一道教材習(xí)題的兩種思維及六種解法

韓永華　陸永紅

北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)教材上冊(cè)第192頁(yè)問(wèn)題解決中的第2題是這樣的：

一個(gè)自行車隊(duì)進(jìn)行訓(xùn)練，訓(xùn)練時(shí)所有隊(duì)員都以35千米/時(shí)的速度前進(jìn)．突然，1號(hào)隊(duì)員以45千米/時(shí)的速度獨(dú)自行進(jìn)，行進(jìn)10千米后掉轉(zhuǎn)車頭，仍以45千米/時(shí)的速度往回騎，直到與其他隊(duì)員會(huì)合．1號(hào)隊(duì)員從離隊(duì)開(kāi)始到與隊(duì)員重新會(huì)合，經(jīng)過(guò)了多少時(shí)間？

這道習(xí)題安排在第五章“能追上小明嗎”這一節(jié)之中，由于深入研究這道習(xí)題不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的個(gè)別思維與整體思維的能力，而且還可以通過(guò)六種不同的解法培養(yǎng)學(xué)生解題的靈活性與思維的廣闊性，所以我在教這節(jié)內(nèi)容時(shí)把此題放在課堂鞏固練習(xí)之中，力求用好用足這一難得的教材資源．

圖１先引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)好線段圖：如圖1所示，假設(shè)1號(hào)隊(duì)員在點(diǎn)A開(kāi)始離開(kāi)隊(duì)伍，當(dāng)1號(hào)隊(duì)員行進(jìn)10千米到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，車隊(duì)行至點(diǎn)B，1號(hào)隊(duì)員掉轉(zhuǎn)車頭后與車隊(duì)重新相遇于點(diǎn)C．然后引導(dǎo)學(xué)生從以下兩個(gè)方面進(jìn)行分析和解答．

1 設(shè)直接未知數(shù)，采取整體思維的方式進(jìn)行解答

解法1 如圖1所示，設(shè)1號(hào)隊(duì)員從A到D再到C共用x小時(shí)，則車隊(duì)從A到B再到C也共用了x小時(shí)，所以AD+CD=45x，AB+BC=35x．再根據(jù)1號(hào)隊(duì)員走的路程+車隊(duì)走的路程=10×2，可得如下方程：

45x+35x=20，解此方程得：x=14．

所以1號(hào)隊(duì)員從離隊(duì)開(kāi)始到與隊(duì)員重新會(huì)合，經(jīng)過(guò)的時(shí)間為14小時(shí)．

2 設(shè)間接未知數(shù)，采取個(gè)別思維的方式進(jìn)行解答

解法2 如圖2所示，設(shè)1號(hào)隊(duì)員掉轉(zhuǎn)車頭后，再用x小時(shí)與車隊(duì)重新會(huì)合，則CD=45x，BC=35x，AB=10-（45x+35x）=10-80x．因?yàn)檐囮?duì)走AB這段路程用的時(shí)間等于1號(hào)隊(duì)員走10千米用的時(shí)間，于是可得如下的方程：

此方程可化為2-16x7=29．

解此方程得x=136．

所以1號(hào)隊(duì)員從離隊(duì)開(kāi)始到與隊(duì)員重新會(huì)合，經(jīng)過(guò)的時(shí)間為：1045+x=29+136=14（小時(shí)）．

圖2解法3 如圖2所示，設(shè)車隊(duì)走BC這段路程用了x小時(shí)，則1號(hào)隊(duì)員走CD這段路程也用了x小時(shí)，所以BC=35x，CD=45x，AB=10-（35x+45x）=10-80x．根據(jù)車隊(duì)走AB這段路程用的時(shí)間等于1號(hào)隊(duì)員走AD這段落路程用的時(shí)間，可以得到下面的方程：

10-80x35=1045，解此方程得x=136．

所以1號(hào)隊(duì)員從離隊(duì)開(kāi)始到與隊(duì)員重新會(huì)合，經(jīng)過(guò)的時(shí)間為：1045+x=29+136=14（小時(shí)）．

圖3解法4 如圖3所示，設(shè)1號(hào)隊(duì)員掉轉(zhuǎn)車頭后，再行x千米與車隊(duì)重新會(huì)合，則1號(hào)隊(duì)員走CD這段路程用的時(shí)間是x45小時(shí)，車隊(duì)走BC這段路程也用了x45小時(shí)，于是BC=x45×35=79x，AB=10-（79x+x）=10-169x，根據(jù)車隊(duì)走AB這段路程用的時(shí)間等于1號(hào)隊(duì)員走10千米用的時(shí)間，可以得到下面的方程：

10-169x35=1045，

此方程可化為10-169x35=29.

解此方程得x=54．

所以1號(hào)隊(duì)員從離隊(duì)開(kāi)始到與隊(duì)員重新會(huì)合，經(jīng)過(guò)的時(shí)間為：

10+x45=10+5445=14(小時(shí))．

圖4解法5 如圖4所示，設(shè)BC=x千米，則車隊(duì)走BC這段路程用的時(shí)間與1號(hào)隊(duì)員走CD這段路程用的時(shí)間均為x35小時(shí)，所以CD=x35×45＝97x，AB=10-（x+97x）=10-167x．根據(jù)車隊(duì)走AB這段路程用的時(shí)間等于1號(hào)隊(duì)員走AD這段路程用的時(shí)間，可以得到下面的方程：

10-167x35=1045，

此方程可化為10-167x35=29.

解此方程得x=3536．

所以1號(hào)隊(duì)員從離隊(duì)開(kāi)始到與隊(duì)員重新會(huì)合，經(jīng)過(guò)的時(shí)間為：1045+x35=29+353635=29+136=14（小時(shí)）．

圖5解法6 如圖5所示，因?yàn)?號(hào)隊(duì)員走AD這段路程用的時(shí)間為1045小時(shí)，所以車隊(duì)走AB這段路程用的時(shí)間也為1045小時(shí)，于是AB=35×1045=709，BD=10-AB=10-709=209．

設(shè)1號(hào)隊(duì)員走CD這段路程用的時(shí)間為x小時(shí)，則車隊(duì)走BC這段路程用的時(shí)間也為x小時(shí)，所以BC=35x，CD=45x，根據(jù)BC+CD=BD，可得下面的方程：

35x+45x=209，解此方程得：x=136．

所以1號(hào)隊(duì)員從離隊(duì)開(kāi)始到與隊(duì)員重新會(huì)合，經(jīng)過(guò)的時(shí)間為：

1045+x=29+136=14（小時(shí)）．

《數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》總體目標(biāo)中要求學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)要“形成解決問(wèn)題的一些基本策略，體驗(yàn)解決問(wèn)題策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力與創(chuàng)新精神．”像上面這樣引導(dǎo)學(xué)生一題多思，一題目多解，是落實(shí)這一目標(biāo)具體而有效的舉措.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”