GeoGebra軟件在中職數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用

【摘" 要】 GeoGebra軟件是一款動態(tài)幾何軟件，廣泛應(yīng)用于工業(yè)設(shè)計、圖紙設(shè)計、數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)建模等研究領(lǐng)域。文章以正弦函數(shù)的圖像教學(xué)為例，以其圖像制作課件為基礎(chǔ)，教師在教學(xué)準(zhǔn)備階段，利用GeoGebra課件輔助教學(xué)，從課件的原理介紹、制作過程、操作過程、課件說明和課件優(yōu)化四個方面加以細(xì)致的闡述，明確本軟件在中職數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的具體應(yīng)用方式，旨在提高中職數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的質(zhì)量和實際教學(xué)效果。

【關(guān)鍵詞】 GeoGebra軟件;中職數(shù)學(xué);正弦函數(shù)圖像

《中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在教學(xué)要求中提出，教師要主動適應(yīng)信息時代背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)方式，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，將信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程進(jìn)行深度融合，有效實施中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)課程的信息化教學(xué)?！督逃畔⒒?.0行動計劃》指出，要堅持信息技術(shù)與教育教學(xué)深度融合的核心理念。在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，信息技術(shù)與數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的有機(jī)融合能夠創(chuàng)設(shè)一種新型的教學(xué)環(huán)境，從而讓學(xué)生在教材知識的基礎(chǔ)上，主動學(xué)習(xí)知識，并且開展深層次的思考與探索。傳統(tǒng)的教學(xué)模式下，課堂教學(xué)主要以靜態(tài)形式呈現(xiàn)知識，如板書、PPT等，這些傳統(tǒng)方式在動態(tài)演示方面呈現(xiàn)不足。因此，創(chuàng)設(shè)動態(tài)化的教學(xué)情境尤為重要。GeoGebra作為動態(tài)幾何軟件，可以實現(xiàn)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂所無法實現(xiàn)的靈活的動態(tài)演示，更好地實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，實現(xiàn)對知識多元表征的呈現(xiàn)與連接利用。

一、GeoGebra輔助中職數(shù)學(xué)教學(xué)的原則

首先，主體性原則，指在借助GeoGebra軟件進(jìn)行輔助教學(xué)時，應(yīng)充分考慮學(xué)生的主體性原則，以教學(xué)目標(biāo)和內(nèi)容為參考，遵循學(xué)生的認(rèn)知和發(fā)展規(guī)律，確保學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中既能掌握數(shù)學(xué)知識，又能發(fā)展其數(shù)學(xué)思維。

其次，直觀性原則，鑒于中職學(xué)生抽象思維水平相對不足，在概念學(xué)習(xí)之前，應(yīng)通過圖片等形式呈現(xiàn)具體實例，并對實例進(jìn)行探究，引導(dǎo)學(xué)生自主歸納出所授的概念或原理，再進(jìn)一步進(jìn)入抽象的表述和研究階段。

再次，可操作性原則，指的是保證教學(xué)案例能被教師輕松移植，并使學(xué)生能夠積極參與其中的原則。在教學(xué)可視化過程中，應(yīng)在保證邏輯性和正確性的基礎(chǔ)上，充分考慮案例是否便于其他教師使用，以及是否易于被學(xué)生接受。

最后，探究性原則，根據(jù)教學(xué)目標(biāo)，合理運用GeoGebra軟件，在學(xué)習(xí)函數(shù)、立體幾何等知識點時，通過GeoGebra逐步推進(jìn)教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的知識探究過程。

二、利用GeoGebra軟件模擬沙漏單擺實驗

（一）課件原理

沙漏單擺實驗需要將一個沙漏掛在架子上，沙漏下方放置一塊紙板，紙板中間畫一條直線作為坐標(biāo)系的橫軸。將沙漏沿垂直于該直線方向拉離平衡位置，然后放手使之?dāng)[動，同時勻速拉動紙板，這樣可以在紙板上得到一條曲線。該實驗可以模擬為一個質(zhì)點在勻速平動參考系下的平面單擺運動。利用GeoGebra軟件的3D繪圖功能和復(fù)制自由對象指令，可以實現(xiàn)運動質(zhì)點在平面上的投影點的運動軌跡顯示。通過建立向量來模擬紙板的勻速運動，進(jìn)而繪制出質(zhì)點的運動軌跡圖像。

