山重水復探試題奧秘 柳暗花明顯創(chuàng)新思維

摘要：2024年高考數(shù)學天津卷第19題是一道數(shù)列大題，以等比數(shù)列為背景，通過遞推關系將等差數(shù)列融入其中，考查數(shù)列基本概念和公式，涉及與數(shù)列有關的數(shù)列通項、不等量關系證明、數(shù)列求和等問題，綜合考查學生解讀數(shù)學語言和分析數(shù)學問題的能力.

關鍵詞：數(shù)列求和；不等式證明；數(shù)學核心素養(yǎng)；創(chuàng)新思維

2024年高考數(shù)學天津卷第19題將等差、等比這兩種基本數(shù)列融為一體進行考查，試題設問層層遞進，呈現(xiàn)形式新穎，引導學生研究數(shù)列量與量之間的基本關系，綜合考查學生解讀數(shù)學語言和分析數(shù)學問題的能力.學生在解題時易有山重水復疑無路之感，需要靜心探索數(shù)列的特點和規(guī)律，發(fā)揮創(chuàng)新思維，才能走出困境，欣賞到柳暗花明又一村之美景.

1 題目呈現(xiàn)

已知數(shù)列{an}是公比大于0的等比數(shù)列，其前n項和為Sn.若a1=1，S2=a3－1.

（1）求數(shù)列{an}前n項和Sn；

（2）設bn=k，n=ak，bn－1+2k，aklt;nlt;ak+1，

b1=1，其中k是大于1的正整數(shù).

（ⅰ）當n=ak+1時，求證：bn－1≥ak＼5bn；

（ⅱ）求∑Sni=1bi.

2 試題解析

2.1 第（1）小題的解析

該問可以將已知項及前n項和的數(shù)量關系，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列基本量之間的關系，通過解方程組求得a1和q，再求和.在轉(zhuǎn)化S2時，

二維碼1

可以考慮用Sn的定義式，得到S2=a1+a2，還可以使用等比數(shù)列的前n項和公式得到a1與q的關系，但要注意分類討論公比q與1的大小關系，故而產(chǎn)生兩種不同的解題思路.（詳解見二維碼1）

2.2 第（2）小題中第（i）問的解析

由數(shù)列{bn}的定義，先求出當n=ak+1時bn的表達式.由（1）可知ak=2k－1，且k∈N*，k≥2.

在{bn}定義式中，當n=ak=2k－1時，bn=k，所以，當n=ak+1=2k時，bn=k+1.

關于bn－1表達方式的突破是這一問的難點所在.解題中需要明確這是一個插項問題，在哪兩項之間插項以及插入項的特征是需要深入考慮的.由于要證明的不等式中含有兩個變量，所以思考能否通過減元的方式將問題轉(zhuǎn)化為只含有一個變量的不等式的證明.由于bn，ak都可以用變量k表示，所以此時只要再求出bn－1如何用k表達，第（i）問即可突破.

思路一" 觀察法——列舉歸納

當抽象思維受到限制，不能很好地理解題目所給的遞推關系時，可以利用具象思維的優(yōu)勢，逐一列舉數(shù)列{bn}中的項（如表1），觀察其特點，尋找bn－1隨n的變化規(guī)律，歸納總結(jié)獲得bn－1.在列舉的過程中，根據(jù)列舉結(jié)果化簡形式的不同，又會得到以下不同的思路.

化簡整理，得到bn－1=（2k－1）k.

列舉法是從特殊到一般的思維方法，是形象思維和抽象思維的相互轉(zhuǎn)化.

根據(jù)數(shù)列{bn}的定義，當n=ak+1=2k時，bn=k+1，則aklt;n－1lt;ak+1，所以由遞推關系可得以下思路.

思路二" 定義法——通項公式

由已知可得bn－1=bn－2+2k，所以數(shù)列{bn}中的第ak項到第ak+1－1項（即第n－1項）構成公差為2k的等差數(shù)列，故有bn－1=bak+（n－1－ak）×2k，即bn－1=k+（2k－1－2k－1）×2k=（2k－1）k.

思路三" 迭代法——逐層轉(zhuǎn)化

根據(jù)遞推關系，知道bn－1可以向前層層迭代至確定項bak，最終轉(zhuǎn)化為與已知項bak有關的式子，進而求得bn－1.

依題意，bn－1=bn－2+2k=bn－3+2×2k=……

=bak+（n－1－ak）×2k.

所以bn－1=（2k－1）k.

思路四" 累加法——遞推化歸

根據(jù)遞推關系，通過累加法求得bn－1.

法1：依題意，得

bn－1－bn－2=2k，

bn－2－bn－3=2k，

…………

bak+1－bak=2k.

將以上2k－1－1個式子累加，

得

bn－1－bak=（2k－1－1）×2k.

所以bn－1=（2k－1）k.

法2：

由于已知n=2k，因此可以將遞推關系bn－1=bn－2+2k消元為僅含k的式子進行累加.

依題意有b2k－1－b2k－2=2k，

b2k－2－b2k－3=2k，

…………

b2k－1+1－b2k－1=2k.

將以上2k－1－1個式子累加，得

b2k－1－b2k－1=（2k－1－1）×2k.

所以bn－1=b2k－1=（2k－1）k.

