染色

730070)圖染色問題是圖論中經(jīng)典問題之一,其研究成果已被廣泛應(yīng)用于通信網(wǎng)絡(luò)、控制論、計算機(jī)科學(xué)與編碼理論等領(lǐng)域.由于應(yīng)用的廣泛性,許多學(xué)者在傳統(tǒng)染色的基礎(chǔ)上陸續(xù)提出了一系列新染色.2004年,Karoński等提出了圖的鄰和可區(qū)別邊染色的概念,并給出了該染色下的1-2-3猜想[1].2021年,Przybylo證明了每個d-正則圖(d≥2)都是鄰和可區(qū)別4-邊染色的,且當(dāng)d≥108時,每個d-正則圖是鄰和可區(qū)別3-邊染色的[2].2010年,Przyb

1 研究背景圖的染色是圖論的重要研究內(nèi)容，由計算機(jī)科學(xué)和信息科學(xué)等所產(chǎn)生的一般點(diǎn)可區(qū)別邊染色[1]、鄰點(diǎn)可區(qū)別邊染色[2-6]、鄰點(diǎn)可區(qū)別全染色[7]、鄰點(diǎn)強(qiáng)可區(qū)別全染色[8]等染色法，這些都是十分困難的問題，至今文獻(xiàn)甚少。文中將通過具體的染色方法，給出圖Pa,b的鄰點(diǎn)可區(qū)別邊染色數(shù)、鄰點(diǎn)可區(qū)別全染色數(shù)、鄰點(diǎn)強(qiáng)可區(qū)別全染色數(shù)。定義2[7]圖G(V,E)的一個正常全染色f:V∪E→{1,2,…,k}，如果滿足：1)對任意的uv∈E有f(u)≠f(v),f(u

0 引言在孿生邊染色概念基礎(chǔ)上，可以定義以下更一般的帶有限制條件的邊染色概念.在定義1中，孿生1-距離邊染色也叫孿生邊染色.因2-距離邊染色也稱為強(qiáng)邊染色[4]，所以孿生2距離-邊染色也稱為孿生強(qiáng)邊染色[5].引理1 設(shè)G是階至少為3的簡單圖,且G的連通分支為G1,G2,…，Gω，有本文主要研究無限路的孿生強(qiáng)邊染色，以及無限路的笛卡爾積、直積的孿生邊染色，文中未說明的符號及術(shù)語可參見文獻(xiàn)[6]與[7]．1 主要結(jié)果設(shè)P∞為無限路，且V(P∞)=Z(Z為整數(shù)

30010)圖的染色問題是圖論中的一個經(jīng)典而古老的問題，也是圖論領(lǐng)域的一個重要研究方向.目前,圖的染色問題已由傳統(tǒng)的點(diǎn)染色、邊染色、全染色拓展為各類具有復(fù)雜特征的新型染色問題,圖的均勻染色就是其中之一.圖的均勻染色強(qiáng)調(diào)了任意兩個色類所染元素個數(shù)最大相差為1,它常用來解決一些分配、調(diào)度及負(fù)載平衡問題.1973年, Meyer[1]最早提出了均勻染色的概念;1994年, Fu H[2]在《Some results on equalized total colo

圖G的一個正常點(diǎn)染色是一個映射f:V(G)→{1,…,k},使得圖G中的任意兩個相鄰頂點(diǎn)u,v均有f(u)≠f(v)。圖G的正常點(diǎn)染色所需要的最小顏色數(shù)稱為色數(shù),記為χ(G)。事實(shí)上,圖G的正常點(diǎn)染色可將圖G的頂點(diǎn)集劃分為k個獨(dú)立集{V1,V2,…,Vk},這里每個獨(dú)立集稱為一個色類,記為Vi={v∈V(G)|f(v)=i},i=1,…,k。圖G的一個l-染色是指用l種顏色對G進(jìn)行的一個正常點(diǎn)染色。圖的染色被大量用在涉及稀缺資源分配的實(shí)際問題的模型中(例如

