考慮最小尺寸約束的內(nèi)嵌可移動(dòng)壓電驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

摘要：為了使柔順機(jī)構(gòu)構(gòu)型與壓電驅(qū)動(dòng)分布同時(shí)達(dá)到最優(yōu)，并滿(mǎn)足工藝制造要求，提出考慮最小尺寸約束的內(nèi)嵌可移動(dòng)壓電驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法。采用獨(dú)立點(diǎn)密度插值模型描述主體結(jié)構(gòu)的材料分布，利用水平集函數(shù)表征任意形狀的內(nèi)嵌可移動(dòng)壓電驅(qū)動(dòng)器，通過(guò)結(jié)構(gòu)指示函數(shù)識(shí)別實(shí)體和空相材料，采用濾波閾值技術(shù)控制主體結(jié)構(gòu)的最小尺寸。同時(shí)建立非重疊約束以保證壓電驅(qū)動(dòng)器在優(yōu)化過(guò)程中不與設(shè)計(jì)域邊界發(fā)生重疊，并以柔順機(jī)構(gòu)的輸出位移最大化為目標(biāo)函數(shù)，建立獨(dú)立點(diǎn)密度插值水平集聯(lián)合拓?fù)鋬?yōu)化模型，利用移動(dòng)漸近線(xiàn)法求解拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題。數(shù)值算例證明所提方法可以有效地同時(shí)優(yōu)化主體結(jié)構(gòu)和壓電驅(qū)動(dòng)器的位置分布，并滿(mǎn)足最小尺寸要求。

關(guān)鍵詞：柔順機(jī)構(gòu)；拓?fù)鋬?yōu)化；壓電驅(qū)動(dòng)；最小尺寸約束；可移動(dòng)組件

中圖分類(lèi)號(hào)：TG156

Topology Optimization of Compliant Mechanisms with Embedded Movable Piezoelectric Actuator Considering Minimum Length Constraints

LIU Min^1，2 LU Feiyang1 ZHAN Jinqing^1，2* WU Jian1 ZHU Benliang3

1.School of Mechanotronics and Vehicle Engineering，East China Jiaotong University，Nanchang，330013

2.Key Laboratory of Conveyance and Equipment of Ministry of Education，East China JiaotongUniversity，Nanchang，330013

3.Guangdong Provincial Key Laboratory of Precision Equipment and Manufacturing Technique，South China University of Technology，Guangzhou，510641

Abstract： In order to optimize the configuration of the compliant mechanisms and the distribution of the piezoelectric actuators simultaneously and meet the manufacturing requirements， a topology optimization design method of the compliant mechanisms was proposed with embedded movable piezoelectric actuators considering the minimum length constraints. The independent point density interpolation model was used to describe the material distribution of the main structure， the level set function was used to characterize the embedded movable piezoelectric actuator of any shape， the structure indicator function was used to identify the solid and empty phase materials， and the filtering threshold technology was used to control the minimum length of the main structure. At the same time， non-overlapping constraints were established to ensure that the piezoelectric actuator did not overlap with the boundary of the design domains during the optimization processes. Maximizing the output displacement of the compliant mechanisms was used as the objective function， and a hybrid topological description model of independent point density interpolation and level set method was established. The method of moving asymptote（MMA） approach was used to solve topology optimization problems. Numerical examples demonstrate that the proposed method may effectively simultaneously optimize the main structure and the position distribution of the piezoelectric actuators， and meet the minimum length requirements.

Key words： compliant mechanism； topology optimization； piezoelectric actuator； minimum length constraint； movable component

0 引言

柔順機(jī)構(gòu)是一種通過(guò)自身材料的彈性形變來(lái)進(jìn)行力的傳遞或能量交換的新型機(jī)構(gòu)，具有高精度、無(wú)摩擦磨損、無(wú)需潤(rùn)滑、無(wú)滯后、易于加工且?guī)缀鯚o(wú)需組裝等優(yōu)點(diǎn)^［1-2］，在微納操作、微機(jī)電系統(tǒng)和精密定位等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用^［3-5］。柔順機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)方法主要有基于運(yùn)動(dòng)學(xué)方法和拓?fù)鋬?yōu)化方法^［6］。在設(shè)計(jì)柔順機(jī)構(gòu)時(shí)，采用拓?fù)鋬?yōu)化方法可以獲得機(jī)構(gòu)的最優(yōu)構(gòu)型，提高機(jī)構(gòu)的性能和穩(wěn)定性。近年來(lái)，研究人員對(duì)柔順機(jī)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行了大量的研究^［7-9］。EMMENDOERFER等^［10］基于應(yīng)力約束的水平集方法設(shè)計(jì)了柔順機(jī)構(gòu)，避免了柔順機(jī)構(gòu)產(chǎn)生類(lèi)鉸鏈。許潔等^［11］采用等幾何拓?fù)鋬?yōu)化方法設(shè)計(jì)的柔順機(jī)構(gòu)的輪廓具有較好的光滑性和連續(xù)性。何健等^［12］基于雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法，提出一種面向柔順機(jī)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)策略，通過(guò)調(diào)節(jié)加權(quán)系數(shù)能有效避免類(lèi)鉸鏈的產(chǎn)生。

