淺談數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的教學(xué)

陶民超

傳統(tǒng)教材對知識的來龍去脈和數(shù)學(xué)的應(yīng)用重視不夠，不重視引導(dǎo)學(xué)生運用所學(xué)知識解決日常生活、生產(chǎn)中遇到的實際問題，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)的意識不夠，解決實際問題的能力脆弱.新教材對此作了大的調(diào)整，增加了具有廣泛應(yīng)用性、實踐性的教學(xué)內(nèi)容，重視數(shù)學(xué)知識的運用，增強數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，把培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)的意識貫穿在教材的各個方面.如每一章的序言，都編排了一個現(xiàn)實中的應(yīng)用問題，引入該章的知識內(nèi)容，以突出知識的實際背景.如第三章《數(shù)列》以趣味話題“國王對國際象棋棋盤發(fā)明者獎勵的麥粒數(shù)的計算”作為章頭序言，激發(fā)學(xué)習(xí)欲望，增加教材內(nèi)容的趣味性.在教材的編排上，既用通俗易懂的語言陳述問題，又附以插圖增強直觀形象性、趣味性.

在研究具體問題時以實際例子引入課題.高中數(shù)學(xué)的十章內(nèi)容中，分別就概念引入、實例說明、數(shù)學(xué)表示等方面有三十一處都恰當(dāng)?shù)剡\用了實際問題和具體情景.如用“不同重量信件的郵資問題”表示分段函數(shù)，用功和位移的關(guān)系引入向量數(shù)量積的概念等.實例引入增強了問題的實際背景，為順利解決問題作了鋪墊.

例題中的應(yīng)用問題.例題中安排應(yīng)用問題，一方面可以培養(yǎng)學(xué)生閱讀能力、分析問題解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，另一方面通過范例講解，使學(xué)生掌握解決應(yīng)用問題的一般思想和方法.新教材的十章內(nèi)容中共有 41 個例題是涉及數(shù)學(xué)應(yīng)用的，占例題總數(shù)的14.6% ，它們都非常接近學(xué)生的生活實際和所學(xué)知識，難易適中，示范性強.

練習(xí)、習(xí)題、復(fù)習(xí)題中增加了應(yīng)用問題的分量.為使學(xué)生鞏固所學(xué)知識，逐步提高分析問題、解決問題的能力，新教材在練習(xí)題、習(xí)題、復(fù)習(xí)題中增加了大量的應(yīng)用問題.其中練習(xí)題有45題，占總數(shù)的12.4%；習(xí)題有105題，占總數(shù)的18.15%；復(fù)習(xí)題有50題，占總數(shù)的14.91%.分別涉及增長率、行程問題、物理、化學(xué)、生物問題及儲蓄等各個方面，量大面寬，情景新穎，融知識性、趣味性、自主實踐性于一體.

閱讀材料中也有，問題生動有趣，貼近學(xué)生生活.擴大學(xué)生閱讀面的閱讀材料，新教材中共安排了15個，其中有：歷史故事方面的，如第二章《函數(shù)》的“對數(shù)和指數(shù)發(fā)展簡史”，第五章《平面向量》中的“人們早期是怎么樣測量地球的半徑的？”介紹數(shù)學(xué)應(yīng)用方面的，如第八章《圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及應(yīng)用》，第十章《抽簽有先后，對各人公平嗎？》；擴充知識方面的，有第五章《平面向量》中的“向量的三種類型”等.

另外，又新增了“實習(xí)作業(yè)”和“研究性課題”.為了使學(xué)生親自體驗數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，靈活運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，加強學(xué)生學(xué)習(xí)的自主活動性，培養(yǎng)綜合運用知識的能力，新教材安排了三次實習(xí)作業(yè)：一是 “函數(shù)關(guān)系的實習(xí)作業(yè)”，讓學(xué)生調(diào)查研究附近商店、工廠、學(xué)校潛在的函數(shù)問題；二是利用“平面向量”知識解決不能直接測量的距離、方向問題；三是“線性規(guī)劃的實際應(yīng)用”.研究性課題是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力的重要內(nèi)容，新教材分別在第三、五、七、九章中安排了四個研究性課題：“分期付款中的有關(guān)計算”、“向量在物理學(xué)中的應(yīng)用”、“線性規(guī)劃的實際應(yīng)用”、“多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)”.讓學(xué)生動手操作，選擇優(yōu)化方案，歸納概括，恰當(dāng)建模，運用理論指導(dǎo)實踐.

