獨(dú)立的實(shí)正態(tài)過程線性組合的正態(tài)性

呂 芳

(洛陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 河南 洛陽 471934)

1 基本概念

定義1[1-2]設(shè){X(t),t∈T}是一個隨機(jī)過程， 如果對于任意n≥1和任意t1,t2, …,tn∈T， (X(t1),X(t2), …,X(tn))是n維正態(tài)隨機(jī)向量， 則稱{X(t),t∈T}為正態(tài)過程或高斯過程.

定義2[1]設(shè){X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T}為兩個隨機(jī)過程， 其k+l維聯(lián)合分布函數(shù)為

過程{X(t),t∈T}的k維分布函數(shù)為

FX(t1,t2, …,tk;x1,x2, …,xk).

過程{Y(t),t∈T}的l維分布函數(shù)為

則稱隨機(jī)過程{X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T}相互獨(dú)立.

定義3[3]設(shè)X=(X1,X2, …,Xm)是m維隨機(jī)向量， 則稱

φX(u)=φ(X1, X2, …, Xm)(u1,u2, …,um)

為m維隨機(jī)向量X=(X1,X2, …,Xm)的特征函數(shù)， 其中u=(u1,u2, …,um)∈Rm.

定義4[1]設(shè){X(t),t∈T}是一個隨機(jī)過程, 對于任意m≥1和任意固定的t1,t2, …,tm∈T,

(X(t1),X(t2), …,X(tm))是個m維隨機(jī)向量， 稱其特征函數(shù)

為隨機(jī)過程{X(t),t∈T}的m維特征函數(shù). 稱

{φ(t1,t2, …,tm;u1,u2, …,um),ui∈R,

ti∈T,i=1, 2, …，m,m∈N}

為隨機(jī)過程{X(t),t∈T}的有限維特征函數(shù)族.

2 相關(guān)定理

定理2[5]設(shè)m維隨機(jī)向量X=(X1,X2, …,Xm)～N(μ,B)， 若n維隨機(jī)向量Y是X的線性變換， 即Y=XC， 其中C是m×n階矩陣， 則Y服從n維正態(tài)分布N(μC,CTBC).

引理1[6]設(shè)X=(X1,X2, …,Xn)是n維隨機(jī)向量，X～N(μ,B)， 其中μ為均值向量，B為協(xié)方差矩陣， 則X的特征函數(shù)為

φX(r)=φ(X1, X2, …,Xn)(r1,r2, …,rn)

其中r=(r1,r2, …,rn)∈Rn.

由引理1及正態(tài)過程的定義易得定理3.

定理3設(shè){X(t),t∈T}為正態(tài)過程， 均值函數(shù)為mX(t), 協(xié)方差函數(shù)為CX(s,t), 則{X(t),t∈T}的任意有限維特征函數(shù)為

φt1, …, tn(r1, …,rn)=

ri∈R,ti∈T,i=1, 2, …,n,n∈N.

3 主要結(jié)論

定理4設(shè){X1(t),t∈T}， {X2(t),t∈T}， …， {Xm(t),t∈T}為m個相互獨(dú)立的實(shí)正態(tài)過程， 記第i(1≤i≤m)個實(shí)正態(tài)過程{Xi(t),t∈T}的均值函數(shù)為mXi(t)， 協(xié)方差函數(shù)為CXi(s,t), 令Z(t)=a1X1(t)+a2X2(t)+…+amXm(t),t∈T， 其中a1,a2, …,am是不全為零的實(shí)常數(shù)， 則{Z(t),t∈T}仍為實(shí)正態(tài)過程， 其任意有限維特征函數(shù)為

a2mX2(tk)+…+ammXm(tk)] -

其中ri∈R,ti∈T,i=1, 2, …,n,n∈N,j2=-1.

證明(1)由于{X1(t),t∈T}， {X2(t),t∈T}， …， {Xm(t),t∈T}均為實(shí)正態(tài)過程且相互獨(dú)立， 所以?n≥1， ?t1,t2, …,tn∈T， 隨機(jī)向量

(X1(t1),X1(t2), …,X1(tn))

(X2(t1),X2(t2), …,X2(tn))

?

(Xm(t1),Xm(t2), …,Xm(tn))

均服從n維正態(tài)分布且這m個向量相互獨(dú)立， 由定理1知隨機(jī)向量

(X1(t1),X1(t2), …,X1(tn),X2(t1),X2(t2), …,X2(tn), …,Xm(t1),Xm(t2), …,Xm(tn))

服從n×m維正態(tài)分布， 即隨機(jī)向量

(X1(t1),X2(t1), …,Xm(t1),X1(t2),X2(t2), …,Xm(t2), …,X1(tn),X2(tn), …,Xm(tn))

服從n×m維正態(tài)分布.

由定理2知, 隨機(jī)向量(Z(t1), …,Z(tn))服從n維正態(tài)分布， 故隨機(jī)過程{Z(t),t∈T}為實(shí)正態(tài)過程.

(2)下面計(jì)算實(shí)正態(tài)過程{Z(t),t∈T}的任意有限維特征函數(shù).

{Z(t),t∈T}的均值函數(shù)為

mZ(t)=E(Z(t))=E(a1X1(t)+a2X2(t)+…+amXm(t))=a1E(X1(t))+a2E(X2(t))+…+amE(Xm(t))=a1mX1(t)+a2mX2(t)+…+ammXm(t) ,t∈T

{Z(t),t∈T}的相關(guān)函數(shù)為

RZ(s,t)=E(Z(s)Z(t)) =

{Z(t),t∈T}的協(xié)方差函數(shù)為

CZ(s,t)=RZ(s,t)-mZ(s)mZ(t)=

[(a1mX1(s)+a2mX2(s)+…+

ammXm(s))(a1mX1(t)+a2mX2(t)+…+

由定理3知實(shí)正態(tài)過程{Z(t),t∈T}的任意有限維特征函數(shù)為

其中ri∈R,ti∈T,i=1, 2, …，n,n∈N,j2=-1.

定理得證.