素養(yǎng)為本的重組單元“承啟”課教學(xué)研究

摘要：在核心素養(yǎng)背景下，以“兩條直線的位置關(guān)系”教學(xué)為例，圍繞核心問題以邏輯推理為主線設(shè)計單元教學(xué)的第二課時——承啟課教學(xué)，探索在課時制的背景下如何行之有效地落實單元教學(xué)、發(fā)展學(xué)生思維.教學(xué)過程結(jié)合前期知識分析，用多種方法進(jìn)行演繹推理，最后運(yùn)用類比思想解決垂直關(guān)系的判定.

關(guān)鍵詞：承啟課；邏輯推理；兩條直線的位置關(guān)系

開展基于核心素養(yǎng)的教學(xué)，需要圍繞五大主線，把一些具有邏輯聯(lián)系的知識點放在一起進(jìn)行整體設(shè)計，這樣更有利于培育學(xué)生的核心素養(yǎng).主題教學(xué)是撬動課堂教學(xué)轉(zhuǎn)型的一個支點.主題單元是指對外相對獨立，對內(nèi)關(guān)聯(lián)性強(qiáng)、共同特征多，內(nèi)容相對完整的“教學(xué)單位”.從單元與教材的關(guān)系角度看，一類是不改變教材內(nèi)容結(jié)構(gòu)與編排，以單位為單元；另一類是以單元為單位，適當(dāng)調(diào)整教材的內(nèi)容結(jié)構(gòu)，強(qiáng)化內(nèi)容之間的邏輯關(guān)系.

單元教學(xué)的落地首當(dāng)其沖的是如何在課時制的背景下，進(jìn)行立足單元視野的課時設(shè)計.起始課作為知識單元教學(xué)的序曲，是展現(xiàn)單元整體思想的較好載體，已被不少研究者關(guān)注[1]，但如何在其余課時教學(xué)中體現(xiàn)主題思想，是大多數(shù)一線教師的困惑.

1 單元“承啟”課概念界定

基于學(xué)生最近發(fā)展區(qū)與發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)切實需要的教學(xué)目標(biāo)，根據(jù)課標(biāo)、教材、學(xué)情在結(jié)構(gòu)上的聯(lián)系性，進(jìn)行重新組合的單元第二課時——承啟課教學(xué).單元“承啟”課是指連接起始課并引起單元后續(xù)整體的課，它是整體單元知識的第二課時，又是整體單元的研究方法的起始課.承啟課是承上啟下的過渡課，承上是總結(jié)上節(jié)單元起始課的知識內(nèi)容，啟下就是引出方法，或概括下一步學(xué)習(xí)的內(nèi)容.承啟課在全單元中起關(guān)鍵性的過渡作用.

2 “兩條直線的位置關(guān)系”再設(shè)計的緣由

“兩條直線的位置關(guān)系”是比較經(jīng)典的單元承啟課素材，它位于直線知識單元的第二部分，在人教A版中位于選擇性必修第一冊“直線的方程”的第二節(jié)，是學(xué)習(xí)了斜率后的第二課時.而在人教B版、滬教版等教材中，該內(nèi)容位于“直線的方程”后.究其原因可能是用傾斜角、斜率判定兩條直線的位置關(guān)系貼近初中的平面幾何知識，而用方程判定有利于知識的完整性，并且在數(shù)學(xué)史上直線方程的確早于斜率[2].在高中的各種版本教材中，“兩條直線的位置關(guān)系”呈現(xiàn)的內(nèi)容和順序并不相同，但都是從初中平面幾何中的定性判定、定理證明，上升到高中解析幾何中的定量計算，是整體單元研究方法的起始課.筆者嘗試遵循人教B版的內(nèi)容結(jié)構(gòu)，重新整合進(jìn)行對比教學(xué)，研究單元承啟課教學(xué)實踐.

3 案例：兩條直線的位置關(guān)系

3.1 學(xué)習(xí)內(nèi)容分析

位置關(guān)系是幾何研究的一個重要方面，相交、平行是平面內(nèi)直線的兩種位置關(guān)系，其中垂直是相交的特殊情況.直線位置關(guān)系問題與向量、方程等知識緊密聯(lián)系，常用斜率、方程、向量等知識解決直線的位置關(guān)系問題.

3.2 學(xué)生認(rèn)知分析

初中階段，學(xué)生已掌握了“同位角相等，兩直線平行”等判定定理.在高中的主題單元中，學(xué)習(xí)了傾斜角、斜率，也具備用向量判定直線平行與垂直的知識，具備一定的利用代數(shù)方法研究幾何問題的能力.

