2-(U+UPS)PU+UPU平動(dòng)機(jī)器人腿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)與力速性能分析

摘要：

以自由度少、末端無伴隨轉(zhuǎn)動(dòng)特征且控制復(fù)雜度低為設(shè)計(jì)目標(biāo)，提出了一種2-（U+UPS）PU+UPU串并混聯(lián)三自由度平動(dòng)機(jī)器人腿機(jī)構(gòu)?；谛坷碚摲治隽送炔繖C(jī)構(gòu)的活動(dòng)度并建立了腿部機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，仿真計(jì)算得到了腿部機(jī)構(gòu)的末端工作空間和姿態(tài)變化特性，推導(dǎo)了末端速度雅可比矩陣及力雅可比矩陣，分析得到速度和力學(xué)特性變化規(guī)律。開發(fā)了所提出腿部機(jī)構(gòu)的原型樣機(jī)，驗(yàn)證了其可行性。

關(guān)鍵詞：機(jī)器人腿；2-（U+UPS）PU+UPU機(jī)構(gòu)；運(yùn)動(dòng)學(xué)模型；速度性能；靜力學(xué)性能

中圖分類號：TP24

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2024.12.012

Design and Statics-Velocity Performance Analysis of

2-（U+UPS）PU+UPU Translational Robotic Legs

LUO Zirong XU Yuze CHEN Shanjun WANG Shengyin LU Zhongyue ZHU Yiming

College of Intelligence Science and Technology，National University of Defense Technology，

Changsha，410073

Abstract： With the objectives of low control complexity， no concomitant rotating features at the endpoint， and fewer degrees of freedom， the 2-（U+UPS）PU+UPU 3 DOF serial-parallel translational robotic leg was proposed. The leg mechanism’s mobility was analyzed and the kinematics model of the leg mechanisms was established based on the screw theory. The workspace and the posture properties of the endpoints were obtained through simulation. The velocity Jacobian matrix and the force Jacobian matrix were deduced， and the change rule of velocity and statics properties was analyzed and obtained. A prototype sample of the proposed leg mechanisms was developed， the feasibility was verified.

Key words： robotic leg； 2-（U+UPS）PU+UPU mechanism； kinematics model； velocity property； statics property

收稿日期：2024-04-22

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金（52175069）

0 引言

足式機(jī)器人具有優(yōu)越的地形適應(yīng)性和機(jī)動(dòng)性，在行星探測、災(zāi)害救援、山地運(yùn)輸和軍事應(yīng)用等復(fù)雜工況下具有巨大的應(yīng)用潛力。作為足式機(jī)器人的核心組成要素，腿部機(jī)構(gòu)對機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)能力起著決定性的作用。對腿部機(jī)構(gòu)進(jìn)行創(chuàng)新設(shè)計(jì)一直是足式機(jī)器人研究的熱點(diǎn)之一。

動(dòng)物腿部機(jī)構(gòu)具有優(yōu)異的生物力學(xué)性能，研究者們模擬有腿類動(dòng)物設(shè)計(jì)了各種仿生足式機(jī)器人。如AHN等［1］設(shè)計(jì)了具有33個(gè)自由度的擬人機(jī)器人；BADRI-SPRWITZ等［2］提出了仿鴕鳥腿的腿部機(jī)構(gòu)，其核心部件是一個(gè)多關(guān)節(jié)彈性耦合結(jié)構(gòu)。除此之外，還有模擬蜘蛛［3］和駱駝［4］等動(dòng)物開發(fā)的各種腿部機(jī)構(gòu)。采用結(jié)構(gòu)和功能仿生設(shè)計(jì)的腿部機(jī)構(gòu)具有較強(qiáng)的運(yùn)動(dòng)能力，其缺點(diǎn)是機(jī)構(gòu)較為復(fù)雜。