在工程應(yīng)用中往往需要預(yù)留相應(yīng)空間安裝某些特殊功能模塊（如驅(qū)動(dòng)器、電容器、傳感器等）。為了更好地實(shí)現(xiàn)組件在主體結(jié)構(gòu)上的布局優(yōu)化，需要對(duì)多組件系統(tǒng)進(jìn)行一體化拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)^［13］。ZHU等^［14］提出了一種新的集成布局優(yōu)化方法，將可移動(dòng)組件嵌入設(shè)計(jì)域中與結(jié)構(gòu)優(yōu)化同步進(jìn)行，并采用有限元方法避免組件重疊。XIA等^［15］提出的超級(jí)單元公式（superelement formulation， SEF）方法極大地簡(jiǎn)化了組件位置變化設(shè)計(jì)變量的靈敏度分析。WANG等^［16］采用KS函數(shù)描述內(nèi)嵌幾何組件和孔洞的幾何形狀，實(shí)現(xiàn)了可移動(dòng)組件和內(nèi)嵌孔洞的同時(shí)優(yōu)化。

柔順機(jī)構(gòu)通常利用壓電材料作為驅(qū)動(dòng)，以獲得精密的運(yùn)動(dòng)，也可以看作一個(gè)多組件系統(tǒng)。然而，在傳統(tǒng)的柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)中，并未考慮實(shí)際的驅(qū)動(dòng)，僅僅是將驅(qū)動(dòng)模擬為一個(gè)固定的集中力。為了提高基于壓電驅(qū)動(dòng)的柔順機(jī)構(gòu)的性能，研究人員采用上述多組件系統(tǒng)一體化拓?fù)鋬?yōu)化方法對(duì)柔順機(jī)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)。YANG等^［17］以壓電驅(qū)動(dòng)的位置、電壓、機(jī)構(gòu)本體的偽密度作為三種設(shè)計(jì)變量，提出了壓電片驅(qū)動(dòng)的層壓復(fù)合柔順結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化方法，提高了整體變形精度。WANG等^［18］采用水平集函數(shù)描述壓電驅(qū)動(dòng)的邊界，用點(diǎn)密度插值法描述機(jī)構(gòu)本體的拓?fù)?，提出了壓電?qū)動(dòng)與柔順機(jī)構(gòu)本體構(gòu)型同時(shí)優(yōu)化的設(shè)計(jì)方法，提高了系統(tǒng)的全局驅(qū)動(dòng)性能。WANG等^［19］基于投影變換的移動(dòng)可變形組件法與參數(shù)化水平集法相結(jié)合的混合拓?fù)鋬?yōu)化方法設(shè)計(jì)了壓電驅(qū)動(dòng)嵌入式柔順機(jī)構(gòu)。

柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)容易出現(xiàn)類(lèi)鉸鏈現(xiàn)象，使得后續(xù)的加工難以實(shí)現(xiàn)，因此，有學(xué)者提出了采用單元節(jié)點(diǎn)密度插值的方法，通過(guò)控制影響域大小來(lái)實(shí)現(xiàn)尺寸約束。WANG等^［20］提出了一種基于節(jié)點(diǎn)設(shè)計(jì)變量的自適應(yīng)方法，提高了結(jié)構(gòu)邊界描述質(zhì)量。KANG等^［21］提出了一種基于節(jié)點(diǎn)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)變量點(diǎn)非本地密度插值策略，設(shè)計(jì)變量點(diǎn)可不與單元節(jié)點(diǎn)重合，可避免棋盤(pán)格現(xiàn)象及孤島效應(yīng)。GUEST等^［22］提出Heaviside投影法，以節(jié)點(diǎn)密度值作為設(shè)計(jì)變量，利用投影算子將密度場(chǎng)的節(jié)點(diǎn)值投影到單元空間，通過(guò)確定用于剛度插值的單元密度控制結(jié)構(gòu)最小尺寸。ZHOU等^［23］提出了幾何約束的最小尺寸控制方法，結(jié)合過(guò)濾閾值拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)，通過(guò)識(shí)別固相和空相材料實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)最小尺寸控制。但上述研究均只考慮單一固相材料的尺寸控制，實(shí)現(xiàn)內(nèi)嵌壓電驅(qū)動(dòng)的多相材料分布尺寸控制還未見(jiàn)報(bào)道。

本文提出一種考慮尺寸約束的內(nèi)嵌可移動(dòng)壓電驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法。采用獨(dú)立點(diǎn)密度插值方法^［18］及水平集方法混合拓?fù)涿枋瞿Ｐ蛠?lái)表征壓電驅(qū)動(dòng)器在優(yōu)化過(guò)程中位置和角度。最小尺寸則采用濾波閾值方法進(jìn)行控制，通過(guò)構(gòu)建結(jié)構(gòu)指示函數(shù)保證設(shè)計(jì)域內(nèi)任一點(diǎn)都能滿(mǎn)足相應(yīng)材料區(qū)域的最小尺寸約束。以固相材料和空相的最小尺寸、各壓電組件之間互不重疊以及不與設(shè)計(jì)域邊界發(fā)生干涉作為約束條件，將柔順機(jī)構(gòu)的輸出端位移最大化作為目標(biāo)函數(shù)，建立拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型，使用移動(dòng)漸近優(yōu)化算法對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行求解，利用多個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證所提方法的有效性。

1 內(nèi)嵌壓電驅(qū)動(dòng)的拓?fù)鋬?yōu)化

1.1 壓電驅(qū)動(dòng)器的拓?fù)涿枋?/p>

圖1所示為采用水平集表示的矩形壓電驅(qū)動(dòng)器（藍(lán)色矩形表示壓電驅(qū)動(dòng)器），其形狀邊界由水平集函數(shù)來(lái)定義表示：

