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    若干圖的廣義字典積的全染色

    2013-10-23 09:21:34田雙亮孫向濤
    關(guān)鍵詞:種顏色全色正則

    田雙亮,孫向濤

    (西北民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,甘肅 蘭州 730030)

    0 引言

    本文所考慮的圖G都是有限無向的簡單圖,用V(G),E(G)分別表示G的點和邊的集合.并用Δ(G)表示G的最大度.本文未給出的其他定義可參考文獻(xiàn)[1].

    定義1[2]設(shè)G 是具有頂點集V(G)={t1,…,tn},n≥2的圖,hn=(Hi)i∈{1,2,…,n}是頂點不相交圖的序列,其中圖 Hi的頂點集為V(Hi)={(ti,y1),…,(ti,yx)},x≥1.稱G[hn]為G 與hn=(Hi)i∈{1,2,…,n}的廣義字典積,其中G[hn]的頂點集為V(G[hn])=∪ni=1V(Hi),且兩個頂點(ti,yp)與(tj,yq)相鄰當(dāng)且僅當(dāng)ti=tj且(ti,yp)(ti,yq)∈E(Hi),或(ti,tj)∈E(G).若 Hi?H 對于i=1,2,…,n,則G[hn]記為G[H],且稱G[H]為G與H的字典積.

    兩個頂點不相交圖G1與G2的聯(lián)圖[1]是指在G1與G2的并圖中,把G1的每個頂點和G2的每個頂點連接起來所得到的圖,記為G1∨G2.由廣義字典積的定義知,聯(lián)圖G1∨G2是2階路P2與h2=(G1,G2)的廣義字典積P2[h2].G 與hn=(Hi)i∈{1,2,…,n}的廣義字典積G[hn]也可稱為不相交圖 H1,H2,…,Hn關(guān)于G 的廣義聯(lián)圖[3].G與H 的字典積G[H]可稱為H關(guān)于G的等廣義聯(lián)圖.完全多部圖可看成是若干零圖的關(guān)于完全圖的廣義聯(lián)圖,而多重聯(lián)圖[4]則可看成是若干個圖關(guān)于完全圖的廣義聯(lián)圖.

    圖G的一個全染色[5]σ是從V(G)∪E(G)到C的映射,且滿足條件:(1)沒有相鄰的兩條邊或兩個頂點具有相同的像;(2)G的每個頂點v的像與v關(guān)聯(lián)的邊的像不同.若σ∶V(G)∪E(G)→C是G的全染色,且|C|=k是一個整數(shù),則稱G是可k-全染色的.使G可k-全染色的最小的k值,稱為G的全色數(shù),記為χT(G).

    1965年,Behzad在文獻(xiàn)[5]中提出了全染色的概念,研究了一些特殊圖類的全色數(shù),在此基礎(chǔ)上提出了圖的全色數(shù)猜想:對任意的圖G,有χT(G)≤Δ(G)+2.文獻(xiàn)[5-7]研究了圖的全染色.本文主要研究一些特殊圖的廣義字典積G[hn]的全染色.在后面的討論中要用到以下引理:

    引理1[5]對圖G 的任意子圖H,有χT(H)≤χT(G).

    由引理1與引理2,對任意n階簡單圖H,若n為奇數(shù),則H的全色數(shù)不超過n;若n為偶數(shù),H的全色數(shù)不超過n+1,且對H的任一(n+1)-全染色,n+1種顏色中必存在一種顏色c,使得H的所有頂點均不染顏色c.

    1 主要結(jié)論及其證明

    設(shè)n階輪Wn的頂點集和邊集分別為

    n階扇Fn與星Sn分別可由輪Wn刪去一些邊得到.為敘述方便,令V(Hi)={(ti,yj)|j=1,2,…,m},并記vij=(ti,yj).在G[hn]中,用Gkl表示具有二分類(V(Hk),V(Hl))的m-正則二部圖.

    下面我們研究G 為輪Wn,或扇Fn,或星Sn時廣義字典積G[hn]的全色數(shù),其中hn=(Hi)i∈{0,1,…,n-1},n≥5,Hi為m 階簡單圖,i=0,1,…,n-1.

    若G是n階的輪即G=Wn,由圖的廣義字典積的定義,我們可將圖G[hn]分解為三個邊不交子圖G(1),G(2)與G(3),即

    定理1 設(shè)G 為n 階輪,或扇,或星,其中n≥5.在hn=(Hi)i∈{0,1,…,n-1}中,|Hi|=m 對于i=0,1,…,n-1.若H0為m 階完全圖的補(bǔ)圖,則χT(G[hn])=(n-1)m+1.