3.3 學(xué)習(xí)環(huán)境分析

為了有效地突破學(xué)生的思維難點，通過充分討論，動手實踐，準(zhǔn)備直尺以便畫圖探究，有助于發(fā)現(xiàn)與理解.課堂上，需要利用幾何畫板動態(tài)演示相關(guān)要素的變化對直線位置的影響.

3.4 素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)設(shè)計

（1）經(jīng)歷直觀感知與操作，了解幾何判定的局限性，體會直觀到抽象的思維過程，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題；

（2）通過特殊直線位置關(guān)系的研究，體會從特殊到一般的思維過程，提升歸納推理能力；

（3）通過思辨論證、度量計算的過程，推導(dǎo)并掌握兩直線相交、平行、重合的充要條件，體會演繹推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，提升思維能力；

（4）通過類比平行關(guān)系的判定研究垂直關(guān)系，了解借助類比推理獲得新知識的過程，提升解決數(shù)學(xué)問題的能力.

3.5 單元承啟課的教學(xué)過程片段

（1）立足起始課，提出承啟課核心問題

回歸起始課：本單元我們已學(xué)習(xí)了哪些知識點？

師生共同回憶：直線的傾斜角、斜率、直線的方程.

提出新問題：立足直線的上述知識，思考平面內(nèi)兩條直線有哪些位置關(guān)系？

師生活動：學(xué)生猜測兩條直線平行或相交，教師與學(xué)生一起探討這兩種位置關(guān)系如何用代數(shù)的方法表示，從困惑中找到解決問題的方法.

核心問題：如何在起始課知識的基礎(chǔ)上，用代數(shù)方法判斷兩條直線的位置關(guān)系？

教學(xué)說明：立足起始課的知識，提出承啟課的教學(xué)任務(wù)，即如何用起始課的知識來解決問題，達(dá)到重組單元以培育邏輯推理的目的.

（2）立足原知識，探索新問題解決方法

引導(dǎo)語：根據(jù)已有的知識，有哪些方法可以判斷兩條直線平行？

師生活動：通過師生一起回憶，探討可以增加一條直線和兩條直線都相交，利用同位角的關(guān)系來判定；另一方面可以引入坐標(biāo)系，觀察直線的傾斜角，或通過計算直線的斜率來判定.

教學(xué)說明：在理解問題的基礎(chǔ)上，探索坐標(biāo)系引入的論證過程，有邏輯地表達(dá)與交流解決問題的策略，提升學(xué)習(xí)興趣.

子問題①：如果兩條直線的方程分別為2x－3y+5=0，4x－6y+1=0，那么這兩條直線是什么位置關(guān)系？你有哪些判定方法？

子問題②：為什么方程組無解，兩直線就沒有交點？

師生活動：師生共同歸納，一方面可從方程組解的個數(shù)來判斷直線的位置關(guān)系.即如果兩條直線的交點同時在這兩條直線上，那交點的坐標(biāo)必定同時符合這兩條直線的方程，是方程組的解；反之，兩條直線方程如果存在公共解，那么以公共解為坐標(biāo)的點就同時在這兩條直線上.另一方面，從傾斜角的角度判斷，即計算斜率，根據(jù)同位角相等判定兩直線平行.

教學(xué)說明：一方面從特殊到一般，學(xué)生較易從方程根的代數(shù)角度來考慮問題；另一方面提出任意兩條直線位置關(guān)系的判定，回歸到從幾何的角度來判斷也是學(xué)生常用的方式.通過理解數(shù)學(xué)命題，表述論證過程，有邏輯地表達(dá)與交流解決問題的策略，提升學(xué)生邏輯推理素養(yǎng).

（3）基于新問題，嘗試提出承啟課教學(xué)任務(wù)

師生活動：以小組為單位討論，推理歸納兩條直線平行的判定模型，并在課堂上由學(xué)生展示不同的研究方案.

方案①：考慮直線的傾斜角.若兩條直線的傾斜角相等，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，則可從斜率角度分類討論.

當(dāng)兩條直線都有斜率，有如下結(jié)論：

l1∥l2k1=k2，b1≠b2；

l1與l2重合k1=k2，b1=b2.

所以，可將直線的方程轉(zhuǎn)化為斜截式形式.

（i）若兩直線的斜率存在，則可將直線方程設(shè)為

y=k1x+b1，y=k2x+b2.

若k1≠k2，則兩直線相交；若k1=k2，b1≠b2，則兩直線平行；若k1=k2，b1=b2，則兩直線重合.

（ii）若兩直線只有一條有斜率，則這兩直線相交；若兩直線斜率都不存在，則這兩直線平行或重合.

