簡化的軸壓砌體隨機(jī)損傷本構(gòu)關(guān)系研究

摘 要：【目的】砌體是土木工程的主要材料之一，其受壓本構(gòu)關(guān)系是砌體結(jié)構(gòu)分析中的基本物理方程，而砌體本構(gòu)關(guān)系存在顯著的離散性，有必要建立能反映此特征且計算簡便的本構(gòu)關(guān)系?！痉椒ā炕谳S心受壓砌體破損機(jī)制和細(xì)觀單元損傷模型，建立軸壓砌體彈塑性本構(gòu)關(guān)系，通過引入細(xì)觀單元破壞應(yīng)變的隨機(jī)場，從離散型和連續(xù)型兩個維度推導(dǎo)損傷和應(yīng)力的均值及標(biāo)準(zhǔn)差表達(dá)式，并以此做進(jìn)一步分析和簡化。【結(jié)果】建立了基于材料強(qiáng)度的參數(shù)確定方法，得到易于計算和應(yīng)用的本構(gòu)關(guān)系及其離散范圍，分析得出軸壓砌體隨機(jī)應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系，并利用已有的試驗(yàn)結(jié)果加以驗(yàn)證，二者吻合良好。【結(jié)論】簡化的軸心受壓砌體隨機(jī)損傷本構(gòu)關(guān)系可為砌體結(jié)構(gòu)分析提供參考。

關(guān)鍵詞：砌體；本構(gòu)關(guān)系；軸壓；隨機(jī)損傷

中圖分類號：TU362" " " 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A" " 文章編號：1003-5168（2025）01-0069-04

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2025.01.013

Research on Simplified Random Damage Constitutive Relationship of Axially Loaded Masonry

ZHENG Yanfang1 GAO Hui2 FAN Jun3

（1.Henan Provincial Construction Engineering Fire Technology Center， Zhengzhou 450000， China; 2.Henan Tonghui Road and Bridge Engineering Co.， Ltd.， Zhengzhou 452470， China; 3.Henan Provincial Construction Science and Technology and Talent Development Center， Zhengzhou 450000， China）

Abstract： [Purposes] Masonry is one of the main materials in civil engineering， and its compressive constitutive relation is the basic physical equation in the analysis of masonry structure，and since there is a significant discreteness in the constitutive relationship of masonry， it is necessary to establish a constitutive relationship that can reflect this feature and is easy to calculate. [Methods] Based on the damage mechanism of axial compression masonry and the damage model of" microscopic unit， the elastoplastic constitutive relation of axial compression masonry was established， the mean and standard deviation expressions of damage and stress are derived from the discrete and continuous dimensions， and are further analyzed and simplified. [Findings] The method of determining the parameters based on the material strength was established， and the constitutive relation and its discrete range were obtained， which were easy to be calculated and applied， and the analysis of the random stress-strain relationship of axial compression masonry is verified by the existing test results， which are in good agreement with each other. [Conclusions] The simplified random damage constitutive relation of axial compression masonry can be used for reference in the analysis of masonry structure.

Keywords： masonry; constitutive relationship; axial compression; random damage

收稿日期：2024-07-29

基金項(xiàng)目：河南省基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究項(xiàng)目（112300410242）。

作者簡介：鄭艷芳（1974—），女，本科，高級會計師，研究方向：建筑經(jīng)濟(jì)與管理。

0 引言

砌體本構(gòu)關(guān)系是砌體結(jié)構(gòu)分析的基本物理關(guān)系，受到越來越多的研究者關(guān)注，楊衛(wèi)忠［1］、劉桂秋等［2］、董廣萍等［3］和牛力軍等［4］利用彈簧模型和力學(xué)理論研究了砌體的本構(gòu)關(guān)系，其彈塑性材料本構(gòu)關(guān)系可分為彈性損傷和彈塑性損傷兩類?；诓豢赡鏌崃W(xué)原理和隨機(jī)場理論建立起來的隨機(jī)損傷本構(gòu)關(guān)系，因其具有堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，同時又能描述材料的彈塑性、應(yīng)變強(qiáng)化和軟化、離散性等特征，已在砂漿［5］、混凝土［6］、砌體［7］等材料本構(gòu)關(guān)系的研究中得到諸多應(yīng)用。但是，計算和參數(shù)的確定復(fù)雜是已有隨機(jī)損傷本構(gòu)關(guān)系的弊端。因此，本研究以軸心受壓砌體的隨機(jī)損傷本構(gòu)關(guān)系模型為基礎(chǔ)，研究其模型參數(shù)的簡化確定方法及表達(dá)，為砌體隨機(jī)損傷本構(gòu)關(guān)系的推廣應(yīng)用提供依據(jù)。

