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    一類具有梯度項(xiàng)的非線性拋物方程解的不穩(wěn)定性

    2020-09-10 11:23:48葉毅
    關(guān)鍵詞:特征函數(shù)

    葉毅

    摘要:本文通過引入特征函數(shù)及構(gòu)造適當(dāng)?shù)钠屏岩蜃?,討論了一類具有梯度?xiàng)的非線性拋物方程的行為.運(yùn)用重要函數(shù)空間和重要的 不等式、 不等式等方法,以及積分、微分公式,證明了這類方程初邊值問題之解在有限時(shí)間內(nèi)爆破.

    關(guān)鍵詞:非線性拋物方程;破裂因子;特征函數(shù)

    引言:“”

    由于非線性拋物方程描述了物理、化學(xué)、半導(dǎo)體科學(xué)及量子力學(xué)的許多現(xiàn)象 ,因此對(duì)它的研究一直是人們主要的任務(wù).目前,人們對(duì)非線性拋物方程

    (1)

    的局部解、整體解以及爆破性進(jìn)行了大量研究,已取得了許多重要的成果,但對(duì)于含梯度項(xiàng)的非線性拋物方程

    (2)

    的爆破性質(zhì),近來(lái)才引起人們的關(guān)注,主要因?yàn)閷?duì)于方程(2)的處理較之于(1)要困難得多.在[11]和[12]中,分別研究了一類典型的具有梯度項(xiàng)的非線性拋物方程

    的特殊形式進(jìn)行了研究,并取得了有益的成果.在此基礎(chǔ)上,本文將考慮如下一類具有梯度項(xiàng)的非線性拋物方程

    (3)

    具有 邊值的初邊值問題.在文中通過引入特征函數(shù)的爆裂因子的方法,討論方程(3)的解的不穩(wěn)定性,所得結(jié)果推廣了文[11-12]相應(yīng)的結(jié)論.

    1.主要結(jié)果

    考慮如下初邊值問題

    (4)

    (5)

    (6)

    其中, 是 中具光滑邊界 的有界域, 是 算子, 是梯度算子, 定義在區(qū)域 上,引入 算子的線性特征值問題

    (7)

    (8)

    人們知道,問題(7),(8)存在第一特征值 及對(duì)應(yīng)的第一特征函數(shù) , ,并且 ,顯然, 與 由 完全決定.

    設(shè) 是屬于如下空間

    (9)

    其中 由此,對(duì)問題(4)~(6)之解都是在此意義下理解.為了證明定理,我們首先對(duì)問題(4)~(6)之解的作如下增長(zhǎng)估計(jì).

    定理設(shè) .若初值 滿足

    (10)

    則問題(4)~(6)之解關(guān)于時(shí)間 最多在

    內(nèi)存在,并且有

    (11)

    其中, 為正常數(shù).

    2.定理的證明

    定理的證明設(shè) 是問題(4)~(6)在空間(9)中的解,設(shè)(9)中的T滿足

    (26)

    在定理2的條件之下,引理1滿足,

    注意到 及條件(10),則

    ,

    因此假設(shè)(26)不成立,即只能有

    并且有(11)成立,其中 .所以問題(5)~(7)的解在有限時(shí)間內(nèi)爆破.

    參考文獻(xiàn)

    [1]ZhangJ.StabilityofattracfiveBose-EinstinCondensats[J].Jstatphys,2000,(101):731-746.

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    [3]唐榮榮.一類強(qiáng)非線性方程奇攝動(dòng) 問題解的漸近性態(tài)[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2005,43(2):149-152.

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