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    《分解因式》復習指導

    2008-08-26 11:26:16喻碧濤
    關(guān)鍵詞:公因式因式奇數(shù)

    喻碧濤

    一、重點和難點

    1. 重點:正確理解分解因式的概念以及它與整式乘法的區(qū)別、聯(lián)系,能夠熟練地運用提公因式法和公式法把多項式分解因式.

    2. 難點:能用類比的思想方法去分析、理解整式乘法與分解因式的關(guān)系,能靈活選擇適當?shù)姆椒▽⒁粋€多項式分解因式.

    二、知識精析

    1. 把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式分解因式.分解因式的最終結(jié)果必須是幾

    個整式的積的形式.

    2. 提公因式法的關(guān)鍵是找出各項的公因式.公因式中的系數(shù)是各項系數(shù)的最大公約數(shù),同一字母或因式的指數(shù)則要取各項中最低的指數(shù).

    3. 運用公式法的關(guān)鍵是熟悉每一個公式的特征,如項數(shù)、符號、指數(shù)、系數(shù)等.在多項式?jīng)]有公因式的前提下,兩項式常用平方差公式,三項式常用完全平方公式或公式x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).若各項有公因式,則先提公因式,再考慮運用公式法.

    4. 分解因式與整式乘法是兩個互逆的過程,但不是互逆運算(整式乘法的逆運算是整式除法),它們的關(guān)系可以表示為:

    5. 分解因式要進行到每一個因式都不能再分解為止.

    6. 分解因式的結(jié)果中,相同因式的積應寫成冪的形式,單項式因式應寫在多項式因式前面.

    7. 分解因式的過程是恒等變形的過程,在變形前后,式子的值始終保持不變.

    8. 感受并領(lǐng)悟滲透于分解因式過程中的類比、轉(zhuǎn)化、整體代換等思想方法,學會運用配方法和逆向思維法.

    三、解題技巧

    例1 計算:.

    解析:根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特點,通過觀察,可巧妙利用分解因式,使運算簡便、快捷.

    原式====.

    例2 已知a=x+20,b=x+19,c=x+21,那么代數(shù)式a2+b2+c2-ab-bc-ac的值是.

    解析:由題設知a-b=1,b-c=-2,a-c=-1.根據(jù)求值代數(shù)式的特點,可利用完全平方公式分解因式,然后整體代入求值.

    由已知可得a-b=1,b-c=-2,a-c=-1,所以,原式=x(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)=[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]=(1+4+1)=3.

    例3 求方程x2-y2+2x-2y=-5的整數(shù)解.

    解析:根據(jù)方程特點,可先將其左邊分解為幾個因式的積的形式,而右邊為一個常數(shù),從而可列出方程組求解.

    原方程可變形為:(x+y)(x-y)+2(x-y)=-5,即(x-y)(x+y+2)=-5.由-5=-1×5=1×(-5),可得到以下方程組:x-y=-1,

    x+y+2=5;或x-y=5,

    x+y+2=-1;或x-y=1,

    x+y+2=-5;或x-y=-5,

    x+y+2=1.解上述各方程組,得到原方程的整數(shù)解:x1=1,

    y1=2;x2=1,

    y2=-4;x3=-3,

    y3=-4;x4=-3,

    y4=2.

    例4 證明:四個連續(xù)整數(shù)的積加上1是一個奇數(shù)的平方.

    解析:由連續(xù)整數(shù)的特點及乘法的交換律,將多項式利用分解因式變形為完全平方式.

    設這四個連續(xù)整數(shù)分別為n-1,n,n+1,n+2(n為整數(shù)),于是有(n-1)n·(n+1)(n+2)+1=[(n-1)(n+2)][n(n+1)]+1=(n2+n-2)(n2+n)+1=(n2+n)2-2(n2+n)+1=(n2+n-1)2.由于n2+n=n(n+1)是兩個連續(xù)整數(shù)的積,必為偶數(shù),從而n2+n-1必是一個奇數(shù),故四個連續(xù)整數(shù)的積加上1是一個奇數(shù)的平方.

    例5 已知△ABC的三邊長a、b、c滿足關(guān)系式a2-c2+3ab-3bc=0,試判斷△ABC的形狀.

    解析:將已知條件的左邊分解為幾個因式的積,因右邊為0,則左邊必有因式為0,從而得到有關(guān)邊之間的等式.

    因a2-c2+3ab-3bc=0,故 (a+c)(a-c)+3b(a-c)=0,即(a-c)(a+c+3b)=0.又a、b、c為△ABC三條邊的長, 所以a+c+3b>0.故 a-c=0.所以△ABC是等腰三角形.

    四、易錯點直擊

    1. 對整式的意義理解不正確而出錯.

