運(yùn)用費(fèi)馬小定理求解數(shù)的整除性問(wèn)題

劉寶成　劉衛(wèi)利

1 科學(xué)研究的思路

在世界上，以數(shù)學(xué)為內(nèi)容的競(jìng)賽有著悠久的歷史：古希臘時(shí)就有解幾何難題的比賽；我國(guó)戰(zhàn)國(guó)時(shí)期齊威王與大將田忌的賽馬，實(shí)是一種對(duì)策論思想的比賽；16世紀(jì)在意大利有過(guò)關(guān)于口吃者塔塔利亞求解三次方程的激烈競(jìng)爭(zhēng)；17世紀(jì)，不少數(shù)學(xué)家喜歡提出一些問(wèn)題向其他數(shù)學(xué)家挑戰(zhàn)，法國(guó)的費(fèi)爾馬就是其中的佼佼者，他所提出的費(fèi)爾馬大定理向人類的智慧挑戰(zhàn)了300年；18世紀(jì)，法國(guó)曾經(jīng)進(jìn)行過(guò)獨(dú)立的數(shù)學(xué)比賽；19世紀(jì)，法國(guó)科學(xué)院以懸賞的方法征求對(duì)數(shù)學(xué)難題的解答，常常獲得一些重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn). 數(shù)學(xué)王子高斯就是比賽的優(yōu)勝者，……但是，所有這些比賽，都只有局部的性質(zhì)并且限于在成人之間進(jìn)行，而專門以中學(xué)生為對(duì)象的數(shù)學(xué)競(jìng)賽卻是現(xiàn)代的時(shí)尚.

國(guó)際奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽命題緊密結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際，活而不難，趣而不怪，巧而不偏，力求體現(xiàn)出科學(xué)性、知識(shí)性、應(yīng)用性、啟發(fā)性、趣味性的綜合統(tǒng)一. 數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)是備受青少年喜愛(ài)的一種數(shù)學(xué)課外活動(dòng). 通過(guò)有趣味、有新意、有水平的題目，開(kāi)發(fā)智力，引導(dǎo)學(xué)生提高數(shù)學(xué)素質(zhì). 數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)是落實(shí)數(shù)學(xué)素質(zhì)的一種好形式. 數(shù)學(xué)競(jìng)賽積累了一批閃耀著數(shù)學(xué)思想和智慧的好題目，引導(dǎo)學(xué)生研究賞析它，是一件賞心閱目、幸福愉快的事情.

數(shù)學(xué)是科學(xué)發(fā)展中的重要工具，歷史證明它給人們處理問(wèn)題的巧妙方法并啟迪人們思維. 猜想是創(chuàng)造思維的先導(dǎo)，猜想之余就是周密細(xì)致、艱苦的論證，符合邏輯推理、符合自然規(guī)律、符合實(shí)際情況的猜想皆形成理論. 哥德巴赫猜想引起許多象陳景潤(rùn)這樣的大師論證；我們大家的老師歐拉在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中是富翁，他也是先提出很多猜想，進(jìn)一步論證；我國(guó)數(shù)學(xué)家微分幾何之父陳省身的弟子丘成桐現(xiàn)在美國(guó)哈佛大學(xué)是微分幾何陣地的領(lǐng)先者，他先后證明了有名的幾個(gè)猜想，并且自己提出了一百多個(gè)猜想且一一進(jìn)行了論證，大膽猜想才會(huì)有創(chuàng)造.^[1]

2 費(fèi)馬小定理

3 國(guó)際奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽題

4 國(guó)際奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的命題規(guī)律及解題方法

國(guó)際奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽題按代數(shù)、數(shù)論、幾何、組合數(shù)學(xué)、組合幾何等分類，確定試題難度（A、B、C三級(jí)），選擇30題左右，其中初等數(shù)論常在一套題中占16. 而在初等數(shù)論中，數(shù)的整除性、同余式占有十分重要的地位. 應(yīng)用費(fèi)馬小定理、牛頓二項(xiàng)式定理，采用巧妙、靈活的分組方法證明被除數(shù)中含有除數(shù)的全部質(zhì)因子. 對(duì)數(shù)的整除性還可以應(yīng)用反證法、數(shù)學(xué)歸納法、等價(jià)關(guān)系等方法求解. 應(yīng)用這些解題方法的具體解題過(guò)程祥見(jiàn)我們即將出版的《歷屆國(guó)際奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽題題解》.^[9]

參考文獻(xiàn)

[1] （美）M.克萊因著，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)史翻譯組譯.古今數(shù)學(xué)思想[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1981:3-56.

[2] 《數(shù)學(xué)手冊(cè)》編寫組. 數(shù)學(xué)手冊(cè)[M].北京：人民教育出版社，1979-5:12-87.

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[4] Gauss,C.F. :Disquisitiones Arithmeticae, trans.A.A. Clarke,yale University press,1965:26-45.

[5] (美)G.H.Hardy;E.MWright An Introduction to the Theory of Numbers Oxford University Press 2007-3:42-78.

[6] 華羅庚著. 數(shù)論導(dǎo)引[M].北京：科學(xué)出版社，1957-07:10-125.

[7] 張賢科.代數(shù)數(shù)論導(dǎo)引(第2版)[M].北京：高等教育出版社2006:20-56.

[8] （美）JosephH.Silver man Friendly Introduction to Number Theory,(3rdEdition)Prentice Hall/ Pearson 2006:35-89.

[9] Kenneth Ireland, Michael Rosen A Classical Introduction to Modern Number Theory 2nd ed Springer-Verlag 2003-6:15-50

作者簡(jiǎn)介 劉寶成，1963年生，男，陜西省鳳翔縣人，機(jī)械工程碩士在讀，副教授，陜西航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)械系材料成型教研室主任，從事模具設(shè)計(jì)與制造專業(yè)教學(xué)和研究.

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