數(shù)學(xué)教學(xué)中的分類討論

韓恒陽

在實(shí)施新課程的過程中，要求每個(gè)學(xué)生具有創(chuàng)意、創(chuàng)思.分類討論，它既是思想，又是邏輯方法.教學(xué)中正確、合理、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆诸愑懻?，可將一個(gè)復(fù)雜的問題簡單化，化繁為簡，化難為易，化抽象為具體.在教學(xué)實(shí)踐中，筆者從以下四個(gè)方面，讓學(xué)生學(xué)會(huì)分類討論.

一、適時(shí)滲透，形成意識(shí)

初中數(shù)學(xué)引入負(fù)數(shù)概念后，對(duì)有理數(shù)進(jìn)行分類，就蘊(yùn)涵著分類討論，從而形成意識(shí).例如，155、117.3、0.55%等是正數(shù)——比0大的數(shù)；－155、－117.3、－0.03%等是負(fù)數(shù)——比0小的數(shù)；0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù).從而有理數(shù)可分為正數(shù)、0、負(fù)數(shù).這樣可讓學(xué)生識(shí)別，初步體會(huì)分類.教學(xué)中教師應(yīng)有意啟發(fā)學(xué)生，從有理數(shù)分類進(jìn)行認(rèn)知的遷移，幫助學(xué)生概括｜a｜表達(dá)方式：①a>0，｜a｜=a；②a=0，｜a｜=0；③a<0，｜a｜=－a.

二、啟發(fā)誘導(dǎo)，弄清本質(zhì)

初中學(xué)生分類意識(shí)不強(qiáng)，不知何時(shí)分類、如何分類.教學(xué)中教師應(yīng)結(jié)合新課程，舉一些符合新課標(biāo)、且學(xué)生易接受的、需要區(qū)分各類情況進(jìn)行討論的問題，啟發(fā)誘導(dǎo)，弄清本質(zhì).

例1若等腰三角形中有一個(gè)角等于50°，則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為（）.

A. 50°B. 80°C. 65°或50°D. 50°或80°

分析：等腰三角形中角分頂角和底角.答案為 D.

例2方程kx2+2x－1=0有幾個(gè)實(shí)數(shù)根？

分析：（1）當(dāng)k=0時(shí)，方程為一元一次方程，必有一個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)k≠0時(shí)，方程為一元二次方程，它的根的情況由根的判別式的符號(hào)決定.

三、引導(dǎo)分析，學(xué)會(huì)方法

教學(xué)中形成了分類意識(shí)，弄清了本質(zhì)，那么掌握合理的方法，就成為解決問題的關(guān)鍵.常見的分類方法有以下幾種.

1．?dāng)?shù)學(xué)概念.有些數(shù)學(xué)概念是分類給出的，解答此類題，一般按概念的分類形式進(jìn)行分類.

例3在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（－4，0），B（2，0）.若點(diǎn)C在一次函數(shù)y=

-x+2的圖象上，且△ABC是直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)C有（）.

A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)

分析：三角形中任一角均可為直角.答案為D.

2．?dāng)?shù)學(xué)的法則、性質(zhì)或特殊規(guī)定.研究反比例函數(shù)時(shí)，函數(shù)y=（k≠0 ）的圖象取決于k的值.

例4已知反比例函數(shù)y=的圖象位于第一、第三象限，則k的取值范圍是（）.

A. k＞2B. k≥2C. k≤2D. k<2

分析：由k-2＞0和k-2<0決定象限.答案為A.

3．圖形的特征或相互間的關(guān)系.在進(jìn)行圓弧的教學(xué)時(shí)，圓弧分劣弧、優(yōu)弧和半圓.

例5如圖1，已知⊙O的半徑為5，點(diǎn)O到弦AB的距離為3，則⊙O上到弦AB所在直線的距離為2的點(diǎn)有（）.

A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)

分析：分劣弧和優(yōu)弧兩種情況：劣弧中1個(gè)點(diǎn)，優(yōu)弧中2個(gè)點(diǎn).答案為C.

4．條件開放.有些題目中的條件開放，致使求解結(jié)果不唯一.若對(duì)這類問題考慮不完整，時(shí)常發(fā)生漏解現(xiàn)象.

例6已知半徑為1的兩圓外切，半徑為r且和這兩圓都相切的圓共有個(gè).

分析：①0

四、創(chuàng)設(shè)情境，提高能力

分類討論的思想對(duì)學(xué)生的能力要求較高，學(xué)生不能盲目、隨意分類討論，而應(yīng)不斷強(qiáng)化意識(shí)，完善方法，提高能力.一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類.

1．代數(shù)中根據(jù)字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內(nèi)討論解決問題.

例7如圖２，直線y=x+m和拋物線y=x2+bx+c都經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（3，2）.求不等式x2+bx+c＞x+m的解集（直接寫出答案）.

分析：分x<1，1

2．根據(jù)幾何圖形的點(diǎn)和線出現(xiàn)不同位置的情況，逐一討論解決問題.

例8如圖3，已知點(diǎn)A從（1，0）出發(fā)，以1個(gè)單位長度／秒的速度沿x軸向正方向運(yùn)動(dòng)，以O(shè)、A為頂點(diǎn)作菱形OABC，使點(diǎn)B、C在第一象限內(nèi)，且∠AOC=60°，以P（0，3）為圓心，PC為半徑作圓.設(shè)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)了t秒.求：當(dāng)點(diǎn)A在運(yùn)動(dòng)過程中，所有使⊙P與菱形OABC的邊所在直線相切的t的值.

分析：⊙P分別與直線OA、AB、BC、OC相切，故t的值：-1，3-1和9+6-1.