三角形旋轉(zhuǎn)存在性的判定與性質(zhì)

如圖１，△ACM與△BCN是具有一個(gè)公共頂點(diǎn)的兩個(gè)正三角形，令△ACM繞頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)不同的角度，可以得到下列圖形（圖２－圖５），許多文章對該圖形進(jìn)行了研究和推廣，如將正三角形推廣到正方形、正n邊形，將兩個(gè)正三角形改為兩個(gè)等腰三角形、兩個(gè)相似三角形等等．本文將從另一個(gè)角度研究該組圖形，看看究竟是哪個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)更具本質(zhì)特點(diǎn)．

圖1 圖2圖3 圖4圖5注意每個(gè)圖形中的兩個(gè)三角形：△ACN和△MCB，仔細(xì)分析不難發(fā)現(xiàn)，這是兩個(gè)全等的三角形，并且不論在哪個(gè)圖形中，△MCB都可以看成△ACN繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°得到．圖１－圖５只是∠ACN的大小不同，具體的∠ACN度數(shù)分別為：①等于120°；②大于60°，小于120°；③等于60°；④小于60°；⑤大于120°．因此，△ACN繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°應(yīng)是該組圖形中旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)規(guī)律．

于是得到三角形繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)定理：

定理1 三角形繞它的一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°，形成以該頂點(diǎn)上的兩條邊為邊的兩個(gè)正三角形．

將兩個(gè)正三角形改為具有公共直角頂點(diǎn)的兩個(gè)等腰直角三角形，同樣的研究方法可以得到：

定理2 三角形繞它的一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，形成以該頂點(diǎn)上的兩條邊為直角邊的兩個(gè)等腰直角三角形．

進(jìn)一步，將兩個(gè)正三角形改為兩個(gè)具有公共頂角頂點(diǎn)的兩個(gè)等腰三角形（頂角均為α）.

定理3 三角形繞它的一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)α，形成以該頂點(diǎn)上的兩條邊為腰的兩個(gè)等腰三角形（頂角均為α）．

反過來，我們可以根據(jù)圖形特點(diǎn)，判斷該圖形中是否存在三角形旋轉(zhuǎn)，一個(gè)圖形中存在三角形繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的判定定理：

定理4 如果一個(gè)圖形中存在兩個(gè)有公共頂點(diǎn)的正三角形，則該圖形可以看成一個(gè)三角形繞它的一個(gè)頂點(diǎn)轉(zhuǎn)動60°形成的．

定理5 如果一個(gè)圖形中存在兩個(gè)有公共直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則該圖形可以看成一個(gè)三角形繞它的一個(gè)頂點(diǎn)轉(zhuǎn)動９０°形成的．

定理6 如果一個(gè)圖形中存在兩個(gè)有公共頂點(diǎn)（頂角頂點(diǎn)）、頂角均為α的等腰三角形，則該圖形可以看成一個(gè)三角形繞它的一個(gè)頂點(diǎn)轉(zhuǎn)動α后形成的．

下面舉例說明上述定理(主要是判定定理)在解題中的應(yīng)用．

圖6例１如圖6所示，P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠PBM=60°，PB=PM，求證：MC=PA．

分析 由已知條件，圖形中存在兩個(gè)有公共頂點(diǎn)的正△ABC和正△PBM，所以該圖形可以看成一個(gè)三角形繞它的一個(gè)頂點(diǎn)轉(zhuǎn)動60°形成的，不難看出△BMC轉(zhuǎn)動60°到△BPA．因此，可以通過證明△BMC≌△BPA，證明MC=PA

例２ 如圖7，在四邊形中ABCD中，∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=CD,證明：BD²=AB²+BC²

分析 由∠ADC=60°，AD=CD得：△ADC為正三角形，而∠ABC=30°，若以BC為邊作一正三角形，就有兩個(gè)正三角形，并且出現(xiàn)一個(gè)直角三角形，聯(lián)想到勾股定理與要證結(jié)論，這個(gè)思路應(yīng)該可行．