（二）課件制作

1. 建立相應(yīng)的參數(shù)

打開軟件的3D繪圖區(qū)，輸入相應(yīng)的參數(shù)，動畫滑動條，動畫的間隔設(shè)置為時間，重力加速度設(shè)置為g=9.8，擺線的長度設(shè)置為l=1，反應(yīng)粒子的個數(shù)n=0，平動參考系的速度v=0，單擺角速度w=0，單擺的初始角度設(shè)置為θ0=45°，按鈕布爾值bl=1，小球的懸掛點O=（0，0，1.1l），二維坐標(biāo)系下的小球為點A，三維坐標(biāo)系下的小球為點P=O+（x（A），0，y（A）），單擺的角加速度β=-gx（A）/l。建立小球擺動軌跡序列l(wèi)1={}，小球在平面的投影軌跡序列12={}。

2. 滑動條與按鈕制作

設(shè)置滑動條s顯示，在其GeoGebra腳本中寫入“賦值（w，w+β?dt），賦值（n，n+1），賦值（A，rotate（A，w?dt，O）），賦值（11，if（mod（n，2）==0，追加（11，復(fù)制自由對象（P）），11）），賦值（12，if（mod（n，2）==0，追加（12，復(fù)制自由對象（（x（P），0，0））），12）），賦值（12，12+（0，v?dt，0）），if（長度（12）gt;400，賦值（12，最后元素[12，400]）），if（長度（11）gt;40，賦值（11，最后元素[11，40]））”。

3. 按鈕制作

單擊“按鈕”工具，首先作出開始按鈕，在其GeoGebra腳本中寫入“bl=！bl，啟動動畫（s，bl），設(shè)置標(biāo)題（button1，如果（bl，\"stop\"，\"start\"））”，再作出重置按鈕，在其GeoGebra腳本中寫入“啟動動畫（s，1），bl=1，設(shè)置標(biāo)題（button1，\"start\"），設(shè)置活動視圖（-1），放大（1），賦值（A，（l;-90°+θ_0）），賦值（w，0），賦值（n，0），賦值（l1，{}），賦值（12，{}）”。

4. 框架和平動紙板制作

指令欄輸入“線段（O，P）”，用于制作單擺的擺線。輸入以下指令來建立邊框多邊形“q_1=多邊形（（-0.91，-0.07，0），（-0.91，0.07，0），（-0.91，0.07，1.11），（-0.91，-0.07， 1.11））”，“q_2=多邊形（（0.91，-0.07，0），（0.91，0.07，0），（0.9l，0.07，1.11），（0.9l，-0.07，1.11））”，“q_3=多邊形 （（-0.91，-0.07，1.11），（-0.91，0.07，1.11），（0.91，0.07，1.11），（0.91，-0.07，1.1l））”，用來建立邊框多邊形。指令欄輸入“向量（（0.8l，-0.1sgn（v）+余式（n，100）/100，0），（0.8l，0.1sgn（v）+v余式（n，100）/100，0））”用來模擬運動紙板，具體實驗?zāi)M繪圖見圖1。

（三）課件說明

設(shè)置點P和序列11顏色相同，更改點P點徑，突出小球。設(shè)置序列12顏色，凸顯小球在平面的投影。顯示序列11，12，顯示小球的運動軌跡和在平面的投影。線段OP表示擺線，隱藏點A、框架q1、q2、q3，框架及懸掛點的名稱設(shè)置為不顯示標(biāo)簽。單擊“start”，點P開始擺動，同時向量u作線性運動，平面內(nèi)顯示正弦曲線。單擊“stop”，點P停止擺動。點擊“reset”點P復(fù)位，且清除軌跡。

第4章第1節(jié)，教材中的沙漏單擺實驗，對中職學(xué)生而言，由于各方面條件限制，準(zhǔn)備實驗器材可能不太方便。另外，教師在課堂進(jìn)行演示實驗時，也會受到空間限制，導(dǎo)致學(xué)生對曲線形成的觀察效果不佳。就實驗本身而言，人為移動紙板無法保證紙板的勻速直線運動，而且紙板的版面有限，沙子成像不均勻，這些因素都可能導(dǎo)致正弦曲線軌跡在紙板上顯示不完全。而利用GeoGebra軟件模擬該實驗，不僅可以保證下方紙板的勻速直線運動，還可以展示在不同速度參考系下形成的正弦曲線，從而創(chuàng)設(shè)出形象生動的實驗情境。這樣的模擬實驗不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還加深了他們對正弦曲線的認(rèn)識，并有助于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（四）課件優(yōu)化

