動態(tài)幾何中的函數(shù)問題

趙　艷

近幾年動態(tài)幾何命題的趨勢是：運動對象從動點型→動線型→動圖型；運動形式從平移→旋轉(zhuǎn)→對稱→位似→折疊；蘊涵的函數(shù)關(guān)系從一次函數(shù)→二次函數(shù)→分段函數(shù).從知識整合的角度來看不僅有幾何代數(shù)的數(shù)形結(jié)合，還有幾何坐標(biāo)的解析整合，較好地滲透了分類討論，數(shù)形結(jié)合.轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，有較強的綜合性.本文主要探討如何解決動態(tài)幾何中的函數(shù)問題.其基本策略：把握圖形的運動規(guī)律，尋求圖形運動的一般與特殊位置關(guān)系，在“動”中探求“靜”的本質(zhì)，在“靜”中去探“動”的規(guī)律.解決問題時在“動”中建立變量之間的函數(shù)關(guān)系，在“靜”中利用函數(shù)關(guān)系解決幾何問題.

1 圖形運動中的函數(shù)問題

圖形運動變化的過程中，探求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，并根據(jù)實際情況確定自變量的取值范圍，利用函數(shù)關(guān)系去解決有關(guān)的幾何問題.

例1 已知：如圖1，△ABC是邊長3cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB，BC方向勻速移動，它們的速度都是1cm/s，當(dāng)點P到達點B時，P、Q兩點停止運動，設(shè)點P的運動時間為t(s)，解答下列問題：

(1)當(dāng)t為何值時，△PBQ是直角三角形?

(2)設(shè)四邊形APQC的面積為y(cm²)，求y與t的關(guān)系式；是否存在某一時刻t使四邊形APQC的面積是△ABC面積的23?如果存在，求出相應(yīng)的t值，不存在請說明理由.

(3)設(shè)PQ的長為x(cm)，試確定y與x之間的關(guān)系式.

圖1 圖2略解 (1)由題意，得AP=tcm，BQ=tcm，在△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，所以BP=(3-t)cm，在△PBQ中，BP=(3-t)cm. BQ=t，若△PBQ是直角三角形，則∠BQP=90°或∠BPQ=90°，當(dāng)∠BQP=90°，BQ=12BP時，即t=12(3-t)，t=1(s).

當(dāng)∠BPQ=90°時，BP=12BQ. 3-t=12t，t=2(s)，故當(dāng)t=1s或t=2s時，△PBQ是直角三角形.

(2)如圖2，過點P作PM⊥BC于點M，y與t的關(guān)系式為：y=34t²-334t+934，假設(shè)存在某一時刻t，使得四邊形APQC的面積是△ABC面積的23，則S┧謀咝蜛PQC=23S△ABC，所以34t²-334t+934=23×12×3²×32，但該方程無實數(shù)解. 所以無論t取何值，四邊形APQC的面積都不可能是△ABC面積的23.

(3)y與x的關(guān)系式為：y=312x²+323.

評析 此類問題在試題中出現(xiàn)的較多，結(jié)合幾何與代數(shù)的知識，綜合考查利用幾何圖形的基本性質(zhì)和列一元一次方程、一元二次方程解決問題，并根據(jù)方程根的情況判斷t值的存在性，對分類討論思想和問題轉(zhuǎn)化思想有一定的要求.

例2 有一根直尺，短邊長2cm，長邊長10cm，還有一塊銳角為45°的直角三角形紙板，它的斜邊長12cm，如圖3，將直尺的短邊DE與直角三角形紙板的斜邊AB部分重合，且點D與點A重合，將直尺沿AB方向平移，如圖4，設(shè)平移的長度為xcm(0≤x≤10)，直尺和三角形紙板的重疊部分(圖中陰影部分)的面積為Scm².

⑴當(dāng)x=0時(如圖3)，S=，當(dāng)x=10時，(如圖3)，S=；

⑵當(dāng)0

⑶當(dāng)4

⑷當(dāng)6

⑸求出當(dāng)x為何值時，陰影部分S的面積為11cm²?

圖3 圖4答案 ⑴2cm²，2cm²；⑵S=2x+2；⑶S=-x²+10x-14⑷；S=22-2x；⑸x=5時.

評析 此是以圖形的平移為載體，蘊含著分段函數(shù)關(guān)系，考查學(xué)生對圖形運動中的變量關(guān)系的理解，學(xué)會用運動變化的觀點和分類討論考慮問題.

2 坐標(biāo)平面內(nèi)圖形運動中的函數(shù)問題

解決此類問題借用坐標(biāo)系中的幾何圖形，由圖形中的動點引出兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，進而利用探索的函數(shù)關(guān)系求圖形在符合某個條件時動點的坐標(biāo)或者解決其它有關(guān)問題.

圖5例3 如圖5，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標(biāo)分別為(3，0)、(3、4).動點M、N分別從O、B同時出發(fā)，以每秒1個單位的速度運動，其中點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動. 過點N作NP⊥BC，交AC于點P，連結(jié)MP，已知動點運動了x秒.

⑴P點的坐標(biāo)為(，)；(用含x的代數(shù)表示)

⑵設(shè)△MPA的面積為y，試求x為何值時y最大，最大是多少?

⑶請你探索，當(dāng)x為何值時，△MPA是一個等腰三角形?你發(fā)現(xiàn)了幾種情況?并求P點坐標(biāo).