圖7證明 連結(jié)AC．因?yàn)锳D=CD，∠ADC=60°，所以△ADC是正三角形．以BC為邊作正△BCE，連結(jié)AE．則△ACE為△DCB順時(shí)針轉(zhuǎn)動60°形成的圖形．所以△ACE≌△DCB，AE=DB．在Rt△ABE中，AE²=AB²+BE²，于是BD²=AB²+BC²．

圖8例3 （2006年山東競賽試題）如圖8，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BFC都是等邊三角形，則四邊形ADFE的面積為．

分析 在B點(diǎn)處有兩個(gè)具有公共頂點(diǎn)的正△ABD和△BFC，分析不難得到是因?yàn)椤鰾DF旋轉(zhuǎn)60°到△BAC形成，于是△BDF≌△BAC．同理，在C點(diǎn)處有兩個(gè)具有公共頂點(diǎn)的正△ACE和△BFC，因此，可以證明△CEF≌△CAB．利用這兩對全等三角形問題迎刃而解．答案是6．

圖9例４ （2000年希望杯競賽試題） 如圖9，正方形ABCD中，AB=3，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°．求：△AEF的面積．

分析 由于∠DAF=15°，過點(diǎn)A作線段AG=AD并使∠GAB=15°，交CB的延長線與點(diǎn)G，于是，在點(diǎn)A處有兩個(gè)等腰直角三角形△AFG與△ADB，△AGB是△ADF旋轉(zhuǎn)90°形成的，由此可以證明△AGE≌△AFE，△AEF的面積可由△AGE的面積求得．答案：3-3．

圖10例5 （2006年東營市中考試題）兩個(gè)全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如圖10所示放置，E，A，C三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BD，取BD的中點(diǎn)M，連結(jié)ME，MC．試判斷△EMC的形狀，并說明理由．

分析 連結(jié)AM，由題意得：DE=AC，∠DAE+∠BAC=90°．所以∠DAB=90°．又因?yàn)镈M=MB,所以MA=12DB=DM，∠MAD=∠MAB= 45°．

所以∠MDE=∠MAC=105°，∠DMA=90°．所以△DMA是等腰直角三角形，分析題意容易證明△EDM≌△CAM，即△EDM繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)90°可以與△CAM重合，因此，在點(diǎn)處M除了△DMA外必有另一個(gè)等腰直角三角形，不難得到△ECM的形狀是等腰直角三角形．

圖11例6 (根據(jù)2007年臨沂中考題改編)如圖11，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點(diǎn)D放在AC的中點(diǎn)上，（直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF），將直角三角板DEF繞D點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，DE交AB于點(diǎn)M，DF交BC于點(diǎn)N．

求證：DM=DN ．

分析 連結(jié)BD，從結(jié)論入手，若DM=DN，則以D為直角頂點(diǎn)有三個(gè)等腰直角三角形，因此，存在三對旋轉(zhuǎn)：△ADM與△DBN、△DMB與△DNC、△ADB與△DBC（與結(jié)論無關(guān)），因此，可以通過證明前兩對三角形中的任一對全等證明該問題．

圖12例7 如圖11，五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD,∠BAE=∠BCD=120°,∠ ABC+∠AED=180°，連結(jié)AD．

求證：AD平分∠CDE．

分析 連結(jié)AC，因?yàn)锽C+DE=CD，延長DE到F，使DF=BC，連結(jié)AF，因?yàn)锳B=AE，△ABC可以看成△AEF旋轉(zhuǎn)∠BAE形成的，通過證明這兩個(gè)三角形全等，證明AC=AF，從而證明△ACD≌△AFD，于是AD平分∠CDE．

參考文獻(xiàn)

[1] 蓋仕廣．三角形旋轉(zhuǎn)規(guī)律的探討和應(yīng)用[J]．初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2007,(7).

[2] 魏祖成．“雙正三角形”問題的聯(lián)想[J]．中學(xué)生數(shù)學(xué)，2007，(4).

作者簡介 蓋仕廣，1970年6月生，中學(xué)高級教師，從事數(shù)學(xué)解題教學(xué)研究，在各類中等數(shù)學(xué)刊物發(fā)表論文十余篇.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>