二次函數(shù)與四邊形形狀相結(jié)合的“存在性”試題解題策略

“存在性”問(wèn)題屬于探索性問(wèn)題的一種，以二次函數(shù)為載體的四邊形形狀“存在性”問(wèn)題是近幾年中考?jí)狠S題的熱點(diǎn). 它以能力立意取代知識(shí)立意，立足基礎(chǔ)，突出能力和數(shù)學(xué)思想的考查，對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力要求較高，有較高的區(qū)分度. 現(xiàn)例舉近兩年以二次函數(shù)為載體的四邊形形狀“存在性”問(wèn)題評(píng)析如下.

1 與平行四邊形形狀相結(jié)合的存在性問(wèn)題

如圖1，要使四邊形ABCD成為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的判定定理，需滿(mǎn)足的條件：(1)AD∥BC 且AD=BC ； (2)AD=BC且AB=CD； (3)OA=OC且OB=OD；對(duì)于(1)這種需滿(mǎn)足兩個(gè)不同條件的判定方法，我們常常讓其中一個(gè)條件先滿(mǎn)足，再根據(jù)所需滿(mǎn)足的第二個(gè)條件求解.

例1 (2007浙江省)如圖2，拋物線(xiàn)y=x2-2x-3與x軸交A、B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè))，直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于A、C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2. (1)求A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線(xiàn)AC的函數(shù)表達(dá)式；(2)P是線(xiàn)段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作y軸的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于E點(diǎn)，求線(xiàn)段PE長(zhǎng)度的最大值；(3)點(diǎn)G是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使A、C、F、G這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?如果存在，求出所有滿(mǎn)足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解 (1)令y=0，解得x₁=-1或x₂=3，所以A(-1，0)、B(3，0)；將C點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=2代入y=x2-2x-3得y=-3，所以C(2，-3)，所以直線(xiàn)AC的函數(shù)解析式是y=-x-1.

(2)設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x(-1≤x≤2)則P、E的坐標(biāo)分別為：P(x，-x-1)，E(x， x2-2x-3)，因?yàn)镻點(diǎn)在E點(diǎn)的上方，PE=(-x-1)-(x2-2x-3)=- x2+x+2，所以當(dāng)x=12時(shí)，PE的最大值是94.

(3)若AF為邊，則CG∥AF∥x軸，所以G(0，-3)，AF=CG=2，以A為圓心2為半徑畫(huà)弧交x軸于F1、F2，則F1(1，0)，F(xiàn)2(-3，0)；若AF為對(duì)角線(xiàn)，AF、CG交于點(diǎn)D，作CM⊥x軸，GN⊥x軸，垂足分別為M、N，所以△ACM≌△FGN，△CMD≌△FND，所以G點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，F(xiàn)N=AM=3，所以G1(1+7，3)、G2(1-7，3)，因?yàn)镕N=AM=3，所以F3(4+7，0)，F(xiàn)4(4-7，0)，存在4個(gè)這樣的點(diǎn)F，分別是F1(1，0)，F(xiàn)2(-3，0)，F(xiàn)3(4+，0)，F(xiàn)4(4-7，0).

點(diǎn)評(píng) 第(3)小題中，因?yàn)樗膫€(gè)點(diǎn)能組成平行四邊形的情況有多種，需分類(lèi)討論，把四個(gè)點(diǎn)全部找出來(lái)有一定的困難.

2 與矩形形狀相結(jié)合的存在性問(wèn)題

如圖3，要使平行四邊形ABCD成為矩形，根據(jù)矩形的判定定理，需滿(mǎn)足的條件是(1)有一個(gè)角(如∠BAD)等于90°. 由勾股定理的逆定理，需滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系是AB2+AD2=BD2；(2)AC=BD；解題的常見(jiàn)思路是：根據(jù)所需的數(shù)量關(guān)系建立方程模型求解.

例2 (2006年山西)如圖4，已知拋物線(xiàn)C1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)依次是A(-4，0)，B(-2，0)，E(0，8). (1)求拋物線(xiàn)C1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)C2的解析式；(2)設(shè)拋物線(xiàn)C1的頂點(diǎn)為M，拋物線(xiàn)C2與x軸分別交于C，D兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè))，頂點(diǎn)為N，四邊形MDNA的面積為S，若點(diǎn)A、點(diǎn)D同時(shí)以每秒一個(gè)單位的速度沿水平方向分別向右、向左運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)M、點(diǎn)N同時(shí)以每秒兩個(gè)單位的速度沿豎直方向分別向下、向上運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)A點(diǎn)D重合為止，求出四邊形MDNA的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍；(3)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形MDNA的面積S有最大值；(4)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形MDNA能否形成矩形?若能，求出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解 (1)拋物線(xiàn)C2的解析式為y=-x2+6x-8，過(guò)程從略.

