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    關(guān)于一個(gè)偽命題的思考

    2008-06-30 09:36:38韓松德
    關(guān)鍵詞:頂角平分線直角

    韓松德

    選修課上老師給我們出了這么一個(gè)偽命題“一切三角形都是等腰三角形”并給以證明,讓我們從中找出原題證明過程中的破綻. 筆者與同學(xué)討論很久,思索考慮的越深,越覺得這道題有意思. 于是便整理下來與廣大讀者一起分享.

    原題的證明過程如下:

    證明:如圖1,設(shè)△ABC中BC邊的垂直平分線與頂角A的角平分線相交于點(diǎn)E,過E點(diǎn)作EH、EL分別垂直于AC、AB兩邊.

    因?yàn)锳E為∠A的角平分線,EL⊥AB且EH⊥AC,

    所以EL=EH,又因?yàn)锳E=AE,

    所以Rt△ALE≌Rt△AHE(HL),

    所以AL=AH,(1)

    又因?yàn)镋點(diǎn)在BC的垂直平分線上,所以EB=EC.因?yàn)镋L=EH,所以Rt△BLE≌Rt△EHC(HL)

    所以BL=HC,(2)

    (1)+(2)得

    AL+BL=AH+HC,即AB=AC.

    故命題得證.

    看到這里讀者不覺感到可笑,這么一個(gè)荒謬的結(jié)論居然能夠證明出來. 難道一切三角形都是等腰三角形這個(gè)荒謬的結(jié)論是正確的?很明顯,是錯(cuò)誤的!可是事實(shí)擺在眼前,“鐵證如山”,不得不信.

    仔細(xì)分析一下原題的證明過程,讀者會(huì)發(fā)現(xiàn)除了第一句話“設(shè)△ABC中BC邊的垂直平分線與頂角A的角平分線相交于點(diǎn)E(點(diǎn)E在△ABC的內(nèi)部)”有待商榷外,其他部分完全符合數(shù)學(xué)原理. 細(xì)心讀者不免會(huì)問:“難道點(diǎn)E一定在三角形的內(nèi)部?該題的例證三角形為銳角三角形,那么在直角三角形和鈍角三角形中點(diǎn)E也會(huì)在其內(nèi)部嗎?”

    如將上圖中的角B換為直角,讀者會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)很荒謬的結(jié)論:直角三角形的一條直角邊AB居然等于它的一條斜邊AC.

    很明顯這是錯(cuò)誤的!可是如果點(diǎn)E在三角形的內(nèi)部,那么由上述證明知該三角形一定是等腰三角形,反過來如果一個(gè)三角形是等腰三角形,那么由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)知,點(diǎn)E一定在三角形的內(nèi)部(實(shí)際為∠A的角平分線與BC邊的垂直平分線重合). 因此,我們可以做一個(gè)大膽的假設(shè):上述情況只在等腰三角形中成立,在其他三角形中不成立.

    下面我們來證明這個(gè)假設(shè).

    圖2證明 首先證明三角形為直角三角形的情況. 如圖2,以直角邊OA為x軸,O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系xOy.

    設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,0),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,b)所求點(diǎn)E的坐標(biāo)(OA邊垂直平分線與頂角B的角平分線的交點(diǎn),下面證明過程中點(diǎn)E代表的意義與此相同)坐標(biāo)為(x,y).

    因?yàn)辄c(diǎn)E在OA的垂直平分線上,

    所以E點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)為(a2,y),

    又因?yàn)辄c(diǎn)E在∠B的角平分線上,

    所以點(diǎn)B到y(tǒng)軸的距離與到直線AB的距離相等.

    因?yàn)锳B的直線方程xa+yb=1,

    即bx+ay-ab=0,

    所以|12ab+ay-ab|a2+b2=a2,

    解得y=b±a2+b22,

    因?yàn)閥2

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