30070)圖的染色理論在離散系統(tǒng)、組合分析和網(wǎng)絡(luò)通訊等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,具體涉及時間表問題、排序問題、排課表問題、存儲問題、電路安排和任務(wù)分配等。由于其重要的理論意義和廣泛的應(yīng)用價值,染色問題一直是學(xué)者們關(guān)注和研究的熱點(diǎn)。在圖的鄰點(diǎn)被擴(kuò)展和可區(qū)別全染色的基礎(chǔ)上, FLANDRIN等[11]進(jìn)一步定義了圖的鄰點(diǎn)全和可區(qū)別非正常全染色,但并未對圖的鄰點(diǎn)全和可區(qū)別非正常全染色問題進(jìn)行深入探究,僅僅把圖的鄰點(diǎn)全和可區(qū)別非正常全染色與鄰點(diǎn)被擴(kuò)展和可區(qū)別全染色作了

不僅給出了纏繞的染色規(guī)則，而且證明了在此規(guī)則下的染色分?jǐn)?shù)是一個同痕不變量[2]；2019年,盧碩在有理纏繞染色的基礎(chǔ)上，討論了兩類代數(shù)纏繞染色的性質(zhì)[3]；2020年,王冬雪等討論了有理纏繞染色矩陣的性質(zhì)，將2線纏繞的染色問題推廣到n線纏繞的染色問題，并研究了一類n線纏繞的染色性質(zhì)[4-5].本文從上述研究結(jié)果出發(fā)，對纏繞染色進(jìn)行進(jìn)一步的研究，將2線纏繞的染色與3線纏繞的染色緊密地結(jié)合起來，對一類3線纏繞染色進(jìn)行細(xì)致的研究和分析，給出了上述3線纏繞的一種特

度高、操作簡便、染色流程標(biāo)準(zhǔn)化等特點(diǎn)，在病理科廣泛應(yīng)用[1-2]。但全自動免疫組化儀染色也會遇到組織玻片非特異染色、染色偏弱或無法著色等問題[3]，其中以外院送檢的會診組織在羅氏Ventana免疫組化染色時最為常見。常規(guī)處理方法是對組織玻片進(jìn)行脫脂奶粉浸泡，但并不能完全解決問題。本科室通過增加二甲苯脫蠟、重復(fù)抗原修復(fù)及更換免疫組化染色儀的方法，對會診組織染色異常的切片進(jìn)行優(yōu)化，取得理想效果，現(xiàn)報道如下。1 材料與方法1.1 材料收集2021年1～4月中山大

圖G的一個k-全染色是k種顏色1,2,··· ,k在圖G的所有頂點(diǎn)及邊上的一個分配.設(shè)f是圖G的一個k-全染色，對任意的x ∈V(G)，稱為點(diǎn)x的擴(kuò)展和.圖G的一個k-全染色f滿足對任意的xy ∈E(G)，有w(x)/=w(y)，則稱f是鄰點(diǎn)擴(kuò)展和可區(qū)別的(簡記為NESD).使得圖G存在NESDk-全染色的k的最小值被稱為圖G的鄰點(diǎn)擴(kuò)展和可區(qū)別全色數(shù)，簡記為egndi∑(G).Kalkowski 等人[1]引入并研究了圖的鄰和可區(qū)別一般邊染色.Przyby

入纖維內(nèi)部，致使染色困難，需要在高溫高壓下用分散染料進(jìn)行染色。為解決滌綸染色困難的問題，從業(yè)者在纖維改性方面做了許多研究［1-2］，如陽離子染料可染滌綸（簡稱CDP）和陽離子染料易染滌綸（簡稱ECDP）。CDP纖維是在常規(guī)PET纖維的二元單體基礎(chǔ)上，添加少量含磺酸基團(tuán)的第三單體共聚而得，使其可用陽離子染料染色。但由于其纖維超分子結(jié)構(gòu)仍與常規(guī)滌綸相似，玻璃化溫度也較高，需要在一定的壓力下染色，最高上染溫度比常規(guī)PET纖維下降了10～15℃。ECDP纖維是在C

