新證完全非彈性碰撞機(jī)械能損失最大

摘" "要：一維碰撞時(shí)完全非彈性碰撞的機(jī)械能損失是最大的，給出構(gòu)造動(dòng)能圓和動(dòng)量線的幾何方法以及利用柯西不等式的代數(shù)方法這兩種全新的證明方法。

關(guān)鍵詞：動(dòng)能圓；動(dòng)量線；柯西不等式；完全非彈性碰撞

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A " " 文章編號(hào)：1003-6148（2025）2-0074-2

一維碰撞是高中物理重要的力學(xué)模型之一。碰撞中如果機(jī)械能守恒稱為彈性碰撞，如果機(jī)械能減少則為非彈性碰撞。當(dāng)兩物體碰后速度相同時(shí)，稱為完全非彈性碰撞，此時(shí)損失的機(jī)械能最大。為何完全非彈性碰撞損失的機(jī)械能最大呢？證明的方法有很多，如陳坤老師利用導(dǎo)數(shù)求解極值法，將兩體一維碰撞等效為物塊在凹槽中運(yùn)動(dòng)的等效模型法，利用大學(xué)物理柯尼希定理證明的推論法［１］；廖秀秀老師利用動(dòng)量守恒，配出動(dòng)量項(xiàng)的配項(xiàng)法，利用二次方程有解的判別式法［２］；王金聚老師利用基本不等式求解極值的不等式法［３］。針對(duì)這一問(wèn)題，下面給出兩種全新的證明方法。

１" " 幾何法

如圖１所示，質(zhì)量分別為ｍ１和ｍ２、半徑相同的兩個(gè)小球Ａ和Ｂ在同一光滑水平面上向右運(yùn)動(dòng)。Ａ、Ｂ的速度分別是ｖ１０ 和ｖ２０，且滿足ｖ１０＞ｖ２０。某時(shí)刻發(fā)生碰撞，碰后Ａ、Ｂ的速度分別是ｖ１和ｖ２。

設(shè)系統(tǒng)碰后的末動(dòng)能

Ｅ＝mv+mv（１）

令Ｅ＝x2+y2

其中，x=v，y=v

則系統(tǒng)的末動(dòng)量

p=mv+mv=x+y

因碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒，則p為常數(shù)，為此x、y之間滿足線性關(guān)系。作出y-x的函數(shù)圖像如圖２所示，稱此直線為動(dòng)量線，直線斜率kp=-。x，y滿足方程（１），則（x，y）在以（０，０）為圓心、半徑為的圓上，此圓稱為動(dòng)能圓，如圖２所示。

要使碰撞過(guò)程有解，則動(dòng)量線和動(dòng)能圓應(yīng)有交點(diǎn)。因碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒，動(dòng)量線的斜率和截距都唯一確定。碰后機(jī)械能損失最大，應(yīng)使得碰后動(dòng)能最小，即動(dòng)能圓半徑應(yīng)最小。當(dāng)動(dòng)能圓與動(dòng)量線相切時(shí)，動(dòng)能圓半徑最小。切點(diǎn)滿足

×k=-1

代入斜率計(jì)算可知，滿足v2=v1。

點(diǎn)評(píng) 此方法構(gòu)思巧妙，利用了解析幾何的方法，通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，作出“動(dòng)能圓”與“動(dòng)量線”，將抽象的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為形象直觀的幾何問(wèn)題，可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提升數(shù)理結(jié)合的素養(yǎng)。

２" " 代數(shù)法

上述的幾何方法雖能證明兩物體碰撞時(shí)完全非彈性碰撞機(jī)械能損失最大，但在處理多物體碰撞問(wèn)題時(shí)，利用此方法卻不易處理。下面給出利用柯西不等式的證明方法?？挛鞑坏仁饺缦拢?/p>

（a+a+…+a）（b+b+…+b）≥（ab+ab+…+ab）

當(dāng)==…=時(shí)，不等式取等號(hào)。

如圖３所示，有多個(gè)小球在同一光滑水平面上向右運(yùn)動(dòng)，某段時(shí)間內(nèi)，小球間發(fā)生相互碰撞。

利用柯西不等式可知，系統(tǒng)的末動(dòng)能、末動(dòng)量、總質(zhì)量滿足

（mv+mv+…+mv）（m+m+…+m）≥（mv+mv+…+mv）

系統(tǒng)碰后動(dòng)能的一半滿足

（mv+mv+…+mv）≥

p表示系統(tǒng)碰后的末動(dòng)量，滿足

p=m1v1+m2v2+…+mnvn

根據(jù)柯西不等式，當(dāng)==…=，即v=v=…=vn時(shí)，不等式取等號(hào)，碰后系統(tǒng)動(dòng)能最小，得證。

點(diǎn)評(píng)" 柯西不等式是高中數(shù)學(xué)要求學(xué)習(xí)的重要不等式。利用柯西不等式證明該物理問(wèn)題不僅簡(jiǎn)明快捷，而且可以讓學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與方法來(lái)表述物理概念，描述物理規(guī)律，解決物理問(wèn)題，對(duì)于提升科學(xué)思維和解決物理問(wèn)題的能力大有裨益。

３" " 結(jié)" 論

近年來(lái)，高考中不斷出現(xiàn)利用解析幾何、不等式解決物理問(wèn)題的試題，比如２０２１年浙江高考第２１題第３問(wèn)用到均值不等式，２０２２年重慶高考第１４題第２問(wèn)求解蟲(chóng)在ｘ軸上飛出的位置范圍用到解析幾何，２０２３年湖南高考第１５題第２問(wèn)求解小球的軌跡方程用到解析幾何。在平時(shí)的課堂教學(xué)中注意滲透解析幾何和不等式解決物理問(wèn)題這一想法，有利于提升學(xué)生的數(shù)理結(jié)合素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

［１］陳坤．巧證完全非彈性碰撞中系統(tǒng)動(dòng)能損失最大［Ｊ］．物理教師，２００９，３０（１）：１２．

［２］廖秀秀．完全非彈性碰撞機(jī)械能損失最大的四種推導(dǎo)方法［Ｊ］．中學(xué)物理教學(xué)參考，２０２３，５２（３５）：６２－６４．

［３］王金聚．為什么說(shuō)完全非彈性碰撞中損失的動(dòng)能最多？［Ｊ］．物理教學(xué)探討，２０１９，３７（３）：６３－６４．

（欄目編輯" " 蔣小平）