略解 ⑴P(3-x，43x)；

⑵S△MPA=12MA·h=12(3-x)·43x=23x²+6x，當(dāng)x=32時，y最大為32.

⑶MA=3-x，要使△MPA為等腰三角形.

則有當(dāng)PA=PM，BN=x，BN=12MA，所以x=12(3-x)，所以x=1. 當(dāng)AP=AM時，3-x=x·53，所以x=98，當(dāng)AP=MA時，3-x=(3-2x)²+(43)²，x=0(舍去)，x=5443，因此有三種情況.

評析 此題的條件既相互關(guān)聯(lián)又相互制約，在解題中“由數(shù)思形”“以形促數(shù)”可以開辟多角度，多層次的解題思維途徑，考查學(xué)生的運算能力和對復(fù)雜圖形的解構(gòu)能力.

圖6例4 如圖6所示，在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊AD在x軸上，點A在原點，AB=3，AD=5. 若矩形以每秒2個單位長度沿x軸正方向作勻速運動. 同時點P從A點出發(fā)以每秒1個單位長度沿A—B—C—D的路線作勻速運動，當(dāng)P點運動到D點時停止運動，矩形ABCD也隨之停止運動.

⑴求P點從A點運動到D點所需的時間；

⑵設(shè)P點運動時間為t(秒).

①當(dāng)t=5時，求出點P的坐標(biāo)；

②若△OAP的面積為S，試求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式(并寫出相應(yīng)的自變量t取值范圍).

略解 ⑴P點從A點運動到D點所需的時間為(3+5+3)÷1=11(秒)，⑵①當(dāng)t=5時，P點從A點運動到BC上，此時OA=10，AB+BP=5，所以BP=2.過點P作PE⊥AD于點E，則PE=AB=3，AE=BP=2，所以O(shè)E=OA+AE=10+2=12.所以點P的坐標(biāo)(12，3).

②分三種情況：(Ⅰ)當(dāng)02

評析 本題是動點動圖相結(jié)合的動態(tài)幾何中的函數(shù)問題.

此類題目應(yīng)從相關(guān)圖形的性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系分類討論來解決. 用動態(tài)的觀點看待分段函數(shù)和圖形結(jié)合問題.

3 函數(shù)圖象中的圖形運動問題

解決此類問題先求函數(shù)解析式，然后在函數(shù)圖象上探求符合幾何條件的點. 運用待定系數(shù)法和數(shù)形結(jié)合思想，求出函數(shù)的解析式，再利用解析式解決有關(guān)幾何問題.

圖7例5 如圖7所示，已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為C(1，0)，直線y=x+m與該二次函數(shù)的圖象交于A，B兩點，其中A點的坐標(biāo)為(3，4)，B點在y軸上.

(1)求m的值及這個二次函數(shù)的關(guān)系式；

(2)P為線段AB上的一個動點(點P與A，B不重合)，過P作x軸的垂線與這個二次函數(shù)的圖象交于E點，設(shè)線段PE的長為h，點P的橫坐標(biāo)為x，求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)D為直線AB與這個二次函數(shù)的圖象對稱軸的交點，在線段AB上是否存在一點P，使得四邊形DCEP是平行四邊形?若存在，請求出此時P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

略解 ⑴由題意可知4=3+m，所以m=1. 設(shè)函數(shù)關(guān)系為y=a(x-1)²，所以4=a(3-1)²，所以a=1，所以y=(x-1)²=x²-2x+1.

⑵設(shè)P、E縱坐標(biāo)分別為y璓和y璄，所以PE=h=y璓-y璄=(x+1)-(x+1)²=-x²+3x，

即h=-x²+3x(0

⑶存在，四邊形DCEP為平行四邊形則有PE=DC，因為D在y=x+1上，所以D(1，2)，-x²+3x=2，x1=2，x2=1(舍去).

所以當(dāng)點P坐標(biāo)為(2，3)時，四邊形DCEP是平行四邊形.

評析 此題以二次函數(shù)為對象，考查滿足條件的二次函數(shù)形式，而動點P在一次函數(shù)圖象上運動，應(yīng)從相關(guān)圖象圖形的性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系進行分析，探求新的函數(shù)關(guān)系式，考查學(xué)生綜合應(yīng)用能力.

圖8例6 矩形OABC在直角坐標(biāo)系中的位置如圖8所示，A，C兩點的坐標(biāo)分別為A(6，0)，C(0，3)，直線y=34x與BC邊相交于點D.

⑴求點D的坐標(biāo)；

⑵若拋物線y=ax²+bx經(jīng)過D，A兩點，試確定此拋物線的表達式；

⑶P為x軸上方(2)中拋物線上一點，求△POA面積的最大值；

⑷設(shè)(2)中拋物線的對稱軸與直線OD交于點M，點Q為對稱軸上一動點，以Q、O、M為頂點的三角形與△OCD相似，求符合條件的Q點的坐標(biāo).

答案 ⑴D(4，3)；

⑵y=-38x²+94x；

⑶S△POA的最大值=12×6×278=818；

⑷符合條件的點有兩個：

Q1(3，0)、Q2(3，-4).

評析 本題仍以二次函數(shù)為載體，把確定解析式作為突破口，其中構(gòu)造的基本圖形也是動態(tài)幾何圖形，解此類問題也應(yīng)從圖形圖象的性質(zhì)入手，探求變量之間的關(guān)系，繼而探求圖形在符合某個條件時動點的坐標(biāo).

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