的一個正常k-邊染色是指映射f:E→{1,2,…,k}, 使得對任意兩條相鄰的邊e1和e2, 均有f(e1)≠f(e2).一個頂點(diǎn)x∈V在f下的色集合Sf(x)是指所有與x關(guān)聯(lián)的邊在f下的顏色構(gòu)成的集合.特別地, 當(dāng)β=2時,D(β)-點(diǎn)可區(qū)別邊染色稱為D(2)-點(diǎn)可區(qū)別邊染色.如果兩個距離不超過2的頂點(diǎn)u,v在D(2)-點(diǎn)可區(qū)別邊染色函數(shù)f下滿足Sf(u)≠Sf(v), 則稱u與v在f下是D(2)-點(diǎn)可區(qū)別的.基于文獻(xiàn)[9], 本文考慮單圈圖在2-距離以

61199)關(guān)于染色問題,國內(nèi)外許多學(xué)者在傳統(tǒng)邊染色、點(diǎn)染色和全染色基礎(chǔ)上,增加相應(yīng)的條件,提出了新的染色概念.Kalkowski M等[1]介紹了圖的鄰和可區(qū)別一般邊染色,Przybylo等[2]進(jìn)一步提出鄰和可區(qū)別一般全染色概念,Flandrin等[3]在此基礎(chǔ)上提出鄰點(diǎn)擴(kuò)展和可區(qū)別全染色,研究了路、圈、完全圖、樹等圖的鄰點(diǎn)擴(kuò)展和可區(qū)別全染色,并提出一個猜想.張輝等[4-5]研究了星、扇、雙星及聯(lián)圖的鄰點(diǎn)擴(kuò)展和可區(qū)別全染色.劉秀麗[6]討論了Mycie

點(diǎn)可區(qū)別的正常邊染色與點(diǎn)可區(qū)別的一般邊染色研究已有很多結(jié)果[1-6]. 圖G的一個k-全染色是指用k種顏色{1,2,…,k}對圖G的全體頂點(diǎn)及邊的一個分配, 對圖G的每個頂點(diǎn)y,Cf(y)指在f下點(diǎn)y的顏色及與y關(guān)聯(lián)的全體邊的顏色構(gòu)成的集合(非多重集), 稱為y的色集合. 設(shè)f是圖G的一個正常全染色, 如果對?u,v∈V,u≠v, 有C(u)≠C(v), 則稱f是圖G的點(diǎn)可區(qū)別全染色(VDTC)[7-8].本文所研究的圖均為有限的無向簡單圖, 考慮點(diǎn)可區(qū)別

1 研究背景圖的染色問題具有重要的實(shí)際意義和理論意義。由計算機(jī)科學(xué)和信息科學(xué)等所產(chǎn)生的一般點(diǎn)可區(qū)別邊染色[1]、鄰點(diǎn)可區(qū)別邊染色[2-6]、鄰點(diǎn)可區(qū)別全染色[5]等都是十分困難的問題。在此基礎(chǔ)上，張忠輔等人提出了鄰點(diǎn)可區(qū)別-邊全染色[6]和第一類弱全染色的概念，并得到一些重要的結(jié)論。本文給出了路的k-方圖的鄰點(diǎn)可區(qū)別-邊全染色數(shù)和第一類弱全染色數(shù)。定義1[3]圖G(V，E)的一個正常全染色f:V∪E→{1,2,…,k}，如果滿足：1)對任意的uv∈E有f(

的點(diǎn)可區(qū)別正常邊染色與圖的點(diǎn)可區(qū)別一般邊染色研究已有很多結(jié)果[1-9].設(shè)f:V∪E→{1,2,…,k}為圖G的一個全染色(正常或未必正常). 對圖G的每個頂點(diǎn)x,用Cf(x)表示在f下點(diǎn)x的顏色及全體與x關(guān)聯(lián)的邊的顏色構(gòu)成的集合(非多重集),稱其為x的色集合或調(diào)色板. 設(shè)f為圖G的一個正常全染色. 若對?u,v∈V,u≠v,總有C(u)≠C(v),則稱f為G的點(diǎn)可區(qū)別全染色(VDTC)[10-11]. 本文考慮圖的點(diǎn)可區(qū)別的一類未必正常的全染色.用ni(

