層層剖析，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力

摘要：教材習(xí)題不僅是檢測(cè)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)掌握情況的優(yōu)秀素材，而且還是教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行整合的好幫手.教學(xué)中，有目的地選擇典型習(xí)題，精心設(shè)計(jì)問題，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其層層剖析，能有效激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力，進(jìn)一步提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

關(guān)鍵詞：教材；習(xí)題；問題設(shè)計(jì)；創(chuàng)造力

常言道：“溫故而知新.”

常言道，溫故而知新.要幫助學(xué)生鞏固所學(xué)的知識(shí)，教師就要根據(jù)教學(xué)進(jìn)度，有目的地選擇教材中的典型習(xí)題，精心設(shè)計(jì)問題，把關(guān)系密切的知識(shí)聯(lián)系在一起，引導(dǎo)學(xué)生挖掘習(xí)題的內(nèi)涵，尋找解題的思路，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力，從而達(dá)到對(duì)知識(shí)的融會(huì)貫通.下面以人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)教材中一道拓廣探索題為例談?wù)勛约旱木唧w做法.

1 習(xí)題出處

人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第141頁第13題［1］.

比較下列各題中三個(gè)值的大?。?/p>

（1）log0.26，log0.36，log0.46；

（2）log23，log34，log45.

2 問題設(shè)計(jì)

問題1學(xué)完了對(duì)數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，請(qǐng)回顧一下我們講過的比較對(duì)數(shù)大小的方法有哪些？

設(shè)計(jì)意圖：通過師生、生生互動(dòng)，師生共同梳理對(duì)數(shù)大小比較的常用方法.

①若底數(shù)相同，真數(shù)不同，由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接判斷；

②若真數(shù)相同，底數(shù)不同，則可用圖象法或取倒數(shù)法比較；

③若底數(shù)和真數(shù)均不相同，常引入中間值來比較；

④綜合法：通過作差或作商比較大小.

問題2請(qǐng)敘述對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.

設(shè)計(jì)意圖：從對(duì)數(shù)大小比較的根基入手，夯實(shí)基礎(chǔ)，也為第（1）題的順利解答打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

當(dāng)a＞1時(shí)，y=logax在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y=logax在（0，+∞）上單調(diào)遞減.

問題3請(qǐng)敘述對(duì)數(shù)換底公式，并證明：

logab·logba=1;

logambn=nmlogab.

設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合具體題目，回顧即將要用到的核心知識(shí)點(diǎn).

問題4第（1）小題可以用哪些方法來證明？請(qǐng)大家分享一下自己的證明方法.

設(shè)計(jì)意圖：由易到難，激發(fā)學(xué)生展示自己獨(dú)立解決問題的能力.為師生共同破解第（2）小題做好鋪墊.

問題5與第（1）小題相比，第（2）小題是不是比較難？引入中間值運(yùn)算量似乎也比較大，大家在熟練運(yùn)用引入中間值的基礎(chǔ)上，也可以嘗試用均值不等式以及對(duì)數(shù)中的倒數(shù)關(guān)系來證明.

設(shè)計(jì)意圖：明知山有虎，偏向虎山行，在給學(xué)生指明前進(jìn)方向的基礎(chǔ)上，激勵(lì)學(xué)生樹立戰(zhàn)勝困難的信心.

3 解法展示

3.1 第（1）小題的解法

解法1：圖象法.

在同一平面直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)y=log0.2x，y=log0.3x，y=log0.4x的圖象和直線x=6，直線x=6分別和函數(shù)y=log0.2x，y=log0.3x，y=log0.4x圖象的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是log0.26，log0.36，log0.46的值.

由圖象可知，log0.26＞log0.36＞log0.46.

點(diǎn)評(píng)：解法1屬于常規(guī)解法，思路流暢，一氣呵成.

解法2：取倒數(shù)法.

由對(duì)數(shù)換底公式，得log0.26=1log60.2，log0.36=1log60.3，log0.46=1log60.4.

因?yàn)閥=log6x在（0，+∞）單調(diào)遞增，又0.2＜0.3＜0.4＜1，所以可得

log60.2＜log60.3＜log60.4＜log61=0.

又因?yàn)閥=1x在（－∞，0）單調(diào)遞減，所以

0＞1log60.2＞1log60.3＞1log60.4.