    證明 顯然,χT(G[hn])≥Δ(G[hn])+1=(n-1)m+1.因此,需證明χT(G[hn]≤(n-1)m+1.因Fn與Sn均為Wn的子圖,所以Sn[hn]?Fn[hn]?Wn[hn].由引理1,僅需證明,當(dāng)G=Wn時,χT(G[hn])≤(n-1)m+1.

    首先,對G(1)進(jìn)行正常全染色.由引理1與引理2,可用Ci-1∪{a}中的m+1種色對Hi進(jìn)行正常全染色,使得Hi的所有頂點均不雜顏色a,其中i=1,2,…,n-1.并用顏色a染H0的每一頂點.

    其次,對G(2)進(jìn)行正常邊染色.用Ci(下標(biāo)取模n-1)中m種顏色對m-正則二部圖G0i進(jìn)行正常邊染色,其中i=1,…,n-1.

    最后,對G(3)進(jìn)行正常邊染色.用Ci+2(下標(biāo)取模n-1)中m 種顏色對m-正則二部圖Gi,i+1進(jìn)行正常邊染色,其中i=1,2,…,n-2.并用C2的m 種顏色對m-正則二部圖Gn-1,1進(jìn)行正常邊染色.

    容易看出,以上染色σ是G[hn]的一個((n-1)m+1)-正常全染色,所以有χT(G[hn])≤(n-1)m+1.因此,定理結(jié)論成立.

    定理2 設(shè)G 為n 階輪,或扇,或星,其中n≥5.在hn=(Hi)i∈{0,1,…,n-1}中,|Hi|=m 對于i=0,1,…,n-1.若H0為m 階完全圖,則χT(G[hn])=mn.

    證明 顯然,χT(G[hn])≥Δ(G[hn])+1=mn.與定理1的證明類似,僅需證明,當(dāng)G=Wn時,有χT(G[hn])≤mn.

    情況1 m 為奇數(shù).在G[hn]中,G(2)與G(3)的染色與定理1證明中的染色相同.由引理1與引理2,可用Ci-1中的m種顏色對Hi進(jìn)行正常全染色,其中i=0,1,…,n-2;用Cn-1中的m種顏色對H0進(jìn)行正常全染色.顯然,以上染色為G[hn]的一個mn-正常全染色.

    情況2 m 為偶數(shù).在G[hn]中,G(2)-E(G01)與G(3)的染色與定理1證明中的染色相同.由引理1與引理2,可用Ci-1∪{cn-1,0}中的m+1種顏色對 Hi進(jìn)行正常全染色,使得 Hi的所有頂點均不染顏色cn-1,0,其中i=2,3,…,n-1;并用C0∪{c1,0}中的m+1種顏色對H1進(jìn)行正常全染色,使得H1的所有頂點均不染顏色c1,0.然后,用Cn-1∪{c1,0}的m+1種顏色對H0進(jìn)行正常全染色,使得H0的所有頂點均不染顏色c1,0,具體地,當(dāng)k+l≠m+1時,令

    顯然,在 H0的染色中,顏色cn-1,k-1不在頂點v0k上表現(xiàn),所以可取G01的一個完美匹配 M={v0kv1k|k=1,2,…,m},并用顏色cn-1,k-1染邊v0kv1k,其中k=1,2,…,m.因G01-M 為(m-1)-正則二部圖,所以可用C1-{c1,0}中的m-1種顏色對G01-M 進(jìn)行正常邊染色.

    容易看出,以上染色是G[hn]的一個mn-全染色,所以有χT(G[hn])≤mn.因此,定理結(jié)論成立.

    定理3 設(shè)G 為n 階輪,或扇,或星,其中n≥5.在hn=(Hi)i∈{0,1,…,n-1}中,|Hi|=m 對于i=0,1,…,n-1.若H0是m 階二部圖,且Δ(H0)≥2,則χT(G[hn])=Δ(H0)+(n-1)m+1.

    證明 設(shè) H0具有二分類(X,Y),且記Δ0=Δ(H0).顯然,χT(G[hn])≥Δ(G[hn])+1=Δ0+(n-1)m+1.與定理1的證明類似,我們僅需證明,當(dāng)G=Wn時,χT(G[hn])≤Δ0+(n-1)m+1.

