淺談幾何概型的交互性

劉曉東

幾何概型是新課程高中數(shù)學(xué)概率部分新增加的內(nèi)容，其特點鮮明，令人賞心悅目,其強大的交互性則充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美,所以幾何概型一出現(xiàn)便倍受廣大師生的喜愛，同時也引起了高考命題專家的高度關(guān)注，本文僅對新課程中幾何概型的交互性功能進行簡單剖析.

根據(jù)幾何概型的定義，我們不難發(fā)現(xiàn)，幾何概型的問題主要分為三類，即一維空間問題、二維空間問題和三維空間問題，總是與長度、面積、體積等相關(guān)聯(lián).

1 幾何概型與幾何的交匯

幾何概型原本就是建立在幾何模型的基礎(chǔ)上，所以它與幾何問題有著密切的聯(lián)系，無論是長度、面積還是體積，我們都能體會到幾何概型的交互功能.

例1 平面上畫了一些彼此相距2a的平行線，把一枚半徑r

解 記事件A：“硬幣不與任一條平行線相碰”.為了確定硬幣的位置，由硬幣中心O向靠得最近的平行線引垂線OM，垂足為M，參看圖1，這樣線段OM長度(記作|OM|）的取值范圍是[0，a]，只有當(dāng)r＜|OM|≤a時，硬幣不與平行線相碰，

所以P(A）=(r,a]的長度[0,a]的長度=a-ra.

這是典型的幾何中的線段長度.對于幾何長度，除了常見的線段長度，也可以是弧長、區(qū)間、角度、時間等等，所以在處理幾何概型問題時，對長度的理解一定要準確，合理構(gòu)建幾何模型.

例2 如圖2，以正方形ABCD的邊長為直徑作半圓，重疊部分為花瓣. 現(xiàn)在向該矩形區(qū)域內(nèi)隨機地投擲一飛鏢，求飛鏢落在花瓣內(nèi)的概率.解 此類問題是典型的二維空間問題,這類題型中，試驗全部結(jié)果的區(qū)域與構(gòu)成事件A的區(qū)域，都直接由題中條件給出，,只要是正確計算花瓣的面積.從而易解.設(shè)飛鏢落在花瓣內(nèi)為事件A，設(shè)正方形邊長為2r，則

P(A)=S花瓣S瑼BCD=12πr2×4-(2r)2(2r)2

=π-22

所以，飛鏢落在花瓣內(nèi)的概率為π-22.

例3 拋階磚游戲：參與者將手上的“金幣”拋落在離身邊若干距離的階磚平面上，拋出的硬幣剛巧落在任何一個階磚的范圍內(nèi)(不壓階磚相連的線）獲勝．當(dāng)正方形階磚的邊長為5cm，金幣直徑為2.5 cm時，請你計算“金幣”落在階磚范圍內(nèi)的概率．(圓心落在正中間邊長為2.5cm的正方形內(nèi)，游戲獲勝）

解 設(shè)A為“金幣落在階磚內(nèi)”，

則P(A）=2.5×2.55×5=14．

這二個例題都是幾何概型中的面積問題，很具有代表性，例2主要考慮面積的計算，而例3拋階磚游戲，是幾何概型的經(jīng)典應(yīng)用，問題的關(guān)鍵則是幾何模型的構(gòu)造，根據(jù)問題情境，合理構(gòu)造模型，是幾何概型的一個重要特征.

例4 如圖4，在三棱錐內(nèi)任取一點P，使其與底面ABC構(gòu)成一個新的三棱錐，求新三棱錐體積不超過原體積一半的概率.

解 過三棱錐S-ABC的高SO的中點O1作平行于底面ABC的面A1B1C1，

則由題意易知，只要點P落在棱臺A1B1C1—ABC的內(nèi)部即可.

所以P(A)=V璖-ABC-V璖-A1B1C1V璖-ABC=1-(SO1SO)3

=78,

幾何中的體積問題,一般來說背景較為清晰,只要準確理解題意,問題不難解決.

2 幾何概型與代數(shù)的交匯

幾何概型雖是以幾何模型為基礎(chǔ),但是它與代數(shù)也有著很強的交互功能，特別是與不等式的交匯.其交匯點仍是長度、面積與體積，如何構(gòu)造交匯點模型，成為解題的關(guān)鍵.

例5 函數(shù)f(x）＝x²－x－2，x∈[－5，5]，那么在區(qū)間[－5，5]上任取一點x0，求f(x0）≤0的概率.

解 由函數(shù)f(x）＝x²－x－2，x∈[－5，5]的圖像可知使得f(x)≤0的x取值范圍是-1≤x≤2.于是使f(x0）≤0的概率為：

P(A）=2-(-1)5-(-5)=310.

本題雖小，但很有特點，幾何概型與二次函數(shù)巧妙結(jié)合，令人賞心悅目.

例6 把長度為a的線段在任意兩點折斷為三線段，求它們可以構(gòu)成一個三角形的概率.

解 取此線段為數(shù)軸，折斷點的坐標為x,y，則三線段長分別是，x,y,a-x-y,且x>0,y>0,x+y2