Φ（x）gt;0，x∈Ω

Φ（x）=0，x∈Γ

Φ（x）lt;0，x∈D/（Ω∪Γ）（1）

式中：Ω=∪^NPi=1為所有壓電驅(qū)動(dòng)器在設(shè)計(jì)域內(nèi)所占的總區(qū)域；NP為所有壓電驅(qū)動(dòng)器的數(shù)量；Ωi為第i個(gè)壓電驅(qū)動(dòng)器所占的區(qū)域大??；Γ=∪^NPi=1為所有壓電驅(qū)動(dòng)器在設(shè)計(jì)域內(nèi)的邊界總和；Γi為第i個(gè)壓電驅(qū)動(dòng)器的邊界大小；D為設(shè)計(jì)域的區(qū)域。

水平集方法的使用可以保證壓電驅(qū)動(dòng)器的邊界在演化過(guò)程中的準(zhǔn)確和光滑表示，精確地捕捉壓電驅(qū)動(dòng)器在設(shè)計(jì)域內(nèi)的邊界移動(dòng)。由此也可以擴(kuò)展到表示任意復(fù)雜邊界形狀的壓電驅(qū)動(dòng)器。

對(duì)水平集函數(shù)Φ（x）引入虛擬時(shí)間t，Φ（x，t）表示某一固定時(shí)刻t的水平集函數(shù)分布。計(jì)算水平集函數(shù)對(duì)時(shí)間t的微分，通過(guò)求解一階偏微分Hamilton-Jacobi方程得到運(yùn)動(dòng)邊界的演化過(guò)程：

Φ（x，t）t－vn|Φ|=0（2）

式中：vn為法向速度，vn=v·n；v為壓電驅(qū)動(dòng)器的邊界上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度；n=－Φ/|Φ|為壓電驅(qū)動(dòng)器的邊界上各點(diǎn)的外法線(xiàn)方向。

對(duì)式（2）采用迎風(fēng)格式進(jìn)行求解。為了保持驅(qū)動(dòng)器的邊界精確穩(wěn)定，采用三階基本無(wú)振蕩（essentially non-oscillatory，ENO）近似格式。求解式（2）時(shí)，應(yīng)小心處理Courant-Friedrichs-Lewy（CFL）條件，以確保時(shí)間步長(zhǎng)足夠小，達(dá)到數(shù)值穩(wěn)定性。

水平集函數(shù)通常被選為符號(hào)距離函數(shù)，即從每個(gè)計(jì)算點(diǎn)到壓電驅(qū)動(dòng)器邊界的最短距離。為了保持水平集函數(shù)的形狀及有符號(hào)距離行為，通常需要通過(guò)求解下式來(lái)進(jìn)行重新初始化：

Φt+sgn（Φ0）（|Φ|－1）=0

Φ（x，t=0）=Φ0（x）（3）

式中：Φ0為初始化前的水平集函數(shù)。

1.2 主體結(jié)構(gòu)拓?fù)涿枋?/p>

采用非局部Shepard密度插值方法來(lái)描述承載壓電驅(qū)動(dòng)器的主體結(jié)構(gòu)。該方案可以避免點(diǎn)密度插值方法遇到的密度負(fù)值現(xiàn)象，同時(shí)得到具有嚴(yán)格物理意義上的密度場(chǎng)分布，即每一點(diǎn)均滿(mǎn)足［0-1］界限性。在設(shè)計(jì)域內(nèi)，所有單元節(jié)點(diǎn)的密度設(shè)計(jì)變量總數(shù)為N。其中任意一點(diǎn)x的密度值為

ρ（x）=∑i∈SxΘi（x）ρi（4）

Θi（x）=d（x－xi）∑j∈Sxd（x－xj）（5）

其中，ρi（i=1，2，…，N）為設(shè)計(jì)變量點(diǎn)的密度，d（x－xi）=‖x－xi‖2；集合Sx為點(diǎn)x影響域內(nèi)的所有設(shè)計(jì)變量點(diǎn)。點(diǎn)x的影響域是以x點(diǎn)為圓心、截?cái)喟霃綖镽x的圓形域，如圖2所示。

1.3 混合拓?fù)涿枋?/p>

結(jié)合上述壓電驅(qū)動(dòng)器的水平集描述模型和主體結(jié)構(gòu)的描述模型，可以得到壓電材料和主體結(jié)構(gòu)固相及空相的三相材料混合拓?fù)涿枋瞿Ｐ?。設(shè)計(jì)域內(nèi)任意一點(diǎn)x的材料彈性矩陣可表示為

D（x）=H（Φ）DP+（1－H（Φ））DH（6）

其中，H（·）為Heaviside函數(shù)；DP為壓電驅(qū)動(dòng)器的彈性剛度矩陣；DH為主體承載結(jié)構(gòu)的彈性剛度矩陣，與點(diǎn)x處的密度有關(guān)，表示為

DH=［ρ（x）］pD0（7）

式中：D0為主體承載結(jié)構(gòu)固相材料的剛度矩陣；p為懲罰因子，p=3。

2 拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題描述

2.1 壓電驅(qū)動(dòng)有限元分析

在線(xiàn)彈性變形的假設(shè)下，壓電材料的本構(gòu)方程表示為

σ=D∶ε－e·E

d=e∶ε+κ·E（8）

式中：σ、ε分別為結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和應(yīng)變張量；e、E、d和κ分別為壓電張量、電場(chǎng)強(qiáng)度向量、電位移向量和介電常數(shù)張量。