在模擬實驗中，小球可替換為沙漏造型，可用線段模擬沙子掉落的軌跡，建立地面框架模擬紙板，更符合中職學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，彌補(bǔ)學(xué)生空間想象能力的不足。

三、利用GeoGebra軟件創(chuàng)建正弦函數(shù)的圖像

（一）課件原理

在單位圓上，圓心角α終邊所對應(yīng)點的縱坐標(biāo)為該角的正弦值，利用GeoGebra軟件對某點的追蹤功能，容易實現(xiàn)正弦函數(shù)圖像的繪制，如圖1所示。

（二）課件制作

（1）選擇“圓”工具，建立圓心在原點的單位圓。選擇“描點”工具，建立起始點B（1，0）. 指令欄輸入“d=線段（B，O）”。

（2）在高級設(shè)置中修改角單位為弧度，選擇“滑動條”工具，建立角滑動條α，范圍為0到2π，在指令欄輸入“旋轉(zhuǎn)（d，α，O）”，選擇“角”工具，建立角BOB’。建立點A坐標(biāo)為（α，sin（α）），建立點B’和點A在x軸的垂足點E，F(xiàn)，同時創(chuàng)建線段B’E，AF，B’A，對點A開啟追蹤功能。

（3）選擇“按鈕”工具，在其GeoGebra腳本中寫入“bl=！bl，啟動動畫（α，bl），設(shè)置標(biāo)題（button1，如果（bl，\"stop\"，\"start\"））”，選擇“按鈕工具”，在其GeoGebra腳本中寫入“啟動動畫（α，1），bl=1，設(shè)置標(biāo)題（button1，\"start\"），設(shè)置活動視圖（-1），放大（1）”。

（三）課件說明

在課件操作過程中，不顯示點O，B，O’，B’，顯示點A，B’的名稱與數(shù)值，修改點A顏色和點徑。顯示將β的名稱寫為“α”，并且顯示名稱與數(shù)值，將點A的名稱寫為“A（α，sin（α））”，并且顯示名稱與數(shù)值，不顯示E，F(xiàn)，d’，e，f，g標(biāo)簽，修改e，f，g的顏色、線性、線徑。

單擊“start”，點A開始運動，繪制正弦函數(shù)圖像，點擊“stop”，點A停止運動，點擊“reset”清除圖像。

如果描點法作函數(shù)圖像不夠精確，學(xué)生也會產(chǎn)生疑問，為何要以平滑的曲線將特殊點連接起來。利用三角函數(shù)的單位圓定義法和GeoGebra軟件的動態(tài)演示功能，可以直觀地演示三角函數(shù)的圖像的形成過程，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和直觀現(xiàn)象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（四）課件優(yōu)化

根據(jù)單位圓與弧度公式知|α|=l，其中l(wèi)為α所對應(yīng)的弧長?？梢栽谡n件中顯示出點A的橫坐標(biāo)與弧長的等量關(guān)系，學(xué)生會更容易直觀觀察正弦函數(shù)圖像的形成。

四、結(jié)語

Geogebra軟件的動態(tài)顯示功能強(qiáng)大，比傳統(tǒng)教學(xué)手段更加直觀、精確，可以帶動中職數(shù)學(xué)教學(xué)方式向探究式轉(zhuǎn)變。本文通過在正弦函數(shù)的圖像課例中利用GeoGebra這一信息技術(shù)，充分展示數(shù)與形的結(jié)合，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)對象簡明化，將抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系具體化，實現(xiàn)抽象與具體之間的轉(zhuǎn)變。實踐證明，Geogebra環(huán)境下的可視化教學(xué)不僅能將圖像的形成過程進(jìn)行思維可視化，還可以秉持探究式的教學(xué)理念，激發(fā)學(xué)生的求知欲，實現(xiàn)以學(xué)生為中心的教新型學(xué)方式。Geogebra軟件的動態(tài)顯示功能強(qiáng)大，比傳統(tǒng)教學(xué)手段更加直觀、精確，在讓學(xué)生體會到知識的形成過程的同時，也培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。

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