教師的估算知識(shí)缺失了什么

田佩章

教師們普遍反映估算“教師難教，學(xué)生難學(xué)”，“試題難出，正誤難判”。通過研究發(fā)現(xiàn)，問題是多方面的，除了教師對(duì)估算的教育價(jià)值認(rèn)識(shí)不足、教學(xué)策略失當(dāng)和經(jīng)驗(yàn)積累不夠之外，還存在關(guān)于估算的本體性知識(shí)缺失的問題。小學(xué)估算涉及的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)很多，教師比較生疏的主要有：離散量和連續(xù)量；絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。反映在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，就是對(duì)“大約”和“差不多”的認(rèn)識(shí)普遍不清楚。

一、為什么“大約”不一定要“估算”？

某版本小學(xué)數(shù)學(xué)教材三年級(jí)上冊(cè)有一道練習(xí)題（以下稱《蠶吐絲》）為：一條蠶大約吐絲1500米，小紅養(yǎng)了6條蠶，大約吐絲多少米？

不少學(xué)生的算式是：1500×6≈1000×6=6000（米）或者1500×6≈2000×6=12000（米）。老師問：1500×6=9000（米）不是挺好的嗎？為什么要把1500米約等于1000米或2000米呢？他們異口同聲：這里有“大約”！

學(xué)生為什么會(huì)這樣認(rèn)為？調(diào)查發(fā)現(xiàn)，多數(shù)老師也說不清楚。有一定認(rèn)識(shí)的老師認(rèn)為，《蠶吐絲》問句中的“大約”實(shí)際上是承接著前面條件中的“大約”而來的。多數(shù)老師認(rèn)為這樣的問句中不應(yīng)該出現(xiàn)“大約”，這是在為難學(xué)生。因?yàn)榇蠹叶冀忉尣磺宄?，于是，大部分老師的做法是回避，考試題中也不會(huì)出現(xiàn)這樣的問題。

1.離散量和連續(xù)量。

小學(xué)生接觸到的現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量（圓周率除外）可以分為兩類：連續(xù)量和離散量。比如人數(shù)、課桌椅數(shù)是離散量，與自然數(shù)對(duì)應(yīng)。身高、體重、溫度、時(shí)間、距離、平均速度、正方形對(duì)角線的長(zhǎng)度等是連續(xù)量，通過測(cè)量或計(jì)算得出，與正實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)?，F(xiàn)實(shí)世界里的所有測(cè)量數(shù)據(jù)都是近似數(shù)。比如小明身高140厘米，體重35千克，就是近似數(shù)，與身高約140厘米，體重約35千克，甚至表示為身高恰好140厘米，體重恰好35千克，沒有任何區(qū)別，雖然小明的身高、體重有一個(gè)準(zhǔn)確值，但是不可能無誤差地測(cè)出———準(zhǔn)確是相對(duì)的，誤差是絕對(duì)的。離散量都是準(zhǔn)確數(shù)，比如二（1）班有38人。但在一定的情境下，離散量也可以用整十、整百等近似數(shù)描述，比如某校有3000多名學(xué)生，3000人就是近似數(shù)。這樣描述不是因?yàn)檫@個(gè)學(xué)生數(shù)不是一個(gè)準(zhǔn)確值，而是因?yàn)檫@里只需要一個(gè)近似值。

《蠶吐絲》中的數(shù)學(xué)問題沒有任何錯(cuò)誤，關(guān)鍵問題是：這里的“大約”與“兩個(gè)班大約多少人”的“大約”是兩回事！這里的大約吐絲1500米要視同準(zhǔn)確數(shù)———但是又確實(shí)是近似數(shù)！也就是說學(xué)生對(duì)這里的“大約”不理解。因?yàn)閷W(xué)生不知道“大約吐絲1500米”中不管有沒有“大約”，都是大約的意思：一條蠶吐絲的長(zhǎng)度不可能恰好是1500米，而且也不可能每條蠶吐的絲都一樣長(zhǎng)。事實(shí)上，這里的1500米就是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，用平均的方法得到。