其中，E與電勢(shì)場(chǎng)φ的梯度有關(guān)，E=－φ。

為提高壓電驅(qū)動(dòng)器邊界區(qū)域單元位移場(chǎng)的計(jì)算精度，采用擴(kuò)展有限元方法（extended finite element method，X-FEM）對(duì)結(jié)構(gòu)的局部區(qū)域進(jìn)行加強(qiáng)處理。在X-FEM框架下，位移場(chǎng)插值表示為

uh（x）=∑i∈MNiui+∑i∈M^enNiΨai（9）

Ψ（x）=∑i∈M^enNi（x）|Φi|－|∑i∈M^enNi（x）Φi|（10）

式中：Ni為標(biāo)準(zhǔn)有限元形函數(shù)；ui為標(biāo)準(zhǔn)單元節(jié)點(diǎn)位移；ai為增強(qiáng)節(jié)點(diǎn)上的增強(qiáng)自由度；M、M^en為所有節(jié)點(diǎn)和增強(qiáng)節(jié)點(diǎn)的集合；Ψ為增強(qiáng)函數(shù)。

對(duì)于壓電材料，邊界與空相之間的位移插值形式表示為

uh（x）=∑i∈jNi（x）H（Φ（x））ui（11）

通過(guò)有限元離散，力電耦合平衡方程可以表示為

KuuKuφKφuKφφ Uφ = FQ （12）

Kuφ=KTφu

式中：Kuu、Kuφ、Kφφ分別為力學(xué)剛度矩陣、電力耦合矩陣和介電矩陣；U為節(jié)點(diǎn)位移向量（包含所有的節(jié)點(diǎn)位移ui和增強(qiáng)自由度ai）；矢量φ為節(jié)點(diǎn)電勢(shì)自由度；F、Q分別為施加的節(jié)點(diǎn)載荷和電荷向量。

假設(shè)在設(shè)計(jì)域厚度方向上施加均勻常數(shù)電場(chǎng)，如圖3所示。電勢(shì)沿厚度方向線(xiàn)性變化，因此壓電驅(qū)動(dòng)器內(nèi)任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度可以表示為E=（0，0，v^（e）/d）T，v^（e）表示外界施加的電壓，d表示壓電驅(qū)動(dòng)器的厚度。此時(shí)，壓電驅(qū)動(dòng)器只在主體承載結(jié)構(gòu)施加面內(nèi)載荷，發(fā)生面內(nèi)形變。

在外加電壓作用下， 力電耦合可解耦為力學(xué)問(wèn)題。因此，平衡方程可表示為

KuuU=FP+F（13）

式中：FP為壓電驅(qū)動(dòng)器在外加電壓下產(chǎn)生的壓電載荷；F為主體承載結(jié)構(gòu)外部施加的載荷。

對(duì)于沒(méi)有進(jìn)行增強(qiáng)的標(biāo)準(zhǔn)單元，其剛度矩陣可表示為

（Kuu）e=∫Ωe（B^stdu）TD（x）B^stdudΩ（14）

e∈J＼J^en

式中：B^stdu為標(biāo)準(zhǔn)單元的位移應(yīng)變矩陣；D為固相彈性材料的彈性矩陣；J為所有單元的集合；J^en為所有增強(qiáng)單元的集合。

式（13）中的壓電載荷可表示為

（FP）e=－（Kuu）eφe=（∫Ωe（B^stdu）TeTPH（Ψ）dΩ）Ee（15）

e∈J＼J^en

式中：eP為壓電矩陣。

增強(qiáng)單元e（e∈J）的單元?jiǎng)偠染仃嚤硎緸?/p>

（Kuu）e= K^ssuu K^seuu

K^esuu K^eeuu （16）

（K^ssuu）e=∫Ωe（B^stdu）TD（x）B^stdudΩ

（K^seuu）e=∫Ωe（B^stdu）TD（x）B^enudΩ=（K^esuu）e

（K^eeuu）e=∫Ωe（B^stdu）TD（x）B^enudΩ（17）

式中：B^enu為增強(qiáng)單元的位移應(yīng)變矩陣。

壓電載荷向量表示為

（FP）e=［F^stdP|F^enP］（18）

（F^stdP）=（∫Ωe（B^stdu）TeTPH（Ψ）dΩ）Ee

（F^enP）=（∫Ωe（B^enu）TeTPH（Ψ）dΩ）Ee（19）

2.2 幾何約束

在本文中，柔順機(jī)構(gòu)的最小尺寸控制主要通過(guò)濾波閾值拓?fù)浞椒▽?shí)現(xiàn)。利用設(shè)計(jì)變量ρ（0≤ρ≤1），濾波設(shè)計(jì)變量ρ～和投影設(shè)計(jì)變量ρ-作為基本計(jì)算框架，在η∈（ηd，ηe）（0lt;ηdlt;ηilt;ηelt;1）范圍內(nèi)的所有投影密度ρ-ηi具有相同的拓?fù)錁?gòu)型。

密度過(guò)濾通過(guò)相鄰設(shè)計(jì)變量點(diǎn)的密度ρi的加權(quán)平均，獲得過(guò)濾后的節(jié)點(diǎn)密度ρ～：

ρ～i=∑j∈Ziωj（xj）vjρj∑j∈Ziωj（xj）vj（20）

其中，Ζi為單元節(jié)點(diǎn)i的距離不超過(guò)最小過(guò)濾半徑Rmin的所有節(jié)點(diǎn)集合；xj為單元節(jié)點(diǎn)j的坐標(biāo)；ωj（xj）為權(quán)重函數(shù)，可表示為

ωj（xj）=1－|xi－xj|Rmin" |xi－xj|≤Rmin

0其他（21）

式中：xi為單元節(jié)點(diǎn)i的坐標(biāo)。

然后，采用Heaviside映射函數(shù)對(duì)過(guò)濾的單元節(jié)點(diǎn)密度場(chǎng)進(jìn)行映射，獲得其真實(shí)物理點(diǎn)密度ρ-i：