方案②：用一般式，聯(lián)立方程組討論解的個數(shù).

設(shè)兩直線方程分別為

A1x+B1y+C1=0（A21+B21≠0），

A2x+B2y+C2=0（A22+B22≠0），

聯(lián)立

A1x+B1y+C1=0，

A2x+B2y+C2=0，①

②

由①×B2－②×B1，得

（A1B2－A2B1）x+C1B2－C2B1=0；

由①×A2－②×A1，得

（A2B1－A1B2）y+C1A2－C2A1=0.

結(jié)論：當(dāng)A1B2－A2B1≠0時，方程組有唯一解，兩直線相交；

當(dāng)A1B2－A2B1=0時，若C1B2－C2B1=0且C1A2－C2A1=0，方程組有無數(shù)解，兩直線重合；

當(dāng)A1B2－A2B1=0時，若C1B2－C2B1≠0或C1A2－C2A1≠0，方程組無解，兩直線平行.

方案③：可以用直線的方向向量，借助向量來判定.

設(shè)直線l1：A1x+B1y+C1=0的方向向量v1=（-B1，A1），直線l2：A2x+B2y+C2=0的方向向量v2=（-B2，A2）.若A1B2－A2B1=0，則v1∥v2，兩直線平行或重合；若A1B2－A2B1≠0，則v1與v2不平行，兩直線相交.

（4）基于新模型，培育探索新問題的能力

例題已知直線l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，求證：當(dāng)C1≠C2時，l1與l2平行.

變式若直線x+my+4m－1=0與直線（2m－1）x+m2y+3=0平行，求實數(shù)m的值.

拓展若直線l1：A1x+B1y+C1=0與直線l2：A2x+B2y+C2=0互相垂直，則方程的系數(shù)之間滿足什么條件？

師生活動：師生共同完成例題及變式，鞏固和拓展平行的判定結(jié)論.拓展問題由學(xué)生展示判定兩條直線垂直的思維過程.上述問題的解決在實踐中共需兩個課時，詳細(xì)過程和本文中研究兩條直線平行類似，這里不再贅述.

教學(xué)說明：通過類比推理，鞏固解決數(shù)學(xué)問題的邏輯推理步驟，提升學(xué)生后續(xù)研究問題的能力.

（5）回顧反思，理解主題單元的教學(xué)目的

（i）回顧反思：起始課的知識對于本節(jié)課有哪些幫助？對后續(xù)研究有哪些啟示？

（ii）課后拓展：平面幾何中還有哪些基本幾何圖形？制定直線與其他曲線的位置關(guān)系的研究策略.

教學(xué)說明：培養(yǎng)學(xué)生反思的意識和習(xí)慣，通過承啟課教學(xué)，提升學(xué)生使用新知識解決新問題的能力.

4 教學(xué)反思

4.1 圍繞主題組織教學(xué)，提升學(xué)生的思維能力

圍繞核心問題組織單元教學(xué)，教師要清楚知識的來龍去脈，準(zhǔn)確了解知識所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基本思想方法和思維方法.同時，應(yīng)準(zhǔn)確把握學(xué)生的實際情況，這樣教學(xué)才會有堅實的基礎(chǔ).例如，兩條直線的位置關(guān)系的教學(xué)，就需要清楚學(xué)生是學(xué)習(xí)了哪些知識點后開啟的承啟課教學(xué).

4.2 善于選擇類比歸納推理方式發(fā)展學(xué)生思維

針對數(shù)學(xué)問題的探索論證，不太可能把歸納推理、類比推理、演繹推理等形式截然分開.例如，在本文的承啟課教學(xué)中，從特殊直線開始，學(xué)生考慮的可能是方程組解的個數(shù)，但是歸納推理到任意兩條直線的位置關(guān)系，學(xué)生首先考慮的不是類比方程，而是選擇傾斜角和斜率.因此在知識的形成過程中，要善于選擇類比、歸納或演繹方式，以解決問題、提升思維為本.另外，在課后應(yīng)設(shè)計開放性的學(xué)習(xí)任務(wù)，讓學(xué)生類比課堂問題的解決方案，自己規(guī)劃解決問題的過程，從而真正提升思維能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]孫軍波.核心素養(yǎng)觀下的主題單元起始課教學(xué)實踐——以復(fù)數(shù)單元起始課為例[J].數(shù)學(xué)通報，2019（12）：3134.

[2]楊懿荔.“傾斜角與斜率”：重構(gòu)數(shù)學(xué)史，體會合理性[J].教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2016（6）：4651.