事實(shí)上，這種錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)不是現(xiàn)在才出現(xiàn)的，在課程改革以前就已經(jīng)有過。筆者曾經(jīng)在一次數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)中遇到這樣一個(gè)問題：求圓柱體蓄水池大約能裝多少噸水，要求結(jié)果精確到十位。用計(jì)算器計(jì)算的結(jié)果是：199.3272噸，近似值應(yīng)該是多少？數(shù)學(xué)教研組形成了兩派意見?！叭ノ才伞闭J(rèn)為，結(jié)果應(yīng)該是190噸。因?yàn)樽疃嘀荒苎b199.3272噸，如果再多一點(diǎn)水就會(huì)溢出，因此應(yīng)該用去尾法。“四舍五入派”認(rèn)為，應(yīng)該是200噸，只知道這里似乎應(yīng)該四舍五入，但是不能說服另一派。如果明白了關(guān)于近似量和準(zhǔn)確量的基本理論，顯然，后者是正確的，因?yàn)檫@道題里圓柱的直徑、周長(zhǎng)、面積、體積、圓周率注入水的計(jì)量包括圓柱體本身都是近似的。

通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，大部分老師對(duì)《蠶吐絲》中“大約”的理解沒有疑義，因?yàn)槲覀冊(cè)谏钪幸呀?jīng)建構(gòu)了“大約”一詞的使用方法。而學(xué)生則不然，他們?nèi)鄙龠@方面的生活經(jīng)驗(yàn)。那么讓學(xué)生正確建構(gòu)“大約”的意義，能在合適的情景中正確使用“大約”就應(yīng)該成為教學(xué)目標(biāo)。

2.連續(xù)量的近似屬性教學(xué)。

既然我們應(yīng)該讓學(xué)生正確建構(gòu)“大約”的意義，能在合適的情景中正確使用“大約”，那么實(shí)現(xiàn)這個(gè)教學(xué)目標(biāo)的關(guān)鍵期是什么時(shí)候呢？筆者認(rèn)為，是小學(xué)低年級(jí)測(cè)量和計(jì)數(shù)教學(xué)過程———厘米、米、毫米、千米、克、千克、噸、時(shí)、分、秒的認(rèn)識(shí)等。事實(shí)上，大多數(shù)國家及我國的香港和臺(tái)灣地區(qū)，在測(cè)量教學(xué)中十分重視讓學(xué)生明白所有測(cè)量的數(shù)據(jù)都是近似數(shù)這個(gè)道理。這樣，學(xué)生就會(huì)知道近似是測(cè)量數(shù)據(jù)的本質(zhì)屬性，無需再在前面冠以“大約”二字。

這樣說來，估算與測(cè)量教學(xué)關(guān)系密切，應(yīng)該在測(cè)量教學(xué)中讓學(xué)生正確認(rèn)識(shí)測(cè)量數(shù)據(jù)的近似屬性，筆者認(rèn)為這既是估算教學(xué)的基礎(chǔ)，同時(shí)也是培養(yǎng)數(shù)感的重要途徑。因此，從課程標(biāo)準(zhǔn)制定、教材建設(shè)、教師培訓(xùn)上都要給予足夠的重視。

現(xiàn)實(shí)情況是，我們的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》沒有重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)要在測(cè)量教學(xué)中關(guān)注這一點(diǎn)，教師對(duì)這個(gè)基本理論知之甚少，更不用說形成教學(xué)理念。即使是教材編者似乎也不十分清楚：教材上的測(cè)量教學(xué)關(guān)鍵提示語沒有一句表達(dá)了近似這個(gè)要義，甚至有錯(cuò)誤的理解。比如，某教材四年級(jí)上冊(cè)有一習(xí)題：小明身高約140厘米，體重35千克。哪是近似數(shù)，哪是準(zhǔn)確數(shù)？這里就把35千克錯(cuò)誤地理解為準(zhǔn)確數(shù)。

筆者建議，要加強(qiáng)數(shù)學(xué)教師基本數(shù)學(xué)知識(shí)培訓(xùn)，讓教師明白近似量和準(zhǔn)確量的區(qū)別。在二年級(jí)學(xué)習(xí)長(zhǎng)度測(cè)量之初就應(yīng)增加測(cè)量教學(xué)時(shí)間，改進(jìn)測(cè)量教學(xué)。測(cè)量教學(xué)必須遵循“先估計(jì)、后測(cè)量、再評(píng)價(jià)是否準(zhǔn)確”的順序，要在測(cè)量結(jié)果的表述中讓學(xué)生體會(huì)到大約的含義，初步接觸四舍五入的方法，讓學(xué)生明白測(cè)量數(shù)據(jù)都是近似的。重視步測(cè)和目測(cè)，體會(huì)現(xiàn)實(shí)情景中近似表達(dá)測(cè)量數(shù)據(jù)的必要，構(gòu)建“大約”的意義，便于學(xué)生今后能明確地區(qū)分使用大約的語境。同樣，周長(zhǎng)、面積、體積、質(zhì)量和時(shí)間測(cè)量的教學(xué)也應(yīng)該遵循這個(gè)原則。