ρ-i=tanh（βηi）+tanh（β（ρ～i－ηi））tanh（βηi）+tanh（β（1－ηi））（22）

式中：ηi為閾值，取0.5；β為控制近似Heaviside映射函數(shù)近似程度的參數(shù)。

而主體承載結(jié)構(gòu)及空相若要實(shí)現(xiàn)最小尺寸控制，則需要滿(mǎn)足以下充分條件：

ρ～（x）≥ηe

x∈Ω1={x|ρ-ηi（x）=1 amp; ρ～=0} （23）

ρ～（x）≤ηd

x∈Ω2={x|ρ-ηi（x）=0 amp; ρ～=0} （24）

式中：Ω1為過(guò)濾密度ρ～i的固相閾值范圍；Ω2為過(guò)濾密度ρ～i的空相閾值范圍；ηe、ηd為閾值，分別取0.95和0.05；ρ～為過(guò)濾密度ρ～i的空間梯度。

固相拐點(diǎn)域Ω1和空相拐點(diǎn)域Ω2采用兩種結(jié)構(gòu)指示函數(shù)來(lái)表示：

Is=ρ-·exp（－c‖ρ～‖2）（25）

Iv=（1－ρ-）·exp（－c‖ρ～‖2）（26）

式中：上標(biāo)s和v分別表示固相和空相。

式（25）和式（26）中的指數(shù)項(xiàng)在ρ～=0時(shí)分別表明過(guò)濾場(chǎng)密度中的固相拐點(diǎn)域和空相拐點(diǎn)域，即當(dāng)Is=1時(shí)，表明設(shè)計(jì)變量點(diǎn)位于固相材料區(qū)域Ω1的內(nèi)部，當(dāng)Is=0時(shí)，表明設(shè)計(jì)變量點(diǎn)位于固相材料區(qū)域Ω1的外部。空相材料區(qū)域的指示函數(shù)Iv具有相同的規(guī)律。c為控制結(jié)構(gòu)指示函數(shù)值在ρ～≠0處衰減速率的參數(shù)，取值范圍為0～1。當(dāng)c取1時(shí)，所有物理密度場(chǎng)的固相區(qū)域?qū)⒈蛔R(shí)別為固相拐點(diǎn)區(qū)域，這將擴(kuò)大式（23）和式（24）所表示的固相和空相拐點(diǎn)區(qū)域，使得最小尺寸約束過(guò)于嚴(yán)格；當(dāng)c取值為非常接近0的很小數(shù)時(shí)，Is和Iv表示的區(qū)域Ω1和Ω2將比期望的區(qū)域更小甚至斷開(kāi)，這可能會(huì)導(dǎo)致最小尺寸控制的失效。本文c?。≧min）4，能夠準(zhǔn)確識(shí)別式（23）和式（24）所表示的固相和空相拐點(diǎn)區(qū)域。

基于式（25）和式（26）所表示的兩個(gè)結(jié)構(gòu)指示函數(shù)，為滿(mǎn)足式（23）和式（24）提出的滿(mǎn)足最小尺寸控制的兩個(gè)充分條件，提出關(guān)于固相和空相的兩個(gè)幾何約束：

gs=1n∑i∈NiIsi·（min（（ρ～i－ηe），0））2=0（27）

gv=1n∑i∈NiIsi·（min（（ηd－ρ～i），0））2=0（28）

式中：n為Zi集合內(nèi)的元素個(gè)數(shù)。

滿(mǎn)足以上兩個(gè)幾何約束條件，過(guò)濾密度大于閾值ηe的設(shè)計(jì)變量點(diǎn)位于拐點(diǎn)區(qū)域Ω1內(nèi)，過(guò)濾密度小于閾值ηd的設(shè)計(jì)變量點(diǎn)位于拐點(diǎn)區(qū)域Ω2內(nèi)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)固相和空相材料的最小尺寸控制。

但是，在實(shí)際應(yīng)用中由于非拐點(diǎn)區(qū)域的指示函數(shù)Is和Iv存在無(wú)限接近零而非零值，導(dǎo)致幾何約束函數(shù)gs和gv也為非零值，不能?chē)?yán)格滿(mǎn)足幾何約束等式，所以需要對(duì)幾何約束gs和gv進(jìn)行松弛處理：

gs≤τ（29）

gv≤τ（30）

式中：τ為一個(gè)極小正值來(lái)彌補(bǔ)數(shù)值誤差。

2.3 拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

圖4是內(nèi)嵌可移動(dòng)壓電驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)域示意圖，D表示設(shè)計(jì)域，ΓD表示設(shè)計(jì)域的固定邊界，Γ表示壓電驅(qū)動(dòng)器的邊界，在壓電驅(qū)動(dòng)器上施加恒定電壓Uin，在輸出端產(chǎn)生期望的輸出位移uout，采用輸出虛擬彈簧Kout來(lái)模擬工件剛度。

在恒定電壓作用下，以柔順機(jī)構(gòu)上指定點(diǎn)的輸出位移最大化為目標(biāo)函數(shù)，以機(jī)構(gòu)的體積比、非重疊約束、主體結(jié)構(gòu)固相和空相的最小尺寸作為約束條件，建立考慮尺寸約束的內(nèi)嵌可移動(dòng)壓電驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型：

