兩類概率問(wèn)題的解法探究

常見(jiàn)的概率問(wèn)題有古典概型概率問(wèn)題和幾何概型概率問(wèn)題.概率問(wèn)題主要考查排列公式、組合公式、概率公式等知識(shí)的應(yīng)用.下面主要談一談古典概型和幾何概型概率問(wèn)題的解法.

一、古典概型的概率問(wèn)題

古典概型有兩個(gè)基本特征：有限性和等可能性，即基本事件的個(gè)數(shù)為有限個(gè)，且每個(gè)基本事件是等可能出現(xiàn)的.求解古典概型的概率問(wèn)題，需先分別求得事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)以及基本事件的總數(shù)，再利用古典概型的概率公式 P（A）= A包含的基本事件個(gè)數(shù)基本事件的總數(shù)求解，才能出事件A的概率.在求基本事件的個(gè)數(shù)時(shí)，我們可以采用列舉法、列表法、樹(shù)狀圖法等來(lái)弄清基本事件的總數(shù)，以及要求的事件所包含的基本事件數(shù).

例1.馬林·梅淼（MarinMersenne，1588-1648）是17 世紀(jì)法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家.梅森在歐幾里得、費(fèi)馬等人研究的基礎(chǔ)上對(duì)素?cái)?shù) 2p - 1作了大量的計(jì)算、驗(yàn)證工作，人們?yōu)榧o(jì)念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻(xiàn)，將形如 2p - 1 （其中p是素?cái)?shù)）的素?cái)?shù)，稱為梅森素?cái)?shù)（素?cái)?shù)也稱質(zhì)數(shù)）.在不超過(guò)40的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取3個(gè)不同的數(shù)，求至少有1個(gè)為梅森素?cái)?shù)的概率.

解：不超過(guò)40的素?cái)?shù)共有12個(gè)，分別為2，3，5，7， 11，13，17，19，23，29，31，37，其中梅森素?cái)?shù)有3個(gè)，分別為 3，7，31.從中隨機(jī)選取 3 個(gè)不同的素?cái)?shù)，共有 n = C3 12 = 220 種情況，則基本事件的總數(shù)為220.

3個(gè)素?cái)?shù)中至少有1個(gè)梅森素?cái)?shù)，共有 m = C3 3 + C2 3C1 9 +C1 3C2 9 = 136 種情況，

所以3個(gè)不同的素?cái)?shù)中至少有1個(gè)為梅森素?cái)?shù)的概率是 P = m n = 136 220 = 34 55 .

我們需先根據(jù)組合數(shù)公式求得不超過(guò)40的梅森素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)，即基本事件的總數(shù)，以及3個(gè)素?cái)?shù)中至少有1個(gè)梅森素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)，即該事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)；再利用古典概型概率的公式求解.在求基本事件的個(gè)數(shù)時(shí)，要注意任何兩個(gè)基本事件都是互斥的，且任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．

二、幾何概型的概率問(wèn)題

如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型.幾何概型具有兩個(gè)特征：（1）無(wú)限性，即可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限個(gè)；（2）等可能性.在解答幾何概型的概率問(wèn)題時(shí)，我們首先要仔細(xì)審題，讀懂題意，明確試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可否用長(zhǎng)度、面積、體積等表示；然后求出事件A所對(duì)應(yīng)的區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積），以及全部事件所對(duì)應(yīng)的區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積），最后利用幾何概型的概率公式 P（A）= 事件A所對(duì)應(yīng)的區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積） 全部事件所對(duì)應(yīng)的區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積） 求解.

例2.花窗是一種在窗洞中用鏤空?qǐng)D案進(jìn)行裝飾的建筑結(jié)構(gòu)，這是中國(guó)古代建筑中常見(jiàn)的美化形式，既具備實(shí)用功能，又帶有裝飾效果.下圖是一個(gè)花窗圖案，點(diǎn) E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA上的三等分點(diǎn)；點(diǎn)P， M，N，O分別為EF，F(xiàn)G，GH，HE上的三等分點(diǎn)；同樣，點(diǎn) Q，R，S，T分別為PM，MN，NO，OP上的三等分點(diǎn).若在大正方形中隨機(jī)取一點(diǎn)，求該點(diǎn)取自陰影部分的概率.

解

該花窗為正方形，陰影部分由三角形組成，可以在正方形中隨意選取一點(diǎn)，則試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用面積表示，于是分別求得正方形和陰影部分的面積，即可根據(jù)幾何概型的概率公式求得問(wèn)題的答案.

概率問(wèn)題對(duì)同學(xué)們的閱讀理解能力、抽象概括能力、化歸與轉(zhuǎn)化能力有著較高的要求.因此同學(xué)們不僅要讀懂題意，明確問(wèn)題的本質(zhì)，還要不斷積累解題經(jīng)驗(yàn)，提高理解、分析能力.

（作者單位：江蘇省奔牛高級(jí)中學(xué)）