)點(diǎn)可區(qū)別正常邊染色、(鄰)點(diǎn)可區(qū)別全染色及其相關(guān)猜想是受到當(dāng)前國際著名圖論專家(如Bollobás等)重視的研究課題.1985年,Harary等[1]建設(shè)性地提出點(diǎn)可區(qū)別一般邊染色概念.1988年，Chartrand等[2]研究圖的非正規(guī)強(qiáng)度，即圖的可允許一般邊染色所需要顏色的最少數(shù)目；1997年Burris等[3]及1996年Hork等[4-6]分別獨(dú)立地提出圖的點(diǎn)可區(qū)別正常邊染色.Zagaglia[7]首次提出了點(diǎn)可區(qū)別的一般全染色概念.此后, 圖的

齊 華含鐵血黃素染色是病理診斷技術(shù)中常用的方法。組織內(nèi)有出血時紅細(xì)胞被吞噬細(xì)胞吞噬，血紅蛋白在吞噬細(xì)胞中的溶酶體內(nèi)降解后形成棕黃色顆粒，即含鐵血黃素[1]?，F(xiàn)階段在很多疾病的檢測中均采用含鐵血黃素檢測。含鐵血黃素細(xì)胞是特發(fā)性肺含鐵血黃素沉著癥診斷的特異性指標(biāo)[2]，有文獻(xiàn)對含鐵血黃素染色技術(shù)進(jìn)行改良[3]。根據(jù)文獻(xiàn)報道配制1%核固紅染液[4]，核固紅溶解性較差，放置一段時間后無法染色。因此，作者對該方法進(jìn)行改進(jìn)，應(yīng)用不同的配制方法，減少了核固紅的用量，使核

本概念與引理圖的染色理論被廣泛應(yīng)用于如網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化和信息技術(shù)等領(lǐng)域中， 用來解決實(shí)際問題． 因此， 其理論及應(yīng)用成為圖論工作者研究的重要課題． 為滿足應(yīng)用的需要， 圖的新染色方法被不斷提出[1-4]，ZhangZhongfu等[3]提出圖的鄰點(diǎn)可區(qū)別I-全染色概念，王繼順等[4]提出了鄰點(diǎn)可區(qū)別I-均勻全染色的概念，由于其都是NP完全問題，受到圖論學(xué)者的普遍關(guān)注，楊隨義等[5]研究了冠圖的鄰點(diǎn)可區(qū)別I-全染色，王繼順研究了蛛網(wǎng)圖、漁網(wǎng)圖[6]以及聯(lián)圖Pm∨Fn

的點(diǎn)可區(qū)別正常邊染色的研究見文獻(xiàn)[1-7]，圖的點(diǎn)可區(qū)別一般邊染色的研究見文獻(xiàn)[8-9]，圖的點(diǎn)可區(qū)別正常全染色的研究見文獻(xiàn)[10-13]，圖的點(diǎn)可區(qū)別I-全染色和點(diǎn)可區(qū)別VI-全染色的研究見文獻(xiàn)[14-19].本文討論Sm與Sn的聯(lián)圖(3≤m≤n≤n+2)的點(diǎn)可區(qū)別I-和VI-全染色.圖G的一個使用了k種顏色的一般全染色(k-一般全染色)是指一個映射f：V∨E→{1,2…,k}.圖G的I-全染色，就是指對于這個圖G的一個一般全染色f，?u,v∈V,有f(

鼠甲狀腺組織HE染色情況（a：C組；b：M組；c：P組；d：TL 組；e：TH 組；×10）圖3 各組大鼠甲狀腺組織Akt免疫組化染色（a：C組；b：M組；×10）圖5 各組大鼠甲狀腺組織CXCL10免疫組化染色 [a：C組（+）；b：TH 組（++）；c：M 組（+++）；×10]圖4 各組大鼠甲狀腺組織NF-κB免疫組化染色[a：C組（+）；b、c：M 組（+++）；d：TH 組（++）；e：P 組（++）；f：TL 組（++）；×10]圖6 各組大鼠

66004)圖的染色理論是圖論中很重要的研究課題。應(yīng)解決實(shí)際問題的需要，在經(jīng)典圖的頂點(diǎn)染色和邊染色的基礎(chǔ)之上，衍生出了一些帶有限制條件的邊染色問題，如圖的強(qiáng)邊染色和星邊染色等問題。定義1[1]圖G的一個正常k-邊染色是指一個映射φ∶E(G)→{1,2,…,k}，且對E(G)中任意兩條相鄰的邊e1,e2都滿足φ(e1)≠φ(e2)。以下介紹兩種有約束條件的邊染色的定義。定義2[2]圖G的一個強(qiáng)k-邊染色是G的一個滿足任意兩條距離至多是2的邊染不同顏色的正常k