Find ρi，αj（i=1，2，…，N;j=1，2，…，NP）

max J=uout

s.t. KuuU=FP+F

VH≤fvV0

Vδ≤V0－VP

gs≤τ

gv≤τ

0lt;ρ≤ρi≤1（31）

VH=∫Ωρ（x）dΩ" Vδ=∫Ω（1－H（Φ））dΩ

式中：ρi為主體結(jié)構(gòu)的點(diǎn)密度設(shè)計(jì)變量；αj為壓電驅(qū)動(dòng)器的虛擬速度設(shè)計(jì)變量（包括平移速度αxj、αyj和轉(zhuǎn)動(dòng)角速度αθj）；J為輸出位移；N、NP分別為單元節(jié)點(diǎn)密度設(shè)計(jì)變量和設(shè)計(jì)域內(nèi)可移動(dòng)壓電驅(qū)動(dòng)器的數(shù)量；VH為機(jī)構(gòu)整體的固相材料體積；Vδ為非壓電驅(qū)動(dòng)器區(qū)域的材料體積；V0為設(shè)計(jì)域的體積；VP為壓電驅(qū)動(dòng)器的體積。

3 靈敏度分析

3.1 點(diǎn)密度設(shè)計(jì)變量靈敏度分析

通過(guò)有限元離散，目標(biāo)函數(shù)可以改寫(xiě)為J=Tu，是規(guī)則化向量，只在指定輸出端所在節(jié)點(diǎn)取值為1，其余均為0。當(dāng)不施加相關(guān)外力時(shí)，目標(biāo)函數(shù)對(duì)點(diǎn)密度設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)為

Jρi=λTKρiu=∑Nee=1λTeKeρiue（32）

i=1，2，…，N

其中：Ne為設(shè)計(jì)域劃分的單元總數(shù)，伴隨向量λe可用求解伴隨方程表示：

T+λTK=0（33）

第e個(gè)單元?jiǎng)偠染仃噷?duì)第i個(gè)點(diǎn)密度設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)表示為

Keρi=∫Ωep（ρ（x））^p－1ρ（x）ρi（1－H（Φ））BTDBdΩ（34）

ρ（x）ρi=Θi" i∈Sx0iSx（35）

材料體積約束對(duì)第i個(gè)點(diǎn)密度設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)表示為

VHρi=∑Nee=1∫Ωeρ（x）ρidΩ（36）

另使

I^smi=（min（（ρ～i－ηe），0））2（37）

I^vmi=（min（（ηd－ρ～i），0））2（38）

則尺寸約束對(duì)點(diǎn)密度設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)可表示為

gsρi=1n（Isiρ-iρ-iρ～iI^smi+IsiI^smiρ～i）ρ～iρi（39）

gvρi=1n（Iviρ-iρ-iρ～iI^vmi+IviI^vmiρ～i）ρ～iρi（40）

由式（37）和式（38）可知，式（39）和式（40）中I^smi/ρ～i和I^vmi/ρ～i可表示為

I^smiρ～i=2min（（ρ～i－ηe），0）ηsiρ～i （41）

I^vmiρ～i=2min（（ηd－ρ～i），0）ηviρ～i（42）

ηsi=min（（ρ～i－ηe），0）（43）

ηvi=min（（ηd－ρ～i），0）（44）

令

Iexp=exp（－c‖ρ～‖2）（45）

對(duì)ρ-i求導(dǎo)可得

Iexpρ-i=2exp（－c‖ρ～‖2）·（－c）·

‖ρ～‖‖ρ～‖ρ-i（46）

由式（25）和式（26）可得Isi/ρ-i和Ivi/ρ-i：

Isiρ-i=（Iexp+ρ-Iexpρ-i）（47）

Iviρ-i=（－Iexp+（1－ρ-）Iexpρ-i）（48）

3.2 虛擬速度設(shè)計(jì)變量靈敏度分析

采用解析形狀靈敏度分析方法得到目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)關(guān)于虛擬速度設(shè)計(jì)變量的靈敏度分析。因?yàn)閴弘婒?qū)動(dòng)器也是設(shè)計(jì)域的一部分，所以在其移動(dòng)過(guò)程中會(huì)對(duì)設(shè)計(jì)域產(chǎn)生微小攝動(dòng)，其改變量可表示為

Ωst=（I+tθ）Ωs（49）

式中：θ為虛擬速度的攝動(dòng)向量。

目標(biāo)函數(shù)的方向?qū)?shù)定義在積分域變分零點(diǎn)處：

U′（Ω）（θi）=limt→0U（（I+tθ）（Ω））－U（Ω）t（50）

i=1，2，…，NP

因此，可得到目標(biāo)函數(shù)的形狀導(dǎo)數(shù)：

U′（Ω）（θi）=∫ΓPt［ε（λ）∶（DP－DH）∶ε（u）－

ε（λ）∶e·E］（θi·n）dΓ（51）

其中：θi（i=1，2，…，NP）為第i個(gè)壓電驅(qū)動(dòng)器的虛擬速度攝動(dòng)向量，可表示為

θi=Vi+ωi×r（52）

式中：Vi為第i個(gè)壓電驅(qū)動(dòng)器的虛擬平移速度向量；ωi為相對(duì)于旋轉(zhuǎn)中心的角速度；r為壓電驅(qū)動(dòng)器邊界到旋轉(zhuǎn)中心的距離向量。

非重疊約束的形狀靈敏度表示為

（Vδ）′（Ω）（θi）=∫ΓPt（1－H（Φ））（θi·n）dΓ（53）

通過(guò)鏈?zhǔn)椒▌t，目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)對(duì)虛擬速度變量的導(dǎo)數(shù)可分別表示為