故log0.26＞log0.36＞log0.46.

點(diǎn)評(píng)：解法2條理清，邏輯強(qiáng)，說理透徹.

3.2 第（2）小題的解法

解法1：引入中間值法.

因?yàn)?＜log23＜2，1＜log34＜2，1＜log45＜2，所以引入中間值32.

因?yàn)閘og23=log49，32=32log22=log48，又log49gt;log48，所以log23＞32.

因?yàn)閘og34=log916，32=32log33=log927，又log916lt;log927，所以log34＜32.

因?yàn)閘og45=log1625，32=32log44=log1664，又log1625lt;log1664，所以log45＜32.

接下來，對(duì)log34和log45繼續(xù)引入中間值54.

因?yàn)閘og34=log81256，54=54log33=log81243，又log81256gt;log81243，所以log34＞54.

因?yàn)閘og45=log256625，54=54log44=log2561 024，又log256625lt;log2561 024，所以log45＜54.

故log34＞log45.

綜上，log23＞log34＞log45.

點(diǎn)評(píng)：解法1雖然運(yùn)算量有些大，但屬于常規(guī)解法，解題思路明晰，大多數(shù)同學(xué)采用的都是這種方法，效果很好.

解法2：作差法.

log23-log34=lg 3lg 2－lg 4lg 3=（lg 3）2－lg 2×lg 4lg 2×lg 3＞（lg 3）2－lg 2+lg 422lg 2×lg 3=（lg 3）2－lg 822lg 2×lg 3＞（lg 3）2－lg 922lg 2×lg 3=0.

所以，log23＞log34.

同理可得log34＞log45.

綜上，log23＞log34＞log45.

點(diǎn)評(píng)：解法2使用均值不等式進(jìn)行放縮，技巧性比較強(qiáng)，大多數(shù)學(xué)生想不到.該解法主要由老師進(jìn)行逐層剖析，幫助學(xué)生理解和消化.

解法3：綜合法.

因?yàn)閘og23+log32＞2，log34+log32=log38＜log39=2，所以log23+log32gt;log34+log32，所以log23＞log34.

又因?yàn)閘og34+log43＞2，log45+log43=log415＜log416=2，所以log34+log43gt;log45+log43，所以log34＞log45.

綜上，log23＞log34＞log45.

點(diǎn)評(píng)：解法3是由一位平時(shí)就愛鉆研數(shù)學(xué)的學(xué)生給出的，同樣是用到了均值不等式，但解題過程簡(jiǎn)單明了，有創(chuàng)新性，給人眼前一亮的感覺.這也是本節(jié)習(xí)題課最大的一個(gè)收獲.

4 變式訓(xùn)練

（1）〔雅禮中學(xué)2024屆高三月考（三）〕已知a=log32，b=ln 3ln 4，c=23，則a，b，c的大小關(guān)系是（）.

A.a＜b＜cB.a＜c＜b

C.c＜a＜bD.b＜a＜c

（2）若a=log23，b=log48，c=log58，則a，b，c的大小關(guān)系是（）.

A.a＞b＞cB.a＞c＞b

C.b＞a＞cD.c＞b＞a

（3）設(shè)a=log35，b=log45，c=2－12，則a，b，c的大小關(guān)系是（）.

A.c＜b＜aB.a＜c＜b

C.b＜c＜aD.b＜a＜c

（4）證明：logn+1n＜logn+2（n+1）（n∈N+）.

5 教學(xué)感悟

知識(shí)的內(nèi)化不是一朝一夕就可以完成的，而是要學(xué)一招，用一招，招招落地，循環(huán)地對(duì)學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行梳理和運(yùn)用.教師在上習(xí)題課時(shí)，一定要善于充分挖掘教材習(xí)題的使用價(jià)值，注重知識(shí)間的串聯(lián)性、關(guān)聯(lián)性和結(jié)構(gòu)性，精心設(shè)計(jì)出有針對(duì)性的問題，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)整理知識(shí)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，從而加深對(duì)知識(shí)的理解和鞏固.請(qǐng)相信，熟能生巧在學(xué)習(xí)中真的很管用.

參考文獻(xiàn)：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)（A版）[M].北京：人民教育出版社，2022：141.