的一個正常k-邊染色是用k種顏色對圖G的邊集進(jìn)行染色，使得任意相鄰的邊染不同的顏色.設(shè)π是圖G的一個正常k-邊染色，如果染色π使得圖G中有公共邊的任意兩條邊的染色也不相同，則稱π是圖G的一個k-強(qiáng)邊染色.強(qiáng)邊染色在無線電通訊網(wǎng)絡(luò)的無沖突信道分配問題上具有重要的理論和實(shí)際意義.Snark圖是源自3-邊著色猜想而構(gòu)造的圖，若圖是二邊連通的3正則圖且不可3-邊著色，同時圍長至少為5，也無非平凡3-邊割集，則稱為snark.Petersen圖是最小的snark.本

細(xì)胞結(jié)構(gòu)。經(jīng)典的染色劑為I2-KI試劑，其基本原理為I2與蛋白質(zhì)發(fā)生顯色，細(xì)胞質(zhì)內(nèi)的蛋白質(zhì)濃度較細(xì)胞核內(nèi)的低，細(xì)胞質(zhì)顯淺棕黃色，細(xì)胞核顯深棕黃色。在教學(xué)實(shí)踐中，碘染色所需時間過長，染色效果單一，觀察效果不佳。有人嘗試使用Feulgen染色法[1]、甲基綠-派洛寧染色法[2]、中性紅染色[3]、孔雀綠染色、ZnO作用等較為創(chuàng)新的染色方法將洋蔥鱗片葉表皮細(xì)胞染色，但實(shí)驗(yàn)步驟較為繁瑣，不適合于中學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)。本文以洋蔥鱗片葉表皮為材料，從有機(jī)試劑(如堿性品紅、亞甲

的 k-邊正常染色是指映射 f：E（G）→{1，2，…，k}，使得對圖G中任意相鄰的邊e1、e2，均有.設(shè)e1、e2是圖G的2條不相鄰的邊，e1的一個端點(diǎn)到e2的一個端點(diǎn)且不經(jīng)過e1和e2的路稱為e1到e2的一條路，其中最短的一條路所含的邊數(shù)稱為e1到e2的距離.圖G的強(qiáng)邊染色是圖G的一個正常邊染色，滿足任意2條距離小于或等于1的邊染色不相同.在圖G的所有強(qiáng)邊染色中，使用顏色最少的強(qiáng)邊染色所含顏色的數(shù)目稱為G的強(qiáng)邊色數(shù)，記為χS′（G）.1985年，Er

，E）的一個頂點(diǎn)染色 c：V（G）→[1，k]，如果相鄰2個頂點(diǎn)著不同的顏色，則這種染色稱為正常染色，使得圖G為正常染色所使用的最少色數(shù)k，稱為圖G的正常色數(shù)，用χ（G）來表示.圖G的r-多彩k-染色是一個使用k種顏色的正常染色c：V（G）→[1，k]，并且對于圖 G 中每個度為 d（v）的頂點(diǎn)v，滿足|c（N（v））|≥min{d（v），r}，其中 N（v）表示頂點(diǎn) v的鄰點(diǎn)集，c（N（v））={c（u），u∈N（v）}，使得圖 G 為r-多彩k-染色的

是G的k-正常邊染色，顏色集合為[k]={0，1，2，…，k-1}.對每一頂點(diǎn)u∈V(G)，記σ＇(u)=(∑uυ∈Ευσ(uv))k. 若對G的任意相鄰頂點(diǎn)u與v，有σ＇(u) ≠σ＇(v)，則稱σ是G的k-孿生邊染色，最小的k值為G的孿生邊色數(shù)，記為χ＇t(G)，其中σ＇稱為由σ誘導(dǎo)的點(diǎn)染色. 孿生邊染色是Andrews等人在文獻(xiàn)[1]中提出的特殊邊染色概念，并在此基礎(chǔ)上，得到了路、圈、完全圖以及完全二部圖等的孿生邊色數(shù).類似地，若G的d-距離邊染色σ

