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    進(jìn)位制教學(xué)中的一次嘗試

    2016-11-03 07:13:46呂國(guó)
    湖南教育 2016年30期
    關(guān)鍵詞:公比嘗試角度

    呂國(guó)

    進(jìn)位制教學(xué)中的一次嘗試

    在一次“進(jìn)位制”的課堂教學(xué)中,我布置了這樣一道填空題:1111(2)=___(5)。

    這道題并不難,一般做法是:先把1111(2)化成十進(jìn)制數(shù):1111(2)=23+22+21+1=15,再用“除5取余法”把15化成五進(jìn)制數(shù)30(5)。做到這里,我突然想到當(dāng)我們把1111(2)化成十進(jìn)制數(shù)時(shí)還有一種算法:1111(2)=1111(2)+1-1=10000(2)-1=24-1=15。由此推廣為:11…1(2)=11…1(2)+1-1=10…0(2)-1=2n-1,11…1(2)=2n-1+2n-2+…+1,所以1+2+…+2n-1=2n-1。

    此時(shí),如果再往前走一步,我們就可以把k進(jìn)制中“逢k進(jìn)1”的進(jìn)位法則與等比數(shù)列求和聯(lián)系起來。

    例如,由

    22…2(3)=22…2(3)+1-1=10…0(3)-1=3n-1,

    22…2(3)=2×11…1(3)=2(3n-1+3n-2+…+1),

    得2(1+3+…+3n-1)=3n-1,即

    至此,我們有以下一般化的推導(dǎo)(因?yàn)槟壳爸挥姓麛?shù)進(jìn)位制,所以必須設(shè)q>1,q∈,p=q-1)。因此,

    從而對(duì)于一個(gè)首項(xiàng)為a1,公比為q(q≠1)的等比數(shù)列來說,有:n

    當(dāng)然,發(fā)現(xiàn)這一關(guān)系之后,我并沒有在課堂上立即完成最后的推導(dǎo),而是把它留給學(xué)生作為課后探究作業(yè)。題目是:用進(jìn)位制原理推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式。兩天以后,有3個(gè)同學(xué)經(jīng)過合作探究找到了這種方法。

    最后值得說明的是,從方法論的角度來看,用這一方法求等比數(shù)列前n項(xiàng)和比錯(cuò)位相減法更繁雜,而且從進(jìn)位制的角度來看,似乎只有當(dāng)q>1且q∈時(shí)才能用這一方法。但是這一方法很有創(chuàng)意,它找到了十進(jìn)制數(shù)與非十進(jìn)制數(shù)的某種聯(lián)系。也許正是這種聯(lián)系為我們以后解決其他問題增添了一種新的思維方式。更重要的是,盡管這只是雕蟲小技,但是在日常教學(xué)中我們就是要善于捕捉這些思維的火花,為拓展學(xué)生的思路,培養(yǎng)創(chuàng)新型人才提供一點(diǎn)幫助。也許這就是基礎(chǔ)教育階段數(shù)學(xué)教育的核心價(jià)值。

    (作者單位:株洲市四中)

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