“妙”題“巧”解

蔣　濤

2008高考，我最欣賞的一道數(shù)學(xué)試題是江西卷理科第10題.試題如下.

連接球面上兩點(diǎn)的線段稱為球的弦.如下圖，半徑為4的球的兩條弦AB、CD的長(zhǎng)度分別等于2、4，M，N分別為AB、CD的中點(diǎn)，每條弦的兩端都在球面上運(yùn)動(dòng)，有下列四個(gè)命題：①弦AB、CD可能相交于點(diǎn)M②弦AB、CD可能相交于點(diǎn)N③MN的最大值為5④MN的最小值為1其中真命題的個(gè)數(shù)為（）.

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

分析：四個(gè)命題的判斷實(shí)際上是兩個(gè)問(wèn)題，可分開(kāi)處理.①②主要針對(duì)兩條動(dòng)弦的位置可能作出判斷，可看做問(wèn)題（1）；而③④解決的關(guān)鍵是求出MN的取值范圍，作為問(wèn)題（2）.由題設(shè)易得OM=3，ON=2，可合理使用.

1. 類(lèi)比法

將空間問(wèn)題平面化，此題可追溯到平面中的兩個(gè)結(jié)論：

（1）在圓中兩動(dòng)弦可能相交于短弦的中點(diǎn)，但不可能相交于長(zhǎng)弦的中點(diǎn).

（2）平面上兩動(dòng)點(diǎn)M、N到定點(diǎn)O分別為定長(zhǎng)d1、d2，則當(dāng)O、M、N三點(diǎn)共線時(shí)MN取得最值：M、N同側(cè)時(shí)MN取得最小值，M、N異側(cè)時(shí)MN取得最大值.

結(jié)論（1）利用反證法說(shuō)明：假設(shè)弦AB、CD相交于點(diǎn)N.

∵ AB2=4（R2-OM2），CD2=4（R2-ON2），

在Rt△OMN中，OM

∴AB2>CD2，即AB>CD.

與已知AB

結(jié)論（2）則是顯而易見(jiàn)的，不需要證明，據(jù)此很容易選對(duì)答案.

以下方法易解決問(wèn)題（2）.

點(diǎn)評(píng)：類(lèi)比是一種方法，更是一種合情推理能力，新課標(biāo)要求學(xué)生掌握這種能力并體現(xiàn)在解題過(guò)程中，高中階段最典型的類(lèi)比類(lèi)型是等差到等比，平面到空間，關(guān)鍵是學(xué)生在感悟中深刻體會(huì)，在實(shí)踐中加強(qiáng)鍛煉.

2. 軌跡法

將動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題軌跡化，動(dòng)點(diǎn)M、N的軌跡為以3、2為半徑的兩個(gè)同心球.M、N在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中不難發(fā)現(xiàn)則當(dāng)M、N與球心O三點(diǎn)共線時(shí)MN取得最值：M、N在O同側(cè)時(shí)MN取得最小值1，即兩半徑之差；M、N在O異側(cè)時(shí)MN取得最大值5，即兩半徑之和.

點(diǎn)評(píng)：軌跡思想是解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的不二法門(mén)，把一些比較復(fù)雜的問(wèn)題幾何化，借助于形的直觀性，很容易作出判斷或者求解.

3. 向量法

由已知推導(dǎo)得｜｜=3，｜｜=2，｜｜=｜-｜.下面可以用兩種方法推導(dǎo)結(jié)果.由三角不等式或者兩邊平方都可以推導(dǎo)出MN的最值.

方法一：由三角不等式知：｜｜｜-｜｜｜≤｜-｜≤｜｜+｜｜，即1≤｜-｜≤5.∴｜｜max=5，｜｜min=1.

方法二：將｜｜=｜-｜兩邊直接平方，得

｜｜2=-｜-｜2=(-)2=｜｜2+｜｜2-2?=13-12cos∠MON.

∵cos∠MON∈［-1，1］，∴｜｜2∈［1，25］即｜｜∈［，15］.

點(diǎn)評(píng)：向量單獨(dú)的知識(shí)點(diǎn)在高考中所占的份額一般不大，但是向量往往卻可以作為工具使用，具有很強(qiáng)的兼容性，三角、解析幾何與向量的完美結(jié)合開(kāi)拓了視野，豐富了解法，更體現(xiàn)了不同知識(shí)章節(jié)之間的聯(lián)系.

4. 三角法

由余弦定理MN2=OM2+ON2-2OM×ON×cos∠MON=14-12cos∠MON=13-12cos∠MON.

根據(jù)cos∠MON∈易得MN∈［1，5］.

點(diǎn)評(píng)：此法與向量法中的方法二頗為類(lèi)似，但出發(fā)點(diǎn)是不同的.脫去已知條件所穿著的“沉重的大衣”，直接瞄準(zhǔn)目標(biāo)，用O、M、N三點(diǎn)的關(guān)系來(lái)求解MN的最值，這種解法關(guān)鍵在于化歸思想.

本題設(shè)計(jì)巧妙，題型新穎，立意深刻，是一道不可多得的“妙”題，而解法的豐富多彩給學(xué)生留下了一個(gè)自由發(fā)揮的廣闊探索空間，學(xué)生在探索的過(guò)程中收獲著樂(lè)趣和成功，沒(méi)有比巧妙解決掉一個(gè)問(wèn)題所帶來(lái)的充實(shí)和自豪感更美妙的了，有幸碰到這樣一道“奇妙”的問(wèn)題，讓學(xué)生有了用武之地，思維一旦打開(kāi)，智慧的火花必將燦爛奪目.如此“妙”題，不愧是我最欣賞的一道數(shù)學(xué)試題啊！