    例6 分解因式:m2-5m+6.

    錯解:原式=m21-

    +

    .

    剖析:結(jié)果雖是積的形式,但1-+不是整式,故分解因式不正確.

    正解:原式=(m-2)(m-3).

    2. 不是恒等變形而出錯.

    例7 分解因式:3y2-6xy+3y.

    錯解:原式=3y(y-2x).

    剖析:“1”作為系數(shù)通??梢允÷圆粚懀绻麊为毘梢豁棔r就不能漏掉.上面的錯誤就出在多項式的第三項提取3y后,將“1”省略了.

    正解:原式=3y(y-2x+1).

    3. 公因式未提盡而出錯.

    例8 分解因式:4m(a-b)3-2mc(b-a)2.

    錯解:原式=2m[2(a-b)3-c(b-a)2].

    剖析:中括號內(nèi)仍含有公因式(a-b)2.

    正解:原式=2m(a-b)2(2a-2b-c).

    4. 公式應用不正確而出錯.

    例9 分解因式:4x2-(x2+1)2.

    錯解:原式=(2x+x2+1)(2x-x2-1)=(x+1)2(x-1)2.

    剖析:錯誤出在二次三項式2x-x2-1不等于(x-1)2,而應等于-(x-1)2.

    正解:原式=(2x+x2+1)(2x-x2-1)=-(x+1)2(x2-2x+1)=-(x+1)2(x-1)2.

    5. 分解不徹底而出錯.

    例10 分解因式:-m4+16.

    錯解:原式=16-m4=(4+m2)(4-m2).

    剖析:4-m2在有理數(shù)范圍內(nèi)還可以再分解.

    正解:原式=16-m4=(4+m2)(4-m2)=(4+m2)(2+m)(2-m).

    6. 分解后的因式不是最簡形式而出錯.

    例11 分解因式:m(m-n)3+2m2(m-n)2-2mn(m-n)2.

    錯解:原式=m(m-n)2[(m-n)+2m-2n]=m(m-n)2(m-n+2m-2n).

    剖析:提取公因式后,剩下的因式中能進一步合并的沒有合并,或相同的因式?jīng)]有寫成冪的形式.

    正解:前面分解方法同上解,得:原式=m(m-n)2(3m-3n)=3m(m-n)2(m-n)=3m(m-n)3.

    五、相關(guān)中考題鏈接

    1. (臨沂市)把45ab2-20a分解因式的結(jié)果是().

    A. 5ab(9b-4) B. 5a(9b2-4) C. 5a(3b-2)2 D. 5a(3b+2)(3b-2)

    2. (天門市)如圖1,邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形.小明將圖1的陰影部分剪拼成了一個矩形,如圖2所示.這一過程可以驗證().

    A. a2+b2-2ab=(a-b)2B. a2+b2+2ab=(a+b)2

    C. a2-b2=(a+b)(a-b) D. 2a2-3ab+b2=(2a-b)(a-b)

    3. (淮安市)如果a+b=2 006,a-b=1,那么a2-b2= .

    4. (錦州市)若多項式4a2+M能用平方差公式分解因式,則單項式M= (寫出一個即可).

    5. (福建)已知x2+4x-2=0,那么3x2+12x+2 000的值為 .

    6. (北京)分解因式:(1)x5-4xy2;(2)a2-2ab+2b2.

    7. (濟南市)請你從下列各式中任選兩式作差,并將得到的式子分解因式:

    4a2,(x+y)2,1,9b2.

    8. (2006年·安徽)老師在黑板上寫出三個算式:52-32=8×2,92-72=8×4,152-32=8×27.王華接著又寫了具有同樣規(guī)律的算式:112-52=8×12,152-72=8×22……

    (1)請你再寫出兩個(不同于上面算式)具有上述規(guī)律的算式.

    (2)試用文字表達上述算式的規(guī)律.

    (3)證明這個規(guī)律的正確性.

    相關(guān)中考題鏈接參考答案

    1. D2. C3. 2 0064. -b2(答案不唯一)5. 2 0066. (1)x(x2+2y)(x2-2y);(2)(a-2b)2. 7. 答案不唯一,略. 8. (1)略. (2)任意兩個奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù).(3)設m、n為整數(shù),兩個奇數(shù)表示為2m+1和2n+1,則(2m+1)2-(2n+1)2=4(m-n)(m+n+1).當m、n同為奇數(shù)或偶數(shù)時,m-n一定為偶數(shù),所以4(m-n)一定是8的倍數(shù);當m、n一奇一偶時,則m+n+1一定是偶數(shù),所以4(m+n+1)一定是8的倍數(shù).由此可知,上述規(guī)律是正確的.

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