1 軸壓砌體的隨機(jī)損傷本構(gòu)關(guān)系

1.1 細(xì)觀損傷模型

將軸心受壓砌體試件在細(xì)觀層次離散為若干個彈塑性元件串并聯(lián)組成的聯(lián)合體，分析其軸向應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系時可進(jìn)一步等效為細(xì)觀單元的并聯(lián)模型，如圖1所示［7］。 模型中的每個細(xì)觀單元通常假定為具有相同的截面面積和彈性模量，而破壞應(yīng)變則為服從某一分布的隨機(jī)變量。與已有的損傷型本構(gòu)關(guān)系一樣，模型中的每個單元體兩端通過剛性體相連，從而確保每個細(xì)觀受力單元體有相同的變形。因此，組成試件的總應(yīng)變[ε]由微彈簧的彈性應(yīng)變[εe]和微裂縫面上的塑性應(yīng)變[εn]組成，即[ε=εe+εn]。

1.2 損傷變量與隨機(jī)本構(gòu)關(guān)系

采用經(jīng)典損傷力學(xué)來定義損傷變量D，即式（1）。

[D=ADA]" （1）

式中：[AD]是模型中的細(xì)觀單元體破壞而引起砌體退出工作的面積；A則是無損傷砌體試件的受力截面面積。

若圖1模型中的細(xì)觀單元總數(shù)目記為N，根據(jù)式（1）的定義，則可導(dǎo)出為式（2）。

[D=1Ni=1NH（εe-Δi）]" "（2）

式中：[Δi]為第i個細(xì)觀單元發(fā)生破壞時的彈性應(yīng)變；[H（?）]為Heaviside 函數(shù)，即式（3）。

[H（εe-Δi）=0，εe≤Δi1，εegt;Δi]" " "（3）

由于[Δi]具有隨機(jī)場的性質(zhì)，所以損傷變量[D]就為隨機(jī)變量。

用[Em]來表示細(xì)觀單元體的彈性模量，細(xì)觀單元的應(yīng)力即為彈性模量與其彈性之乘積。由于宏觀砌體試件在軸心受壓可比擬為圖1所示的細(xì)觀物理模型，易于利用力學(xué)原理中的平衡條件來建立本構(gòu)關(guān)系模型。在這里，此條件可表述為外加在砌體試件上的宏觀壓力必須等于細(xì)觀模型中所有未破壞的單元體內(nèi)合力的總和。利用損傷的定義，再結(jié)合上述每個單元體的彈性應(yīng)變和彈性模量均相同，得到試件的宏觀應(yīng)力，見式（4）。

[σ=i=1NEmεe1-H（εe-Δi）AiA]" "（4）

利用式（1）和式（2）的結(jié)果，式（4）即可變換為式（5）。

[σ=Emεe（1-D）]" " " "（5）

因此，式（5）即軸壓砌體的隨機(jī)本構(gòu)關(guān)系。當(dāng)不考慮砌體受壓時微裂縫面的變形時，此式就是早期的彈性隨機(jī)損傷本構(gòu)關(guān)系。若不考慮損傷變量的隨機(jī)性，即為一般意義上的確定性本構(gòu)關(guān)系。

2 損傷和應(yīng)力的均值與方差分析

2.1 損傷的均值與方差

本研究假定模型中的破壞應(yīng)變[Δi]是一個各向同性、服從對數(shù)正態(tài)分布均勻隨機(jī)場，其數(shù)學(xué)期望與標(biāo)準(zhǔn)差分別為[μΔ]與[σΔ]。選擇對數(shù)正態(tài)分布均勻隨機(jī)場主要是為了滿足計算中的極限應(yīng)變應(yīng)為非負(fù)的要求［7］。進(jìn)一步利用概率理論中的隨機(jī)變量均值和方差的定義，即可得到損傷變量的均值，見式（6）。