圖點(diǎn)可區(qū)別Ⅰ-全染色和點(diǎn)可區(qū)別Ⅵ-全染色苗 婷 婷1,王 治 文2,陳 祥 恩*1(1.西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 甘肅 蘭州 730070；2.寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)計算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 寧夏 銀川 750021 )一個圖G的Ⅰ-全染色是指若干種顏色對圖G的全體頂點(diǎn)及邊的一個分配使得任意兩個相鄰點(diǎn)及任意兩條相鄰邊被分配到不同顏色．圖G的Ⅵ-全染色是指若干種顏色對圖G的全體頂點(diǎn)及邊的一個分配使得任意兩條相鄰邊被分配到不同顏色．對圖G的一個Ⅰ(Ⅵ)-全染色及圖G的任

要]設(shè)圖G為b-染色圖，其b-染色數(shù)為φ（G）。圖G的b-染色數(shù)和為φ′（G）=min{V∈V（G）c（v）|c∈C}，其中c為圖G的任意一個[φ（G）]b-染色方案。通過構(gòu)造染色方案與染色和分解的方法，研究了扇圖F1，n與冠圖PnCn的b-染色數(shù)和。[關(guān)鍵詞]冠圖；扇圖；m-度；b-染色；b-染色數(shù)；b-染色數(shù)和2015年，Lisna在圖的b-染色[1]基礎(chǔ)上引入圖的“b-染色數(shù)和”[2]的概念。圖G的一個（k）b-染色是從頂點(diǎn)集V（G）={v1，v2，

圖.圖G的一個全染色［5］σ是從V（G）∪E（G）到C的映射，且滿足條件：（1）沒有相鄰的兩條邊或兩個頂點(diǎn)具有相同的像；（2）G的每個頂點(diǎn)v的像與v關(guān)聯(lián)的邊的像不同.若σ∶V（G）∪E（G）→C是G的全染色，且｜C｜＝k是一個整數(shù)，則稱G是可k-全染色的.使G可k-全染色的最小的k值，稱為G的全色數(shù)，記為χT（G）.1965年，Behzad在文獻(xiàn)［5］中提出了全染色的概念，研究了一些特殊圖類的全色數(shù)，在此基礎(chǔ)上提出了圖的全色數(shù)猜想：對任意的圖G，有χT（G

．圖G的正常k-染色是指映射f:V(G)→{1，2，…，k}滿足?uv∈E(G)，f(u)≠f(v)．用χ(G)表示G是正常k-可染的最小整數(shù)k．在圖的染色中，均勻染色是一個重要的染色問題．定義1 對|V(G)|≥2 的簡單圖 G(V，E)的正常 k-染色 f，若滿足?i，j∈{1，2，…，k}，||Vi|-|Vj||≤1，則稱f為G的一個k-均勻染色．χe(G)表示G是k-均勻可染的最小整數(shù)k，稱為G的均勻色數(shù)．其中Vi={v|v∈V(G)，f(v)=i

種特殊圖的均勻邊染色萬慧敏，史小藝，王艷麗（中國礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 徐州 221008）研究立方Halin圖以及一些倍圖的均勻邊染色，利用換色法、構(gòu)造法和歸納法得出：立方Halin圖和路的倍圖都是均勻的，星的倍圖都有均勻4-邊染色.立方Halin圖；倍圖；均勻邊染色1 引言及定義本文僅討論有限無向簡單圖，除聲明的特殊記號和術(shù)語外，均使用標(biāo)準(zhǔn)的圖論術(shù)語[1].圖的染色問題是圖論研究中的重要問題之一，有重大的理論價值和應(yīng)用背景.圖的均勻染色理論是圖的染色理

2 圖G的k－全染色是從V（G）∪E（G）到S＝｛1，2，…，k｝的一個映射σ，使得G 中沒有相鄰頂點(diǎn)或邊具有相同的像，且每個頂點(diǎn)與其關(guān)聯(lián)邊有不同的像.使G存在k－全染色的最小k值稱為G的全色數(shù)，記為χT（G）.定義3 圖G的一個k－全染色σ被稱為k－星全染色，如果圖G中任意長為2的路的頂點(diǎn)和邊染不同顏色.即G中任意星上的頂點(diǎn)與邊染不同的顏色.使G存在k－星全染色的最小的k值稱為G的星全色數(shù)，記為χst（G）.由定義3，容易得到以下引理：引理1 對任意n階