    首先,對G(1)進(jìn)行正常全染色.因H0是具有最大度Δ0的二部圖,所以可用顏色a0染X中的每一頂點,用顏色a1染Y 中的每一頂點,并用Cn-1∪{c1,0}中其他Δ0種顏色對 H0進(jìn)行正常邊染色.用Ci-1∪{a2}中的m+1種顏色對Hi進(jìn)行正常全染色,使得Hi的所有頂點均不染顏色a2,其中i=1,2,…,n-1.

    顯然,在H0的全染色中,顏色a1在X的每一頂點上不表現(xiàn),顏色a0在Y的每一頂點上不表現(xiàn).

    其次,對G(2)進(jìn)行正常邊染色.取G01的一個完美匹配 M={v0kv1k|k=1,2,…,m}.若v0k∈X,則用顏色a1染色v0kv1k;若v0k∈Y,則用顏色a0染邊v0kv1k.并用C1-{c1,0}中的m-1種顏色對(m-1)-正則二部圖G01-M進(jìn)行正常邊染色.用Ci(下標(biāo)取模n-1)中m種顏色對m-正則二部圖G0i進(jìn)行正常邊染色,i=2,3,…,n-1.

    最后,對G(3)進(jìn)行正常邊染色,染色方法與定理1證明中的相同.

    容易看出,以上染色為G[hn]的一個(Δ0+(n-1)m+1)-正常全染色,故有χT(G[hn])≤Δ0+(n-1)m+1.因此,χT(G[hn])=Δ0+(n-1)m+1,即定理結(jié)論成立.

    定理4 設(shè)G 為n 階輪,或扇,或星,其中n≥5.在hn=(Hi)i∈{0,1,…,n-1}中,|Hi|=m 對于i=0,1,…,n-1.若H0為m 階圈,m≥3,則χT(G[hn])=(n-1)m+3.

    證明 當(dāng)m 為偶數(shù)時,H0為二部圈,所以H0為二部圖.由定理3,χT(G[hn])=(n-1)m+3.

    當(dāng)m 為奇數(shù)時,顯然,χT(G[hn])≥Δ(G[hn])+1=(n-1)m+3.與定理1的證明類似,我們僅需證明,當(dāng)G=Wn時,χT(G[hn])≤(n-1)m+3.

    首先,對G(1)進(jìn)行正常全染色.由引理1與引理2,用Ci-1中的m種顏色對Hi進(jìn)行正常全染色,其中i=1,2,…,n-1.因 H0為奇圈,所以可用Cn-1∪{c1,0}中的4種顏色對 H0進(jìn)行正常全染色,具體地,令

    顯然,在 H0的全染色中,顏色c1,0不在頂點v0,1,v0,m-1與v0,m上表現(xiàn),而在頂點v0,2,v0,3,…,v0,m-2上交替地缺少顏色a0與a1.

    其次,對G(2)進(jìn)行正常邊染色.取G01的一個完美匹配M={v0kv1k|k=1,2,…,m},用頂點v0k上未表現(xiàn)的顏色染邊v0kv1k.并用C1-{c1,0}中的m-1種顏色對(m-1)-正則二部圖G01-M 進(jìn)行正常邊染色.用Ci(下標(biāo)取模n-1)中m種顏色對m-正則二部圖G0i進(jìn)行正常邊染色,i=2,3,…,n-1.

    最后,對G(3)進(jìn)行正常邊染色,染色方法與定理1證明中的相同.

    容易看出,以上染色為G[hn]的一個((n-1)m+3)-正常全染色,所以有χT(G[hn])≤(n-1)m+3.因此,χT(G[hn])=(n-1)m+3,即定理成立.

    [1]Bondy J A,Murty U S R.Graph Theory with Application[M].New York:American Elsevier,1976.

    [2]Waldemar Szumny,Iwona W?yoch,Andrzej W?och.On the Existence and on the Number of(k,l)-kernels in the Lexicographic Product of Graphs[J].Discrete Mathematics,2008,308:4616-4624.

    [3]Tian Shuang-liang.Star Total Colorings of Mycielski’s Graphs of Balanced General Join of Graph[J].Journal of Shandong University:Natural Science,2009,45(6):23-26,34.

    [4]田雙亮,陳萍.若干多重聯(lián)圖的邊染色[J].南開大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2007,40(3):27-30.

    [5]Behzad.Graphs and Their Chromatic Numbers[M].Doctoral Thesis,Michigan State University,1965.

    [6]Kostochka A V.The Total Coloring of Multigraph with Maximal Degree 4[J].Discrete Mathematics,1977,17:161-163.

    [7]Seoung M A.Total Chromatic Numbers[J].Appl Math Lett,1992,5:37-39.

    [8]Yap H P.Total Coloring of Graph[M].New York:Springer Verlag,1996.

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