通過前面的解答已經(jīng)用k表達出了bn和bn－1，所以不等式bn－1≥ak＼5bn可以轉(zhuǎn)化為只含有k的不等式.接下來可以用證明不等式常見方法“作差（商）法”完成證明，還可以考慮用分析法將目標不等式轉(zhuǎn)化為其他易證的形式.另外，

二維碼2

由于該不等式與數(shù)列知識相關，因此還可以考慮用數(shù)學歸納法予以證明.結(jié)合以上分析可得三種思路及不同證法的思維導圖，如圖1.（詳解見二維碼2）.

2.3 第（2）小題中第（ii）問的解析

由于數(shù)列{bn}結(jié)構復雜，因此考慮能否將其變形為特殊數(shù)列后再求和.結(jié)合前面的分析可知，數(shù)列{bn}分段成等差數(shù)列，所以首先想到的處理方式是利用等差數(shù)列求和公式對第ak項到第ak+1－1項先進行并項處理.

思路一" 分段并項

由（1）可知，Sn=2n－1=an+1－1.

由題意，知∑Sni=1bi=b1+（b2+b3）+（b4+……+b7）+……

+（b2n－1+……+b2n－1）

=∑nk=1（b2k－1+……+b2k－1）.

下求b2k－1+……+b2k－1.

法1：基本量公式求和.

從b2k－1到b2k－1共有2k－1項，則

∑2k－1i=2k－1bi=

k＼52k－1+2k－1（2k－1－1）2＼52k=k＼54k－1.

法2：首尾項公式求和.

每段的尾項為k+（2k－1－1）＼52k=k＼52k－k，則

∑2k－1i=2k－1bi=2k－1［k+（k＼52k－k）］2=k＼54k－1.

所以∑Sni=1bi=∑nk=1（k＼54k－1）.

思路二" 分組求和

若未發(fā)現(xiàn)數(shù)列{bn}分段成等差數(shù)列這一特點，則還可以利用分組求和進行變形處理.

∑Sni=1bi=b1+（b2+b3）+（b4+……+b7）+……

+（b2n－1+……+b2n－1）

=1+［2+（2+2×2）］

+［3+（3+2×3）+（3+4×3）+（3+6×3）］

+……+{n+（n+1×2n）+（n+2×2n）+……+［n+（2n－1－1）×2n］}

=（1×1+2×2+4×3+8×4+……+2n－1×n）+{1×（2×2）+（1+2+3）×（2×3）+……+［1+2+3+……+（2n－1－1）］×（2n）}

=∑nk=1（k＼52k－1）+∑nk=2［k＼5（4k－1－2k－1）］=∑nk=1（k＼54k－1）.

經(jīng)過以上兩個思路處理后，求數(shù)列{bn}的前Sn項和就等價于求差比數(shù)列{k＼54k－1}的前n項和，可以采取以下兩種解法.

解法1：錯位相減法.（略）

解法2：裂項相消法.

設k＼54k－1=［λ（k+1）+μ］＼54k－（λk+μ）＼54k－1

=［3λk+（4λ+3μ）］＼54k－1.

比較系數(shù)，得3λ=1，4λ+3μ=0.

解得λ=13，μ=－49.

故

k＼54k－1=13（k+1）－49＼54k－13k－49＼54k－1.

于是可得，

∑Sni=1bi=∑nk=1k＼54k－1

=∑nk=113（k+1）－49＼54k－13k－49＼54k－1

=－13×1－49＼540+13×（n+1）－49＼54n

=（3n－1）4n+19.

3 小結(jié)

問渠哪得清如許，為有源頭活水來.觀察天津市近幾年的高考題可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)列題的命題方式一脈相承，通常每題設置3個小問題.第（1）問均為等差（或等比）數(shù)列基本量的計算.第（2）（3）問的設問基礎是以新概念定義的方式給出一個新數(shù)列的遞推公式，考查學生解讀數(shù)學語言和分析數(shù)學問題的能力.在此基礎上第（2）問考查等量關系或不等量關系的證明，第（3）問考查數(shù)列求和問題.其中數(shù)列求和的考查形式也從以往單一的一種求和方法轉(zhuǎn)變?yōu)椴簧儆趦煞N求和方法的考查，并進一步進階為近三年考題中出現(xiàn)的先利用并項法對數(shù)列的項進行變形處理，然后再運用其他常見方法求和.其中并項這種處理方法在2016年、2019年的天津市高考題中都有出現(xiàn)，在2022-2024年這三年的出現(xiàn)其實可以看作老高考在新高考中的延續(xù).

2024年的高考第19題的命題方式延續(xù)了天津市以往“低起點、高觀點”的命題風格，在考查數(shù)列“四基”的同時，考查了學生對具有抽象性、簡潔性等特點的數(shù)學語言的理解能力，綜合考查了學生數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算等學科核心素養(yǎng)［1］.其目的在于鼓勵教學注重培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和探索精神，對打破固化僵化的復習模式、破除備考中的單純套路訓練和“機械刷題”現(xiàn)象具有積極的影響，有助于引導教師在教學中把握數(shù)學本質(zhì)，回歸課本，有利于促進學生關鍵能力與數(shù)學核心素養(yǎng)的提升［2］.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］章建躍.核心素養(yǎng)立意的高中數(shù)學課程教材教法研究［M］.上海：華東師范大學出版社，2021.