Jαij=Jθi·θiαij" Vδαij=Vδθi·θiαij（54）

i=1，2，…，NP" j=1，2，3

其中：θi/αij可由式（40）求偏導(dǎo)數(shù)得到，而J/θi和Vδ/θi可分別表示為

J′（Ω）（θi）=Jθi·θi" （Vδ（Ω））′（θi）=Vδθi·θi（55）

移動(dòng)漸近線(xiàn)算法（method of moving asymptotes， MMA）穩(wěn)定性好，使用范圍廣，特別適用于多約束的復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題求解。本文采用MMA算法求解考慮最小尺寸控制的內(nèi)嵌可移動(dòng)壓電驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，流程圖見(jiàn)圖5。

4 數(shù)值算例

4.1 反向器

圖6所示為內(nèi)嵌可移動(dòng)壓電驅(qū)動(dòng)位移反向器的設(shè)計(jì)域、指定輸出端及固定邊界。反向器的設(shè)計(jì)域尺寸L×D設(shè)定為120 mm×160 mm，設(shè)計(jì)域的左端作為固定邊界條件，對(duì)內(nèi)嵌可移動(dòng)壓電驅(qū)動(dòng)組件施加恒定電壓，指定設(shè)計(jì)域右邊中點(diǎn)為目標(biāo)輸出點(diǎn)。定義主體承載部分實(shí)體材料的彈性模量E1為70 GPa，泊松比μ1為0.32，壓電驅(qū)動(dòng)組件材料的彈性模量E2為74 GPa，泊松比μ2為0.35，電位移為-9.3 C/m2。同時(shí)設(shè)定施加的恒定電壓為5 kV，懲罰因子p選為3，主體承載部分及壓電驅(qū)動(dòng)組件的厚度均為1 mm，輸出彈簧剛度Kout設(shè)為1500 N/m。因?yàn)閴弘娊M件在此設(shè)計(jì)域中對(duì)稱(chēng)分布，所以設(shè)計(jì)域整體呈上下對(duì)稱(chēng)分布，為提高計(jì)算效率，僅選取設(shè)計(jì)域上半部分進(jìn)行有限元分析，并將其離散為80×120個(gè)四節(jié)點(diǎn)四邊形單元。算例中矩形壓電驅(qū)動(dòng)組件的初始形式均設(shè)置為轉(zhuǎn)動(dòng)角度為0，且長(zhǎng)、寬邊分別平行于x軸和y軸。當(dāng)連續(xù)兩個(gè)優(yōu)化迭代結(jié)果差值小于10^-3時(shí)，優(yōu)化過(guò)程停止。

為了驗(yàn)證最小尺寸控制在內(nèi)嵌可移動(dòng)壓電驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中的有效性，考慮在相同參數(shù)條件下，對(duì)比無(wú)尺寸約束及不同最小尺寸情況下的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果。設(shè)定壓電驅(qū)動(dòng)組件大小（l×d）為20 mm×10 mm，其中心初始位置為（20，25） mm，允許材料體積比為設(shè)計(jì)域的30%。首先選取Rmin=5作為最小尺寸控制參數(shù)，拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程如圖7所示。

圖7所示為內(nèi)嵌可移動(dòng)壓電驅(qū)動(dòng)反向器在不同迭代步數(shù)下的整體構(gòu)型變化。圖7a表示可移動(dòng)壓電驅(qū)動(dòng)組件在優(yōu)化開(kāi)始前的初始狀態(tài)，圖7b表示第15次迭代后可移動(dòng)壓電驅(qū)動(dòng)器組件位置發(fā)生明顯變化，前15步對(duì)可移動(dòng)設(shè)置較大的移動(dòng)速度，可以盡快到達(dá)最佳位置附近，圖7c表示第17步開(kāi)始形成主體承載構(gòu)型，圖7d表示內(nèi)嵌可移動(dòng)壓電驅(qū)動(dòng)反向器的第45步迭代，可觀(guān)察到初始構(gòu)型已基本形成，但存在類(lèi)鉸鏈連接，且還存在較多中間灰度單元。圖7e表示第55步迭代，此后將可移動(dòng)壓電驅(qū)動(dòng)組件在機(jī)構(gòu)內(nèi)的位置固定，后續(xù)引入兩相尺寸約束，期望實(shí)現(xiàn)非壓電驅(qū)動(dòng)組件區(qū)域的材料最小尺寸控制。圖7f是壓電驅(qū)動(dòng)反向器最終拓?fù)錁?gòu)型圖，可明顯觀(guān)察到固相及空相材料均滿(mǎn)足目標(biāo)最小尺寸控制，相較于圖7e具有明顯改善效果，同時(shí)主體承載部分形成相同大小的孔洞以滿(mǎn)足空相區(qū)域最小尺寸控制。

圖8所示為目標(biāo)函數(shù)及體積分?jǐn)?shù)隨迭代步數(shù)的變化曲線(xiàn)，目標(biāo)函數(shù)曲線(xiàn)由于在第55步迭代引入尺寸約束出現(xiàn)部分振蕩，最終在機(jī)構(gòu)構(gòu)型穩(wěn)定后逐漸趨近平穩(wěn)，最終收斂至-0.213 mm。

允許體積上限為0.3、0.4時(shí)，無(wú)尺寸約束及尺寸控制參數(shù)Rmin分別為3、4、5時(shí)的拓?fù)錁?gòu)型圖見(jiàn)圖9，可明顯觀(guān)察到施加尺寸約束的機(jī)構(gòu)最終構(gòu)型相較于無(wú)尺寸約束的情況，主體承載結(jié)構(gòu)部分所存在的類(lèi)鉸鏈情況得到解決，且實(shí)相區(qū)域的最小連接處均滿(mǎn)足相應(yīng)的目標(biāo)最小尺寸控制，同時(shí)其內(nèi)部空相區(qū)域也滿(mǎn)足相應(yīng)的最小尺寸控制，驗(yàn)證了所提方法的有效性。

