有關圓錐曲線的焦半徑公式的證明與用法

圓錐曲線上任意一點到圓錐曲線焦點的距離叫做圓錐曲線的焦半徑.在解題時，我們經(jīng)常會遇到有關圓錐曲線的焦半徑問題.解答這類問題，往往要求得焦半徑的長或者表達式.下面主要談一談有關圓錐曲線的焦半徑公式的證明與用法

一、對圓錐曲線的焦半徑公式的證明

1.橢圓的焦半徑公式

如圖 1，設橢圓的方程為 x 2 a2 + y2 b 2 = 1（a gt; b gt; 0） ，左焦點為 F1（-c，0） ，右焦點為 F2（c，0） ，點 P 為橢圓上的任意一點，則 |PF | 1 = a + ex0 ，|PF | 2 = a - ex0 ，這兩個公式被稱為橢圓的焦半徑公式.

證明

若已知橢圓的長半軸長 a 和離心率 e ，以及橢圓上一點 P 的橫坐標，則可以直接根據(jù)橢圓的焦半徑公式求出橢圓的焦半徑.

2.雙曲線的焦半徑公式

如圖2，設雙曲線的方程為 x 2 a2 - y2 b 2 = 1（a gt; 0，b gt; 0），左焦點為 F1（-c，0） ，右焦點為 F2（c，0） ，點 P 為橢圓上的任意一點，則 |PF | 1 = | a + ex | 0 ，|PF | 2 = | a - ex | 0 ，這兩個公式被稱為雙曲線的焦半徑公式.

證明

若已知雙曲線的實半軸長 a 和離心率 e ，以及雙曲線上一點 P 的橫坐標，則可直接將其代入雙曲線的焦半徑公式中，求出雙曲線的焦半徑.

3.拋物線的焦半徑公式

設拋物線的方程為 y2 = 2px（p gt; 0） ，焦點為F? è ? ? ? ÷ p 2 ，0 ，點 P 為橢圓上的任意一點，則 |PF | = x0 + p 2 ，這一公式被稱為拋物線的焦半徑公式.

證明

若已知拋物線方程中的 p 以及拋物線上一點 P 的橫坐標，則可直接根據(jù)拋物線的焦半徑公式來求拋物線的焦半徑.

二、圓錐曲線的焦半徑公式的應用

圓錐曲線的焦半徑公式常用于求圓錐曲線的焦半徑、過焦點的弦長、焦點三角形的面積、曲線上某點的坐標等.在運用圓錐曲線的焦半徑公式解題時，要先確定圓錐曲線方程中的參數(shù) a 、p、離心率 e ，以及曲線上點 P 的橫坐標或縱坐標；然后將其代入公式中求解即可.

例1

解

解答本題，需先根據(jù)等腰三角形的性質得出 |F | 1F2 = | MF | 1 ，然后根據(jù)橢圓的方程求得焦距 |F | 1F2 = 8 ，再根據(jù)橢圓的焦半徑公式求得 | MF | 1 ，即可列出方程求出點 M 的橫坐標，進而根據(jù)橢圓的方程求出 M 的縱坐標.

例2

解

本題若采用常規(guī)方法求解，需根據(jù)雙曲線的定義和方程建立焦點三角形三邊之間的關系，解答的過程較為繁瑣.于是先根據(jù)雙曲線的焦半徑公式求得 |PF | 1 和 |PF | 2 ；再根據(jù)勾股定理列出方程，求出點 P 的橫坐標；最后將其代入雙曲線的方程，即可求出點 P 的縱坐標，得到點 P 到 x 軸的距離.

例3

解

顯然，|AF|、|BF| 是拋物線的焦半徑，于是直接根據(jù)拋物線的焦半徑公式建立方程，即可求得問題的答案.

由此可見，在解答與圓錐曲線焦點有關的距離、面積、點的坐標問題時，靈活運用圓錐曲線的焦半徑公式，可以有效地簡化運算，提升解題的速度.同學們要熟記這些公式，并將其適時應用于解題中，以提升解題的效率.

（作者單位：江蘇省天一中學）