二、什么是“差不多”？

數(shù)學(xué)新課程中有“多（少）些”，“多（少）得多，差不多”等準(zhǔn)確程度表述詞的使用教學(xué)，目的應(yīng)該是讓學(xué)生能根據(jù)實(shí)際判斷準(zhǔn)確程度和誤差大小。學(xué)生正確使用這些詞語的必要性從下面這個(gè)案例中可見一斑。

在四年級(jí)“可能性”學(xué)習(xí)中，老師讓各學(xué)習(xí)小組從裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的口袋中有放回地摸球20次，預(yù)測(cè)并記錄紅、白球出現(xiàn)的次數(shù)，判斷其是否與預(yù)期（數(shù)學(xué)期望：摸出紅球、白球各10個(gè)）“差不多”，最后統(tǒng)計(jì)全班的數(shù)據(jù)，分析紅、白球出現(xiàn)的次數(shù)是否和預(yù)期的次數(shù)差不多。學(xué)生在判斷中，對(duì)紅、白球個(gè)數(shù)的差十分敏感，只要紅球與白球的次數(shù)存在差別，比如13次紅球、7次白球，95次紅球、105次白球，一概判斷說“與預(yù)期不符”，對(duì)老師期望學(xué)生表述的“紅球、白球差不多，白球大概占一半”不認(rèn)可。究其原因，學(xué)生長(zhǎng)期擅長(zhǎng)精算，對(duì)“差不多”一詞的用法還遠(yuǎn)沒有達(dá)到預(yù)期水平。學(xué)生根本沒有體會(huì)到95個(gè)和105個(gè)已經(jīng)非常接近預(yù)期（100個(gè)）了。

1.絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。

“差不多”的背后是模糊數(shù)學(xué)的思想，與概率論和集合論有密切關(guān)系。還是以上面摸球?yàn)槔?，在裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的口袋中有放回地摸球200次，預(yù)期摸出紅球、白球各100次，結(jié)果摸出紅球95次、白球105次，與預(yù)期100次的絕對(duì)誤差是100-95和105-100，都是5次。而相對(duì)誤差則是5÷100=5%。在摸球次數(shù)較大的時(shí)候，判斷摸球次數(shù)是否與預(yù)期“差不多”要看相對(duì)誤差。很可能絕對(duì)誤差（指純數(shù)據(jù)）比較大，但相對(duì)誤差很小。顯然，這個(gè)“差不多”———相對(duì)誤差不大———對(duì)于學(xué)習(xí)估計(jì)、統(tǒng)計(jì)和可能性是至關(guān)重要的關(guān)鍵性知識(shí)。

那么，教師對(duì)這個(gè)詞的準(zhǔn)確用法是否明白呢？筆者在一次市級(jí)新課程教學(xué)觀摩會(huì)上，聽了一堂三年級(jí)“時(shí)分秒”課，其中有一個(gè)體驗(yàn)“秒”的環(huán)節(jié)，老師讓學(xué)生閉上眼睛，聽老師發(fā)令后默數(shù)30秒再回頭，看估計(jì)30秒是否準(zhǔn)確。結(jié)果，這些同學(xué)回頭時(shí)間大約是28秒。筆者正驚嘆這些學(xué)生估計(jì)得真準(zhǔn)時(shí)，老師卻很遺憾地對(duì)他們說：“真可惜，不準(zhǔn)！”學(xué)生一片沮喪！那么，28秒對(duì)于30秒真的不準(zhǔn)嗎？這和上述摸到紅球、白球的次數(shù)是否差不多是同一個(gè)道理，28秒和30秒的相對(duì)誤差只有7%，已經(jīng)相當(dāng)準(zhǔn)了！這里本來應(yīng)該聽到的是老師的驚嘆和孩子們的歡呼的！顯然，老師對(duì)這個(gè)“差不多”不理解，讓學(xué)生失去了學(xué)習(xí)“差不多”的好機(jī)會(huì)。我們知道，市觀摩課的執(zhí)教者是素質(zhì)較高的年輕骨干教師，而且觀摩課往往經(jīng)過了一個(gè)教師群體長(zhǎng)時(shí)間的“磨課”過程，所以這也反映出一個(gè)教師群體對(duì)“差不多”理解的偏差。

