關(guān)于“乘方”與“冪”的商榷

人教版教材和教參是這樣定義和說(shuō)明乘方和冪的：

求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪(power).……，當(dāng)an看作a的n次方的結(jié)果時(shí)，也可讀作的a的n次冪.

(教材，[1]中第51頁(yè))

應(yīng)當(dāng)注意，乘方是一種運(yùn)算，冪是乘方運(yùn)算的結(jié)果.

(教參，[2]中第51頁(yè))

我們認(rèn)為這種說(shuō)法不妥，乘方和冪沒(méi)有什么不同，有以下理由.

其一，在我們的習(xí)慣表達(dá)中，從來(lái)都是把乘方和冪混用的. 例如，我們說(shuō)“2的4次方”，也說(shuō)“2的4次冪”. 特別奇怪的是，教材的編寫(xiě)者對(duì)這種現(xiàn)象給了一個(gè)非常牽強(qiáng)附會(huì)的解釋：當(dāng)an看作a的n次方的結(jié)果時(shí)，也可讀作的a的n次冪. 如果是這樣的話，我們經(jīng)常說(shuō)“16是2的4次方”就錯(cuò)了，這里乘方顯然指的就是運(yùn)算結(jié)果. 另一方面，不僅乘方是運(yùn)算，冪也是運(yùn)算，我們也常說(shuō)冪運(yùn)算. 事實(shí)上在英文中，乘方和冪用的就是同一個(gè)詞——power.

其二，從數(shù)學(xué)抽象的角度講，運(yùn)算以及運(yùn)算結(jié)果兩者之間并無(wú)不同. 在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常需要把過(guò)程和結(jié)果統(tǒng)一起來(lái). 例如，“映射”一詞可看成是一個(gè)過(guò)程的概念，但在數(shù)學(xué)中嚴(yán)格的抽象定義又可以這樣給出：

設(shè)A，B是兩個(gè)集合， A×B的一個(gè)子集f稱為映射，如果滿足：若(x₁，y₁)∈f， (x₁，y₂)∈f， 則y₁=y₂.

很顯然，這個(gè)抽象定義又是把“映射”看成了結(jié)果. 這兩種關(guān)于“映射”的認(rèn)識(shí)表面看起來(lái)雖然不同，其實(shí)其本質(zhì)是一致的. 由于“運(yùn)算”可以看作是一種映射，因此我們把“運(yùn)算”不管是看作為“過(guò)程”還是“結(jié)果”，其本質(zhì)也沒(méi)什么不同. (更詳細(xì)的討論見(jiàn)[3]). 事實(shí)上，數(shù)學(xué)中的概念不管其來(lái)源背景如何(也許它是某個(gè)過(guò)程)，都可以定義為一個(gè)集合(其實(shí)就是結(jié)果)，這也是集合論能成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的一個(gè)重要原因.

其三，退一步講，即便乘方和冪真有點(diǎn)什么細(xì)微的不同，我們是否真的需要在我們的教材和教參中一再?gòu)?qiáng)調(diào)?事實(shí)上，即便一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者沒(méi)能辨析兩者的不同，也根本不妨礙他對(duì)其數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解. 在數(shù)學(xué)教育實(shí)踐上，類似的文字游戲帶給數(shù)學(xué)教育的傷害可謂是刻骨銘心，它只會(huì)把數(shù)學(xué)變成了冰冷的教條，讓學(xué)生敬而遠(yuǎn)之. 按照“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”[4]的精神，這種文字游戲可以休矣.

總之，在教學(xué)中把乘方和冪不分開(kāi)是為了簡(jiǎn)單，分開(kāi)了反而不好. 因此我們認(rèn)為，混用乘方和冪不僅是必要的，也是必須的. 這樣做，既符合現(xiàn)代數(shù)學(xué)的精神，又可以把學(xué)生的精力更多地引導(dǎo)到對(duì)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解上來(lái)；基于此，乘方和冪可以直接這樣定義：求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方或冪.

參考文獻(xiàn)

[1] 課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)(七年級(jí)上冊(cè))[M].北京：人民教育出版社，2005.49.

[2] 課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)(七年級(jí)上冊(cè))教師教學(xué)用書(shū)[M].北京：人民教育出版社，2004.51.

[3] 錢(qián)佩玲，邵光華.數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，1999.217-221.

[4] 陳重穆，宋乃慶.淡化形式，注重實(shí)質(zhì)——兼論《九年義務(wù)教育全日制初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)[J]，1993，2(2)：4-9.

作者簡(jiǎn)介：熊惠民(1971-)，男，湖北漢川人，博士，講師.