例談函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題解決策略

石家文

例談函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題解決策略

石家文

函數(shù)零點(diǎn)的相關(guān)問(wèn)題涉及函數(shù)方程，蘊(yùn)含轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)整合等數(shù)學(xué)思想，是函數(shù)與方程知識(shí)的綜合應(yīng)用之點(diǎn)，也是高考的重點(diǎn)、難點(diǎn)和熱點(diǎn)。筆者通過(guò)多年的教學(xué)體會(huì)和對(duì)近年來(lái)高考試題的分析，從五個(gè)方面談一談函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題的解決辦法，供老師們參考。

一、零點(diǎn)算出來(lái)

當(dāng)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)零點(diǎn)或?qū)Ш瘮?shù)零點(diǎn)時(shí)，別無(wú)選擇，必須把零點(diǎn)用解方程的辦法算出來(lái)。

解得3x-1=3或3x-1=-3（舍），

解得3x=4，

所以x=log34。

說(shuō)明：函數(shù)f（x）的零點(diǎn)就是使f（x）=0的x的值，也就是關(guān)于x的方程f（x）=0的根，常用求方程根的方法計(jì)算函數(shù)的零點(diǎn)。

二、零點(diǎn)畫(huà)出來(lái)

如果問(wèn)題只涉及零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可考慮用零點(diǎn)畫(huà)出來(lái)的方法，但要注意函數(shù)圖像必須是能夠畫(huà)得出來(lái)的。畫(huà)初等函數(shù)的圖像，學(xué)生不會(huì)有難度。如果是畫(huà)較復(fù)雜函數(shù)的圖像，可以以導(dǎo)數(shù)為工具，先分析函數(shù)的單調(diào)性和極值等，再畫(huà)出函數(shù)的圖像。

例2.設(shè)函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2，（1）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；（2）略。

解：（1）由f（x）=0?a（x-1）2=（2-x）ex，顯然x=1時(shí)，a不存在，故x≠1。所以

當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)x＜1時(shí)，g′（x）＜0。函數(shù)g（x）在（-∞，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增。

又x≥2時(shí)，g（x）≥0；x＜2時(shí)，g（x）＜0，且g（0） =-2。故在同一坐標(biāo)系中作直線(xiàn)y=-a，函數(shù)y=g（x）的圖像如圖1所示。由圖知：當(dāng)且僅當(dāng)-a＜0，即a＞0時(shí)，直線(xiàn)y=-a與函數(shù)y=g（x）的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，故a的取值范圍為（0，+∞）。

圖1

說(shuō)明：本題用零點(diǎn)畫(huà)出來(lái)的方法，比參考答案簡(jiǎn)單多了，真是一個(gè)圖形勝過(guò)千言萬(wàn)語(yǔ)！數(shù)形結(jié)合是避開(kāi)分類(lèi)討論的最好辦法。

三、零點(diǎn)畫(huà)出來(lái)與算出來(lái)相結(jié)合

當(dāng)問(wèn)題的題設(shè)給出的函數(shù)是分段函數(shù)（或轉(zhuǎn)化后為分段函數(shù)），而問(wèn)題的解決用到該函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，可采取先把零點(diǎn)畫(huà)出來(lái)，再把零點(diǎn)算出來(lái)的方法，來(lái)一個(gè)雙管齊下。

圖2

又x1是關(guān)于x的方程2x2-x=m，即2x2-x-m=0的較小根。

說(shuō)明：本題由于是一道小題，原供參考答案是利用圖像與不等式方法得到相應(yīng)結(jié)果。筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)將該題改為小題大做，把x1·x2·x3用m表示出來(lái)，用函數(shù)思想求x1·x2·x3的范圍，是一道極佳的函數(shù)方程的問(wèn)題。

四、零點(diǎn)反串

若題設(shè)中已給出了函數(shù)零點(diǎn)的字母表示，而目標(biāo)中又涉及零點(diǎn)的相關(guān)代數(shù)式時(shí)，或需用零點(diǎn)來(lái)聯(lián)系相關(guān)的參數(shù)時(shí)，必須回歸函數(shù)零點(diǎn)的定義。筆者將其稱(chēng)之為零點(diǎn)反串。

例4.已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個(gè)零點(diǎn)。（1）略；（2）設(shè)x1，x2是f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1+x2＜2。

解：（2）不妨設(shè)x1＜x2，由（1）及圖3知：x1＜1＜x2，進(jìn)而有2-x2＜1。所以x1，2-x2∈（-∞，1）。

圖3

由f′（x）=（x-1）（ex+2a）及a＞0知：

當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，f′（x）＜0恒成立，所以f（x）在（-∞，1）內(nèi)單調(diào)遞減。

所以x1+x2＜2?x1＜2-x2?f（x1）＞f（2-x2）?f（2-x2）＜0。

由于f（2-x2）=-x2e2-x2+a（x2-1）2，而f（x2）=（x2-2）ex2

+a（x2-1）2=0，所以f（2-x2）=-x2e2-x2-（x2-2）ex2

。

設(shè)g（x）=-xe2-x-（x-2）ex，而g′（x）=（x-1）（e2-xex）。所以當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0，而g（1）=0，故當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＜0，從而g（x2）=f（2-x2）＜0，故x1+x2＜2。

說(shuō)明：本題雖然是一道利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式x1＜x-x2的問(wèn)題，但最關(guān)鍵的地方是利用x1，x2的反串，得f（x1）=0，f（x2）=0，成功地消掉了x1及a，為問(wèn)題的解決奠定了基礎(chǔ)。

五、設(shè)而不求

如果函數(shù)是一個(gè)超越式，我們無(wú)法直接解出其零點(diǎn)。但由零點(diǎn)存在性定理或作圖知道設(shè)函數(shù)在某一區(qū)內(nèi)有零點(diǎn)時(shí)，我們可采用先設(shè)零點(diǎn)再反串的方法予以解決。

例5.設(shè)函數(shù)f（x）=e2x-alnx。

（1）討論f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

當(dāng)a＞0時(shí)，方程g（x）=a有一個(gè)根，即f′（x）存在唯一零點(diǎn)；

當(dāng)a≤0時(shí)，方程g（x）=a沒(méi)有根，即f′（x）沒(méi)有零點(diǎn)。

（2）由（1），可設(shè)f′（x）在（0，+∞）的唯一零點(diǎn)為x0。當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0。故f（x）在（0，x0）單調(diào)遞減，在（x0，+∞）單調(diào)遞增，所以f（x）min=f（x0）。

由f′（x）=0得0，進(jìn)而得①和

以函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題作為高考?jí)狠S大題，就是因其綜合性極強(qiáng)，思想內(nèi)涵豐富，有很好的選拔功能，有難度是必然的。但只要我們用活五大招，從數(shù)與形兩方面思考，學(xué)生破解這類(lèi)問(wèn)題應(yīng)該沒(méi)有問(wèn)題。

（作者單位：永順縣第一中學(xué)）