[μD=ED=E[1Ni=1NH（εe-Δi）]=1Ni=1NE[H（εe-Δi）]=FΔ]" "（6）

式中：[FΔ=ProbΔilt;εe]為第i個單元體的破壞極限應(yīng)變的一維概率分布函數(shù)。損傷變量的方差則為式（7）。

[V2D=ED2-ED2=1NFΔ+2γ=1N-1（1-γN）FΔΔ-F2Δ] （7）

式中：[FΔΔ=ProbΔk≤εe?Δj≤εe]為隨機(jī)變量[Δk]和[Δj]的聯(lián)合概率分布函數(shù)，其中[γ=k-j]。

當(dāng)單元體數(shù)目N趨于無窮大時，模型中的等效單元體就等價為一維的連續(xù)體，其破壞時的應(yīng)變可以假定為連續(xù)隨機(jī)場。本研究略去一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，直接給出損傷的均值和方差的表達(dá)式 ，分別為式（8）和式（9）。

[μD=0∞01Hεe-yfΔy;xdxdy=FΔ]" " （8）

[V2D=2011-γFΔΔdγ-F2Δ]" "（9）

式中：[fΔy;x]為破壞應(yīng)變在位置[x]處的一維概率分布密度函數(shù)，不失一般性，[x]假定介于0和1之間。進(jìn)一步定義隨機(jī)場參數(shù)[λ]和[ζ]，分別見式（10）和式（11）。

[λ=ElnΔ（x）=lnμΔ1+σ2Δμ2Δ]" " （10）

[ζ2=VarlnΔ（x）=ln1+σ2Δμ2Δ]" "（11）

因此，[Z（x）=lnΔ（x）]就是一個服從正態(tài)分布的均勻隨機(jī)場，相應(yīng)地，數(shù)學(xué)期望與標(biāo)準(zhǔn)差分別是[λ]和[ζ]。進(jìn)一步假定該隨機(jī)場的相關(guān)性呈指數(shù)衰減［7］，其相關(guān)系數(shù)函數(shù)見式（12）。

[ρz=exp-ξγ]" " " " " "（12）

式中：[ξ]為相關(guān)參數(shù)。

上述分析表明，只要確定了隨機(jī)場參數(shù)[λ、ζ、ξ]，就可以確定一維概率分布函數(shù)[FΔ]和二維聯(lián)合概率分布函數(shù)[FΔΔ]，分別見式（13）和式（14）。

[FΔ=Φlnεe-λζ]" " " " "（13）

[FΔΔ=0εe0εe12πxyζ21-ρ2z?exp-12ζ21-ρ2z]

[lnx-λ2-2ρzlnx-λlny-λ]

+[lny-λ2][dxdy] （14）

式中：[Φ?]是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

2.2 應(yīng)力的均值與方差

由于細(xì)觀模型中的損傷變量[D]屬于隨機(jī)變量，將彈性模量也考慮為隨機(jī)變量，分別用[μE]和[V2E]來表示彈性模量的均值和方差，而且假定為彈性模量與損傷相互獨(dú)立。對式（4）的本構(gòu)關(guān)系式，利用概率論原理得出宏觀應(yīng)力屬于隨機(jī)變量的結(jié)論。相應(yīng)地，應(yīng)力的均值和方差就可通過對式（4）計算數(shù)學(xué)期望和方差得到，分別見式（15）和式（16）。

[μσ=Eσ=μEεe1-μD]" "（15）

[V2σ=Eσ2-Eσ2=ε2eV2E1-μD2][+V2Dμ2E+V2E]" （16）

當(dāng)隨機(jī)場中的任意兩個隨機(jī)變量統(tǒng)計獨(dú)立時，則聯(lián)合概率分布函數(shù)[FΔΔ]與[γ]無關(guān)，此時的[FΔΔ]等于一維概率分布函數(shù)[FΔ]的平方，相應(yīng)地，損傷方差即等于0。若不考慮彈性模量的變異性，應(yīng)力方差也變?yōu)?，上式則為確定性損傷本構(gòu)關(guān)系。

