關(guān)注相似三角形中的“基本圖形”

崔躍成

如圖1，Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高.這是一個(gè)重要的基本圖形，在許多問(wèn)題中都不難發(fā)現(xiàn)它的影子，利用它可以幫助我們順利地解題.根據(jù)圖形，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，我們可以得到下面的結(jié)論：

（1）Rt△ABC∽R(shí)t△ACD∽R(shí)t△CBD.

（2）CD2=AD·BD，AC2=AD·AB，BC2=BD·AB.

（3）AC·BC=AB·CD（由面積得出）.

下面，我們來(lái)看看這些結(jié)論的應(yīng)用.

一、利用基本圖形進(jìn)行計(jì)算

例1 如圖2，A點(diǎn)坐標(biāo)為（10，0），B點(diǎn)在第一象限，且OB⊥AB，AB=6.求點(diǎn)B的坐標(biāo).

解：過(guò)B作BC⊥OA于C，如圖3．

在Rt△AOB中，因OA=10，AB=6，由勾股定理知OB=8.

∵ BC⊥OA，

∴ Rt△OBC∽R(shí)t△OAB．

∴ OB2=OC·OA，于是OC===.

又∵ AB·OB=OA·BC，

∴ BC===.

∴ 點(diǎn)B的坐標(biāo)為

，

.

二、發(fā)現(xiàn)基本圖形，獲取解題途徑

例2如圖4，在矩形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，BE⊥AC于F，過(guò)F作FG∥AB交AE于G，試說(shuō)明：AG2 = AF·FC.

分析：通過(guò)觀察不難發(fā)現(xiàn)，由Rt△ABC中BF⊥AC，易得BF 2＝AF·FC，因此僅需證明AG=BF即可.

解：∵ 在矩形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，

∴ △ADE≌△BCE（SAS）.

∴ AE=BE.∠EAB=∠EBA.

又∵ FG∥AB，

∴ ∠EGF=∠EFG.故EG=EF.

∴ AG=BF.

∵ 在Rt△ABC中，BF⊥AC，

∴ BF2=AF·FC，從而AG2=AF·FC.

例3 如圖5，直線y=-2x+2分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)A、B．試問(wèn)：在直線y=-x+5上是否存在一點(diǎn)C，使得△ABC是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：存在點(diǎn)C．過(guò)B作BC⊥AB交直線y=-x+5于點(diǎn)C，如圖6，則點(diǎn)C即為所求.

易知A（1，0），B（0，2），所以O(shè)A=1，OB=2.

設(shè)直線BC與x軸交于D點(diǎn)．

∵ 在Rt△ABD中，OB⊥AD，

∴ OB2=OD·OA.OD==4.故D（-4，0）．

又B（0，2），若設(shè)過(guò)點(diǎn)D、B的直線的表達(dá)式為y=kx＋b，則k（-4）+b=0，

k·0+b=2．

解得b＝2，k=.

∴ 直線BD（即直線BC）的表達(dá)式為y=x+2.

于是C點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）滿足y=

x+2，

y=-x+5.解得x＝2，

y=3.所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）.

同理，過(guò)A作AC′⊥AB交直線y=-x+5于C′，C′也滿足題意．可類(lèi)似求得C′點(diǎn)坐標(biāo)為

，

.

綜上，C點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為（2，3）或．

三、構(gòu)造基本圖形，順利解決問(wèn)題

例4 如圖7，在矩形ABCD中，E是AD中點(diǎn)，EF⊥EC且交AB于F，連接FC．問(wèn)：△AEF與△ECF是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：分別延長(zhǎng)FE和CD，交于點(diǎn)M，如圖8．由E是AD中點(diǎn)，易證出△AEF≌△DEM.從而EF＝EM．又易證△ECF≌△ECM.這樣，△AEF與△ECF是否相似轉(zhuǎn)化為△DEM與△ECM是否相似．而在Rt△ECM中，ED⊥CM，二者是否相似是顯而易見(jiàn)的.請(qǐng)同學(xué)們自己寫(xiě)出解題過(guò)程.