那么，我們應(yīng)如何進行應(yīng)用問題的教學(xué)呢？

首先，要重視基本方法和基本解題思想的滲透與訓(xùn)練.為培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，提高學(xué)生分析問題解決問題的能力，教學(xué)中應(yīng)結(jié)合具體問題，教給學(xué)生解答應(yīng)用題的基本方法、步驟和建模過程，建模思想.具體可按以下程序進行：（1）先審題.由于數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性及實際問題非數(shù)學(xué)情景的多樣性，往往需要在陌生的情景中去理解、分析給出的問題，舍棄與數(shù)學(xué)無關(guān)的因素，抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系.為此，引導(dǎo)學(xué)生從粗讀到細研，冷靜、縝密地閱讀題目，明確問題中所含的量及相關(guān)量的數(shù)學(xué)關(guān)系.對學(xué)生生疏情景、名詞、概念作必要的解釋和提示，以幫助學(xué)生將實際問題數(shù)學(xué)化.（2）建模.明白題意后，再進一步引導(dǎo)學(xué)生分析題目中各量的特點，搞清哪些是已知的，哪些是未知的，是否可用字母或字母的代數(shù)式表示，它們之間存在著怎樣的聯(lián)系.將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言或圖形語言，找到與此相聯(lián)系的數(shù)學(xué)知識，建成數(shù)學(xué)模型，再求解數(shù)學(xué)問題，得出數(shù)學(xué)結(jié)論.（3）還原.將得到的結(jié)論，根據(jù)實際意義適當(dāng)增刪，還原為實際問題.

其次，引導(dǎo)學(xué)生將應(yīng)用問題進行歸類.為了增強學(xué)生的建模能力，在應(yīng)用問題的教學(xué)中，及時結(jié)合所學(xué)章節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生將應(yīng)用問題進行歸類，使學(xué)生掌握熟悉的實際原型，發(fā)揮“定式思維”的積極作用，可順利解決數(shù)學(xué)建模的困難，如將高中的應(yīng)用題歸為：（1）增長率（或減少率）問題；（2）行程問題；（3）合力的問題；（4）排列組合問題；（5）最值問題；（6）概率問題等.這樣，學(xué)生遇到應(yīng)用問題時，針對問題情境，就可以通過類比尋找記憶中與題目相類似的實際事件，利用聯(lián)想，建立數(shù)學(xué)模型.

再次，針對不同內(nèi)容采取不同教法.高中新教材的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題遍及教材的各個方面，教學(xué)時針對不同內(nèi)容，有的放矢，各有側(cè)重，就會取得較好的效果.

在數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的教學(xué)中，應(yīng)重視介紹數(shù)學(xué)知識的來龍去脈.一般情況下，數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生不外乎實際的需要和數(shù)學(xué)內(nèi)部的需要，高中階段所學(xué)的知識大都是來源于實際生活，許多的數(shù)學(xué)知識都有具體直接的應(yīng)用，應(yīng)讓學(xué)生充分實踐和體驗這些知識是如何使用的，在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生感受和體驗數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.

學(xué)會運用數(shù)學(xué)語言描述周圍世界中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)現(xiàn)象.數(shù)學(xué)語言可以清楚、簡潔、準確地描述日常生活中的許多現(xiàn)象，讓學(xué)生養(yǎng)成樂意運用數(shù)學(xué)語言進行交流的習(xí)慣，既可以增強學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，也可以提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)的能力.教學(xué)中教師應(yīng)幫助學(xué)生形成一個開闊的視野，了解數(shù)學(xué)對于人類發(fā)展的應(yīng)用價值.在知識實踐，能力培養(yǎng)的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)主動地向?qū)W生展示現(xiàn)實生活中的數(shù)學(xué)信息和數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用，向?qū)W生提供豐富的閱讀材料，讓學(xué)生感受到現(xiàn)實生活與數(shù)學(xué)知識是密切相關(guān).