3 隨機(jī)損傷本構(gòu)關(guān)系的簡化

上節(jié)分析得到的隨機(jī)損傷本構(gòu)關(guān)系理論基礎(chǔ)堅(jiān)實(shí)，但是建立在彈性應(yīng)變的基礎(chǔ)上，且隨機(jī)場參數(shù)需要通過隨機(jī)建模等方法加以確定，也與傳統(tǒng)的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系式不同，有必要做進(jìn)一步分析和簡化，其核心是損傷均值和標(biāo)準(zhǔn)差的計算。

3.1 應(yīng)力均值計算

將均值層面上的軸壓砌體隨機(jī)應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系改寫為一般的損傷型表達(dá)式，見式（17）。

[σ=Emε1-D]" " （17）

通過對上述理論推導(dǎo)均值損傷進(jìn)行分析，可采用如下分式進(jìn)行簡化，即式（18）。

[D=1-χ1χ1+（1-χ1）ε/εpχ2]" （18）

式中：[εp]為應(yīng)力—應(yīng)變曲線峰值點(diǎn)處的應(yīng)變；[χ1、χ2]為待定系數(shù)，可利用曲線的原點(diǎn)和峰值點(diǎn)的兩個特征點(diǎn)條件來確定，即式（19）。

[χ1=fmEmεp]，[χ2=EmεpEmεp-fm]" "（19）

式中：[fm]為應(yīng)力—應(yīng)變曲線峰值點(diǎn)處的應(yīng)力，即為砌體軸心抗壓強(qiáng)度。

3.2 應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差計算

利用變異系數(shù)的定義，并引入[δσ=Vσμσ]和[δE=VEμE]，利用式（15）和（16），可得式（20）。

[δσ=δ2E+V2D1+δ2E1-μD2]" "（20）

通過對損傷方差的分析并利用高等數(shù)學(xué)中近似計算理論，式（20）可簡化為式（21）。

[δσ=δE+12-12D2ξD2]" "（21）

相應(yīng)的應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差即為式（22）。

[Vσ=δσEmε1-D]" " （22）

4 驗(yàn)證與分析

為了檢驗(yàn)上述推導(dǎo)和簡化分析的合理性，這里以曹文文［8］研究中的一組粉煤灰磚砌體軸心受壓試驗(yàn)結(jié)果作為例，本研究分析的彈性模量、峰值應(yīng)力及其對應(yīng)的應(yīng)變分別取用試驗(yàn)結(jié)果的平均值，即分別為1 008 MPa、3.60 MPa和4 700 με，而相關(guān)系數(shù)取153，彈性模量的變異系數(shù)取0.08。

利用上述分析得到的公式進(jìn)行軸心受壓砌體的隨機(jī)損傷本構(gòu)關(guān)系計算，可以得到簡化分析的應(yīng)力均值—應(yīng)變、應(yīng)力均值±1.645倍標(biāo)準(zhǔn)差和應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差—應(yīng)變的關(guān)系曲線，簡化分析結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的對比分別如圖2和圖3所示。

由圖2和圖3可知，采用簡化分析得到的軸心受壓砌體隨機(jī)損傷本構(gòu)關(guān)系無論是均值還是方差層面，均具有良好的一致性，可以較好地預(yù)測砌體受力試件的全過程應(yīng)力響應(yīng)。與傳統(tǒng)的確定性本構(gòu)關(guān)系相比，簡化的隨機(jī)損傷本構(gòu)關(guān)系也能夠較好地預(yù)測其離散性，試驗(yàn)值大多數(shù)在均值±1.645倍標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)。

5 結(jié)語

本研究在軸心受壓砌體的隨機(jī)損傷本構(gòu)關(guān)系的基礎(chǔ)上，結(jié)合損傷特征并對損傷和應(yīng)力的均值及標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行分析，建立簡便的計算方法，從而得到均值層面上的軸心受壓砌體應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系及其離散范圍，初步驗(yàn)證了本研究簡化方法的合理性。與已有通用有限元分析軟件相結(jié)合，不僅能得到砌體結(jié)構(gòu)均值層面上的應(yīng)力及變形，而且能預(yù)測其離散范圍，為結(jié)構(gòu)的精細(xì)化分析提供了新途徑。

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