《證明（一）》復(fù)習(xí)指導(dǎo)

喻俊鵬

一、重點難點

1． 重點：平行線的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和外角的性質(zhì)以及證明的基本步驟．

2． 難點：三角形內(nèi)角和外角性質(zhì)的靈活運用．

二、知識精析

1． 觀察、度量、猜測得到的結(jié)果未必是準(zhǔn)確的．要判斷一個數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確，必須一步一步、有根有據(jù)地進行推理．要體會證明的必要性．

2． 定義是對名稱和術(shù)語加以描述，作出的明確的規(guī)定．命題是判斷一件事情的句子．注意，表示判斷的句子都是命題，而不管判斷是否正確．沒有判斷的句子不是命題，如常見的疑問句、祈使句等．

3． 每個命題都由條件和結(jié)論兩部分組成，條件是已知的事項，結(jié)論是由已知事項推斷出來的事項．一般地，命題都可以寫成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是條件，“那么”引出的部分是結(jié)論．

4． 正確的命題稱為真命題，不正確的命題稱為假命題．真命題可以通過推理、證明的方法證實，假命題則可以通過舉反例來驗證．

5． 證明的一般步驟：（1）理解題意；（2）根據(jù)題意畫出正確圖形；（3）根據(jù)題意寫出“已知”和“求證”；（4）分析題意，探索證明的思路；（5）依據(jù)尋求到的思路，運用數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)語言條理清晰地寫出證明過程；（6）檢查證明過程是否正確、完善．

三、解題技巧

例1 一艘輪船從A港出發(fā)沿北偏東65°方向航行，行駛至B處轉(zhuǎn)向北偏西25°方向繼續(xù)航行，若到達C處后需要把航向恢復(fù)到與出發(fā)時一致的航向，應(yīng)如何調(diào)整航向？

解析：依題意可畫出航行示意圖（如圖1），其中箭頭表示正北方向． 因正北方向互相平行，故∠1＝∠A＝65°，從而∠CBM＝65°＋25°＝90°．射線CN表示輪船在C處調(diào)整后的航行方向，所以CN∥AM，∠2＝∠CBM＝90°．

輪船到C處時把原來的航向按順時針方向轉(zhuǎn)90°，就恢復(fù)到與出發(fā)時一致的航向了．

評注：這是一道有關(guān)平行線與方位角的應(yīng)用題，關(guān)鍵是要能根據(jù)題意準(zhǔn)確畫出圖形．畫出圖后就很容易應(yīng)用平行線的性質(zhì)進行說明了．

例2 如圖2，在△ABC中，∠ACB＝90°，D、E在AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠ECD的大?。?/p>

解析：設(shè)∠ECD＝x．因 AD＝AC，故∠4＝∠1＋x．又BE＝BC，所以∠3＝∠2＋x．因∠4＝∠2＋∠B，∠3＝∠1＋∠A，故∠1＋x＋∠2＋x＝∠2＋∠B＋∠1＋∠A．即2x＝∠A＋∠B．又∠ACB＝90°，得∠A＋∠B＝90°．所以 2x＝∠A＋∠B＝90°， x＝45°，即∠ECD＝45°．

評注：一般來說，在三角形中計算角時，三角形內(nèi)角和定理及其推論起著很重要的作用，有時還需要用到方程思想來拓展思維，簡化解題過程．

四、易錯點直擊

例3 如圖3，直線AB和CD分別與直線MN交于E、F兩點，EP和FQ分別平分∠MEB和∠EFD，AB∥CD．求證：EP∥FQ．

錯證：∵ AB∥CD， ∴ ∠MEB＝∠EFD．

又∵ EP和FQ分別平分∠MEB和∠EFD，

∴ ∠1＝∠MEB，∠2＝∠EFD．

∴ ∠1＝∠2，EP∥FQ．

剖析：由∠1＝∠2并不能得到EP∥FQ，因為∠1和∠2在圖中位置雖然“相同”，但它們并不是同位角．正確的方法是利用∠MEP＝∠MEB，∠EFQ＝∠EFD，得到∠MEP＝∠EFQ，從而證明EP∥FQ．

例4 若∠1和∠2的兩邊分別平行，且∠1＝50°，則∠2＝．

錯解：答案為50°．

剖析：錯誤的原因是只考慮到了圖4中兩角的位置情況而忽視了圖5中的位置情況．由兩圖可知∠1和∠2的關(guān)系是相等或互補．正確的答案應(yīng)該是50°或130°．類似地，當(dāng)∠1與∠2的兩邊分別垂直時，∠1與∠2的關(guān)系也是相等或互補，同學(xué)們可自己畫圖試試看．

