×7×7202+3×7202=7202（72-5×7+3）=7202×17.

說明：看一個多項(xiàng)式形式表示的數(shù)能否被某個數(shù)整除，通常采用分解因數(shù)的方法.這類題目一般技巧性強(qiáng)，要多在審題上下些功夫.

<\192.168.0.129本地磁盤 (d)王玲霞數(shù)據(jù)八年級數(shù)學(xué)北師大08年1-2期版式+圖jjgg.TIF>[練習(xí)]

1. 計(jì)算：2.854×4.362-4.362×1.8-0.054×4.362.

2. 對于任意自然數(shù)n，2-2n能被15整除嗎？為什么？

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