的點(diǎn)可區(qū)別V-全染色馬寶林,劉娟,王軍濤,丁玉榮（河南科技學(xué)院,河南新鄉(xiāng)453003）根據(jù)簡單圖的點(diǎn)可區(qū)別V-全染色的概念及其染色方法,討論了m個長度為n的路的頂點(diǎn)不交并的點(diǎn)可區(qū)別V-全染色,并給出全色數(shù)的結(jié)論及其證明,根據(jù)結(jié)論提出了相應(yīng)的猜想,為進(jìn)一步探討其他簡單圖的點(diǎn)可區(qū)別V-全染色提供了理論證據(jù),豐富了圖的點(diǎn)可區(qū)別V-全染色的結(jié)果.簡單圖；全色數(shù)；點(diǎn)可區(qū)別V-全染色；mPn圖的染色問題是NP完全問題,目前已得到了很多結(jié)果[1-3],2004年,張忠輔

圖H的一個無圈k染色,有Xa′(H)≤k.如果|C(x)∩C(y)|=0時,對邊xy染顏色α∈l{C(x)∪C(y)},則可以得到圖G的一個無圈k染色.如果|C(x)∩C(y)|=1時,|C(y)∪C(z)|=3+Δ-1=Δ+2,則對邊xy染顏色α滿足α∈l{C(y)∪C(z)},則可得到圖G的一個無圈邊染色.情況2設(shè)x是一個3度點(diǎn),鄰接一個4度點(diǎn)y,一個5度點(diǎn)y1,z是x鄰接的另外一個點(diǎn)讓H=G-xy,則由圖G的最小性知,C是圖H的一個無圈k染色.在圖中

130)圖的無圈染色魏立鵬,何文杰,黃大江,吳文文(河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所,天津 300130)我們證明最大度Δ≥5的圖的無圈色數(shù)至多是,這個結(jié)果比目前公認(rèn)的最小上界要小。同時得出兩個新的結(jié)論:對任意Δ=5的圖G,有a(G)≤8;對任意Δ=6的圖 G,有a(G)≤12。無圈染色;無圈色數(shù);最大度1 引言設(shè)G=(V(G),E(G))是一個連通的簡單圖, V(G)和E(G)分別表示G的頂點(diǎn)集和邊集。記Δ(G),δ(G)分別是圖G的最大頂點(diǎn)度和最小頂點(diǎn)

-點(diǎn)可區(qū)別正常邊染色f是指一個從E(G)到{1,2,…,k}的映射,且滿足?u,v∈V(G),u≠v,有S(u)≠S(v),其中S(u)={f(uw)|uw∈E(G)}.數(shù)min{k|G存在k-VDPEC染色}稱為圖G的點(diǎn)可區(qū)別正常邊色數(shù),記為研究了Wm∨Pn(n≤3)的點(diǎn)可區(qū)別邊染色,給出了Wm∨Pn(n≤3)的點(diǎn)可區(qū)別邊色數(shù).聯(lián)圖;點(diǎn)可區(qū)別邊染色;點(diǎn)可區(qū)別邊色數(shù)圖的染色問題是圖論研究的主要內(nèi)容之一.圖的染色的基本問題就是確定其各種染色法的色數(shù).Burr

）正則圖的均勻邊染色于罡，宋海洲（華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州 362021）研究正則圖的均勻邊染色，指出并非所有正則圖都存在任意種顏色的均勻邊染色.證明當(dāng)l能夠分解為整數(shù)k與偶數(shù)b的乘積時，l-正則圖存在均勻k-邊染色.同時，給出正則圖均勻邊染色的最小顏色數(shù).正則圖；邊染色；均勻邊；幾乎均勻邊圖的染色問題是圖論研究的經(jīng)典領(lǐng)域.這是由于它在組合分析和實(shí)際生活中的廣泛需要，如時間表問題、貯藏問題、電信通訊站點(diǎn)的頻率分配問題、計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計區(qū)分問題，以