4.2 夾持器

圖10所示為內(nèi)嵌可移動(dòng)壓電驅(qū)動(dòng)夾持器的設(shè)計(jì)域、指定輸出端及固定邊界。夾持器同反向器一樣，都具有對(duì)稱(chēng)性，故也取其上半部分進(jìn)行設(shè)計(jì)，將設(shè)計(jì)域離散為120×80個(gè)四節(jié)點(diǎn)單元?？梢苿?dòng)矩形壓電組件初始放置角度同位移反向器相同布置，僅初始位置不同。設(shè)定壓電驅(qū)動(dòng)組件大小（l×d）為20 mm×10 mm，其中心初始位置為（20，25） mm。

對(duì)比允許材料體積分?jǐn)?shù)為0.3、0.4的情況下，無(wú)尺寸約束以及施加不同最小尺寸的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖11a～圖11f所示。從圖11a中可明顯發(fā)現(xiàn)在體積分?jǐn)?shù)為0.3、不施加尺寸約束的工況下，存在單節(jié)點(diǎn)連接情況和孤島效應(yīng)；而圖11b中，在體積分?jǐn)?shù)為0.4、不施加尺寸約束的工況下，存在相當(dāng)多的中間密度單元，構(gòu)型邊界不清晰。圖11c～圖11f表示體積分?jǐn)?shù)為0.3、0.4時(shí)施加不同最小尺寸約束的結(jié)果，尺寸控制參數(shù)Rmin分別設(shè)置為3、4、5，在施加尺寸約束后所得到的構(gòu)型中，空相及實(shí)相部分的最小尺寸均滿(mǎn)足相應(yīng)的控制參數(shù)大小。從圖11c、圖11e和圖11g的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果中可以看出，三個(gè)不同尺寸控制參數(shù)下拓?fù)錁?gòu)型相似，其內(nèi)嵌可移動(dòng)壓電驅(qū)動(dòng)的位置也大致相同，主體承載結(jié)構(gòu)的最短連接處隨著尺寸控制參數(shù)的增大而增大，滿(mǎn)足目標(biāo)要求，而主體承載結(jié)構(gòu)內(nèi)存在的孔洞則隨著尺寸控制參數(shù)的增大而發(fā)生融合，進(jìn)而滿(mǎn)足空相部分的最小尺寸控制。圖11d、圖11f和圖11h是體積分?jǐn)?shù)為0.4、不同尺寸控制參數(shù)下的結(jié)果。在尺寸控制參數(shù)為3的工況下，夾持器的最短連接處符合目標(biāo)控制大小，其內(nèi)部存在孔洞也同樣滿(mǎn)足。在圖11f和圖11h中可明顯觀(guān)察到，由于尺寸控制參數(shù)的增大，主體承載結(jié)構(gòu)內(nèi)部空相部分消失，且最短連接處同樣隨著尺寸控制參數(shù)的增大而增大，符合目標(biāo)最小尺寸期望。

5 結(jié)語(yǔ)

本文方法可以準(zhǔn)確地描述壓電驅(qū)動(dòng)組件在規(guī)定設(shè)計(jì)域內(nèi)的形狀、運(yùn)動(dòng)速度和方向，解決了內(nèi)嵌可移動(dòng)壓電驅(qū)動(dòng)組件和柔順機(jī)構(gòu)同時(shí)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。通過(guò)引入結(jié)構(gòu)指示函數(shù)，分別構(gòu)建固相材料和空相材料的拐點(diǎn)域，由此來(lái)控制結(jié)構(gòu)中的實(shí)相區(qū)域和空相區(qū)域的最小尺寸，滿(mǎn)足了柔順機(jī)構(gòu)的可加工最小尺寸要求。通過(guò)兩個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證了所提方法的有效性。未來(lái)可以將所提方法應(yīng)用在實(shí)際工件加工制造中，精準(zhǔn)面向工件需求，從而大幅提高加工效率，減少加工成本。

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（編輯 陳 勇）

作者簡(jiǎn)介：劉 敏，男，1990年生，副教授。研究方向?yàn)槿犴槞C(jī)構(gòu)、微納操作、拓?fù)鋬?yōu)化等。E-mail：lmin2016@foxmail.com。

占金青*（通信作者），男，1979年生，教授、博士研究生導(dǎo)師。研究方向?yàn)槿犴槞C(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。E-mail：zhan_jq@126.com。

本文引用格式：劉敏，盧飛揚(yáng)，占金青，等.考慮最小尺寸約束的內(nèi)嵌可移動(dòng)壓電驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)［J］. 中國(guó)機(jī)械工程，2025，36（2）：255-264.

LIU Min， LU Feiyang， ZHAN Jinqing， et al. Topology Optimization of Compliant Mechanisms with Embedded Movable Piezoelectric Actuator Considering Minimum Length Constraints［J］. China Mechanical Engineering， 2025， 36（2）：255-264.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（52165002，52065019）；贛鄱俊才支持計(jì)劃——主要學(xué)科學(xué)術(shù)和技術(shù)帶頭人培養(yǎng)項(xiàng)目（20232BCJ23021）；江西省自然科學(xué)基金（20224BAB204041，20232BCJ25012，20242BAB26067）；中國(guó)博士后科學(xué)基金（2022M723189）；江西省教育廳科技項(xiàng)目（GJJ2200628）