2.誤差的相對(duì)性觀念教學(xué)。

既然這個(gè)“差不多”如此重要，那么應(yīng)該在什么時(shí)候讓學(xué)生開始正確建構(gòu)“差不多”的概念，讓學(xué)生在合適的語境中正確使用“差不多”呢？筆者認(rèn)為，有兩個(gè)關(guān)鍵時(shí)期：第一個(gè)關(guān)鍵期是第一學(xué)段的測(cè)量和數(shù)的認(rèn)識(shí)，第二個(gè)關(guān)鍵期是第二學(xué)段的百分?jǐn)?shù)應(yīng)用。

第一學(xué)段的測(cè)量教學(xué)要遵循“估測(cè)———實(shí)測(cè)———評(píng)價(jià)”的順序，讓學(xué)生體會(huì)“很準(zhǔn)確”、“多（少）得多”和“差不多”等詞語在實(shí)際情景中的用法；在“物價(jià)情景”中讓學(xué)生體會(huì)“便宜得多”、“貴得多”、“貴一點(diǎn)”、“便宜一點(diǎn)”和“差不多”的用法。類似于下面的教學(xué)活動(dòng)就能較好地實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)。

①同樣的鉛筆盒，小商品市場(chǎng)每個(gè)10元，超市20元。同樣的旱冰鞋，超市每雙200元，精品店每雙210元。用“貴得多”、“差不多”、“便宜一點(diǎn)”和“便宜得多”評(píng)價(jià)一下三種商店的商品價(jià)格。

②舅舅從巴黎回來，給明明買了一輛賽車（價(jià)格是200元）和一盒法國巧克力（價(jià)格是50元）。舅舅讓明明猜，明明猜賽車150元，巧克力20元。你評(píng)價(jià)一下明明猜得怎樣。

③小組內(nèi)每個(gè)同學(xué)估計(jì)一下橡皮多少克，然后測(cè)量一下，再評(píng)價(jià)自己測(cè)量的準(zhǔn)確性。

④明明估測(cè)了教室的長(zhǎng)和講臺(tái)的長(zhǎng)，教室9米，講臺(tái)3米。實(shí)測(cè)結(jié)果是，教室8米50厘米，講臺(tái)3米50厘米。請(qǐng)你評(píng)價(jià)一下明明估測(cè)得怎樣。

⑤擲硬幣50次，估計(jì)出現(xiàn)正面的次數(shù)，評(píng)價(jià)估計(jì)的準(zhǔn)確性。

教師可以讓學(xué)生在上述活動(dòng)中，通過估測(cè)和判斷自己的估測(cè)是否差不多，體會(huì)直至逐步正確建構(gòu)“差不多、差多了”等表示準(zhǔn)確性的詞語的使用方法，獲得數(shù)感，發(fā)展估算能力。

到第二學(xué)段在學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)之后，將第一學(xué)段習(xí)得的“差不多”的感性認(rèn)識(shí)用絕對(duì)誤差是實(shí)際量的百分之幾來進(jìn)行準(zhǔn)確描述（比實(shí)際多或少百分之幾）。

那么究竟怎樣的百分比對(duì)應(yīng)于“貴得多”和“差不多”呢？我們可以結(jié)合生活實(shí)際分析，設(shè)置問題可以把握這樣一個(gè)度：大數(shù)比小數(shù)多的百分?jǐn)?shù)小于30%和大于70%時(shí)，分別用“差不多”和“多得多”描述。我們小學(xué)數(shù)學(xué)中還可以將這個(gè)百分比更進(jìn)一步特殊化處理，比如小于20%和大于80%。

“大約”和“差不多”的正確使用應(yīng)該是小學(xué)估算教學(xué)的顯性目標(biāo)，它應(yīng)該是檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)感發(fā)展水平的重要指針。教師正確理解估算背后的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，是正確認(rèn)識(shí)估算價(jià)值、選擇估算教學(xué)策略的前提。小學(xué)數(shù)學(xué)教師本體性知識(shí)的缺失已經(jīng)成為小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革的重要障礙。如果以“教研員、教師都弄不清楚”為理由，對(duì)數(shù)學(xué)課程改革中與估算相類似的統(tǒng)計(jì)與概率、統(tǒng)籌、組合數(shù)學(xué)等領(lǐng)域的教學(xué)內(nèi)容不作要求，不考查，那么數(shù)學(xué)課程改革將只能是一句空話。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)本體性知識(shí)的補(bǔ)充和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高應(yīng)該成為當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)的重要內(nèi)容。