(2)易知M(-3，0)，N(3，1)，過(guò)N作NH⊥AD于H. 當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)刻t時(shí)，AD=2OD=8-2t，NH=1+2t. 由中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)有OA=OD，OM=ON，四邊形MDNA為平行四邊形，則S=2S△ AND =(8-2t)(1+2t)=-4t2+14t+8. 由題設(shè)知0≤t <4.

(3) 當(dāng)t=-b2a=74(屬于0≤t<4的范圍)時(shí)，S有最大值，此時(shí)S的最大值為814.

(4)解法1：由(2)知四邊形MDNA為平行四邊形，若能形成矩形，則AD=MN，所以O(shè)D=ON，因此有OD2=ON2=OH2+NH2，即t2+4t-2=0. 解得t1=6-2，t2=-6-2(舍去).

解法2：因?yàn)樗倪呅蜯DNA為平行四邊形，若能形成矩形，則需∠AND=90°，由勾股定理的逆定理知，需滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系是AN2+ND2=AD2，即(AH2+NH2)+(NH2+HD2)=AD2，所以(7-t)2+(1+2t)2+(1+2t)2+(1-t)2=(8-2t)2，得t2+4t-2=0. (同上). 所以在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形MDNA可以形成矩形，此時(shí)t=6-2.

點(diǎn)評(píng) 在第(2)小題中涉及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，關(guān)鍵是弄清動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程是哪一段. 第(4)小題要判斷矩形，既可以根據(jù)對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形來(lái)判斷，也可以根據(jù)有一個(gè)角是90°的平行四邊形是矩形來(lái)判斷.

3 與菱形(正方形)形狀相結(jié)合的存在性問(wèn)題

如圖5：要使平行四邊形ABCD成為菱形，根據(jù)菱形的定義及判定定理，需滿(mǎn)足的條件是(1)鄰邊相等，如AB=BC；(2)對(duì)角線(xiàn)互相垂直，如AC⊥BD；要使平行四邊形ABCD成為正方形，根據(jù)菱形及矩形的判定定理，需滿(mǎn)足的條件是：對(duì)角線(xiàn)相等且互相垂直.

例3 (2007河南)如圖6，對(duì)稱(chēng)軸x=72的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(6，0)和B(0，4).

(1) 求拋物線(xiàn)解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2) 設(shè)點(diǎn)E(x，y)是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對(duì)角線(xiàn)的平行四邊形，求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；

① 當(dāng)平行四邊形OEAF的面積為24時(shí)，請(qǐng)判斷平行四邊形OEAF是否為菱形?

② 是否存在點(diǎn)E，使平行四邊形OEAF為正方形?若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4 與等腰梯形形狀相結(jié)合的存在性問(wèn)題

圖7 圖8 如圖7：四邊形ABCD是梯形，AE⊥BC，DF⊥BC，要使梯形ABCD成為等腰梯形，根據(jù)等腰梯形的概念，需滿(mǎn)足的條件是(1)AB=CD ；(2)BE=CF； (3)∠B=∠C；在表示AB、CD的長(zhǎng)度時(shí)，常常需構(gòu)造Rt△ABE、Rt△CDF，這樣首先得表示出BE、CF的長(zhǎng)，所以(1)、(2)兩種判定方法，我們常常以(2)這種判定方法作為判定等腰梯形的首選方法.

例4 (2007重慶)如圖8：已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，若以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線(xiàn)為x軸，建立如圖8所示的平面直角坐標(biāo)洗，點(diǎn)B在第一象限內(nèi). 將Rt△OAB沿OB折疊后，點(diǎn)A落在第一象限內(nèi)的點(diǎn)C處.

(1) 求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2) 若拋物線(xiàn)y=ax2+bx(a≠0)經(jīng)過(guò)C、A兩點(diǎn)，求此拋物線(xiàn)的解析式；

(3) 若拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與OB交于點(diǎn)D，點(diǎn)P為線(xiàn)段DB上一點(diǎn)，過(guò)P作y的平行線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M. 問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)P，使得四邊形CDPM為等腰梯形?若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了求點(diǎn)的坐標(biāo)、求拋物線(xiàn)的解析式、解直角三角形等知識(shí)，既是代數(shù)與幾何的有機(jī)結(jié)合，又有運(yùn)動(dòng)與靜止的辯證統(tǒng)一. 第(3)小題解法1，由一邊上兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形，得出等腰梯形CDPM的頂點(diǎn)M即為直線(xiàn)CB與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，需要學(xué)生有較強(qiáng)的觀(guān)察能力及分析問(wèn)題的能力，有一定的難度.

作者簡(jiǎn)介：鄭耀文，1972年11生， 大學(xué)本科，中學(xué)一級(jí)教師. 主要從事于“如何開(kāi)展課外合作學(xué)習(xí)”的研究，所參與的該課題獲市二等獎(jiǎng)，多次獲"希望杯"優(yōu)秀輔導(dǎo)員稱(chēng)號(hào).

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