例5 如圖6，△ABC的外角平分線所在的直線圍成了△DEF，那么△DEF的形狀是（）．

A． 銳角三角形B． 直角三角形

C． 鈍角三角形D． 與△ABC的形狀一致

錯解：答案為D．

剖析：從表面上看，△DEF的形狀難以確定，應(yīng)該與△ABC的形狀一致，實際上卻并非如此．我們可作如下證明：

因 AF、CF分別平分∠MAC和∠ACN，故 ∠FAC＝∠MAC，∠FCA＝∠ACN．又∠MAC＝∠ABC＋∠ACB，∠ACN＝∠ABC＋∠BAC，所以∠FAC＋∠FCA＝∠MAC＋∠ACN＝（∠ABC＋∠ACB＋∠ABC＋∠BAC）＝（∠ABC＋180°），從而∠F＝180°－（∠FAC＋∠FCA）＝90°－∠ABC．于是必有∠F ＜ 90°．

同理可證：∠E＝90°－∠BAC， ∠D＝90°－∠ACB．因此，不論△ABC是怎樣的三角形，△DEF總是銳角三角形．正確的答案是A．

五、相關(guān)中考題鏈接

1． （安徽）如圖7，直線a∥b，點B在直線b上，且AB⊥BC，∠1＝55°，則∠2為（）．

A． 35°B． 45°C． 55° D． 125°

2． （北京）如圖8，AD∥BC，點E在BD的延長線上，若∠ADE＝155°，則∠DBC為（）．

A． 155°B． 50°C． 45° D． 25°

3． （寧波市）如圖9，AB∥CD，∠B＝23°，∠D＝42°，則∠E＝（）．

A． 23°B． 42°C． 65° D． 19°

4． （武漢市）如圖10，把一個長方形紙片ABCD沿EF折疊后，點D、C分別落在D′、C′的位置．若∠EFC＝115°，則∠AED′為（）．

A． 50°B． 55°C． 60° D． 65°

5． （安徽）如圖11，AB∥CD，∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，則∠E∶∠F＝（）．

A． 2∶1B． 3∶1 C． 3∶2D． 4∶3

6． （新疆）如圖12，△ABC中，∠A＝80°．剪去∠A后，得到四邊形BCDE，則∠1＋∠2＝．

7． （金華市）如圖13，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，將△ADE沿DE向下折疊，得到圖14．下面關(guān)于圖14的四個結(jié)論中，不一定成立的是（）．

A． 點A′落在BC邊的中點 B．∠B＋∠C＋∠1＝180°

C． △DBA′是等腰三角形 D． DE∥BC

8． （哈爾濱市）過一個鈍角的頂點作這個角兩邊的垂線，若這兩條垂線的夾角為40°，則此鈍角為（）．

A． 140° B． 160° C． 120° D． 110°

9． （南充市）一個三角形的兩個內(nèi)角分別是55°和65°，這個三角形的外角不可能是（）．

A． 115° B． 120° C． 125° D． 130°

10． （太原市）如圖15，已知AB∥CD，∠C＝75°，∠A＝25°，則∠E＝．

11． （貴陽市）如圖16，已知AB∥DE，∠ABC＝60°，∠CDE＝150°，則∠BCD＝．

12． （南寧市）如圖17，平面鏡AO與BO之間的夾角為120°，光線經(jīng)平面鏡AO反射后射到平面鏡BO上，再反射出去．若∠1＝∠2，則∠1＝．

13． （天津）如上頁圖18，△ODC中，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝60°，∠OCB＝25°，則∠BED＝ ．

14． （江西）如圖19，圖中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝．

15． （伊春市）如圖20，AB∥CD，∠B＝120°，∠1＝72°，則∠2＝．

16． （安徽）取一副三角板按圖21所示拼接．將三角板ABC繞A點按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個大小為α的角（0°＜α≤45°），得到△ABC′．（1）當(dāng)α為何值時，能使得圖22中有AB∥DC？（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖23位置時，α又為多少？找出圖23中的相似三角形，并求其中一對的相似比．（3）連接BD（如圖24），當(dāng)0°＜α≤45°時，探尋∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC的值的變化情況，并給出你的證明．

相關(guān)中考題鏈接參考答案

1． A2． D3． C4． A5． C6． 260°7． A8． A9． D10． 50°11． 30° 12． 30°13． 70°14． 360° 15． 48°16． （1）α＝15°． （2）當(dāng)α＝45°時可得到圖23．記DC與AC′、BC′分別交于E、F（如圖25），共有兩對相似三角形：△BFC∽△ADC，△C′FE∽△ADE．其中△BFC與△ADC的相似比為1∶（2＋）；△C′FE與△ADE的相似比為（－＋1）∶．（3）∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC的值恒為105°（提示：易知五角星ABCC′D的5個“角”的和為180°，而∠C＝30°，∠C′＝45°）．