從降低機(jī)構(gòu)復(fù)雜度的角度出發(fā)，文獻(xiàn)［5-7］參考四足哺乳動(dòng)物和爬行動(dòng)物提出了具有三個(gè)主動(dòng)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的串聯(lián)式仿生腿；文獻(xiàn)［8］通過在小腿處設(shè)置棱柱副，進(jìn)一步增加了腿部的運(yùn)動(dòng)形式；文獻(xiàn)［9］提出了一種可重構(gòu)的串聯(lián)機(jī)器人腿；文獻(xiàn)［10］設(shè)計(jì)了一種基于串聯(lián)機(jī)構(gòu)的仿生張拉機(jī)械腿。串聯(lián)機(jī)構(gòu)機(jī)械結(jié)構(gòu)簡單，但精度較低，承載能力一般。同時(shí)，在自由度有限的情況下（自由度多，機(jī)構(gòu)的剛性較低），現(xiàn)有的基于串聯(lián)機(jī)構(gòu)的腿在三維空間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)會生成伴隨轉(zhuǎn)動(dòng)特征［11］，導(dǎo)致末端姿態(tài)變化，使足端只能以點(diǎn)接觸的形式與地面交互，降低了穩(wěn)定性。盡管在加入踝關(guān)節(jié)后，實(shí)現(xiàn)了足部與地面的面接觸，但腿部處于支撐相時(shí)，需要時(shí)刻改變踝關(guān)節(jié)的角度以適應(yīng)末端的姿態(tài)變化，導(dǎo)致末端控制復(fù)雜［12］。

從提高控制精度和負(fù)載能力的角度出發(fā)，有大量學(xué)者提出了基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的腿部機(jī)構(gòu)。文獻(xiàn)［13］提出基于倒置3-3Stewart平臺的雙足機(jī)器人；文獻(xiàn)［14］提出了基于修改的Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)機(jī)器人腿；文獻(xiàn)［15］提出了基于五并聯(lián)桿的仿螃蟹機(jī)器人腿；文獻(xiàn)［16］提出了七連桿腿部機(jī)構(gòu)。進(jìn)一步，文獻(xiàn)［17-19］提出了其他特殊機(jī)構(gòu)的并聯(lián)機(jī)器人腿。與串聯(lián)機(jī)構(gòu)相比，并聯(lián)機(jī)構(gòu)承載能力強(qiáng)，且可以在有限的自由度（三自由度）下實(shí)現(xiàn)末端姿態(tài)不變化［20］，但其控制過于復(fù)雜，且機(jī)構(gòu)龐大，緊湊型較弱。

綜上，現(xiàn)有的基于串聯(lián)或并聯(lián)機(jī)構(gòu)的機(jī)器人腿優(yōu)劣勢十分明顯，而結(jié)合串聯(lián)和并聯(lián)機(jī)構(gòu)而產(chǎn)生的串并混聯(lián)機(jī)構(gòu)則可以在發(fā)揮兩種機(jī)構(gòu)優(yōu)勢的同時(shí)規(guī)避它們的劣勢［21-23］，因此，開發(fā)一款自由度少，末端無伴隨轉(zhuǎn)動(dòng)特征（末端控制復(fù)雜度低），同時(shí)具有一定承載能力的串并混聯(lián)腿部機(jī)構(gòu)十分有意義。

本文以此為設(shè)計(jì)目標(biāo)，提出一種2-（U+UPS）PU+UPU串并混聯(lián)合三自由度平動(dòng)機(jī)器人腿機(jī)構(gòu)，其足端可以在三維空間全向運(yùn)動(dòng)，且保持末端姿態(tài)恒定，P副驅(qū)動(dòng)使機(jī)構(gòu)具備一定的承載能力；分析了機(jī)構(gòu)的活動(dòng)度，并建立了運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，對比了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算成本，繪制了工作空間，建立了機(jī)構(gòu)速度和靜力學(xué)模型，分析得到了速度和力學(xué)特性變化規(guī)律；最后開發(fā)了原型樣機(jī)驗(yàn)證了所提出機(jī)構(gòu)的可行性。

1 機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)及運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

1.1 機(jī)器人腿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

2-（U+UPS）PU+UPU平動(dòng)機(jī)器人腿三維模型和機(jī)構(gòu)簡圖見圖1。兩組（U+UPS）PU分支在髖關(guān)節(jié)板的U副的回轉(zhuǎn)中心的連線共面且相互垂直，并過UPU支鏈在髖關(guān)節(jié)板的回轉(zhuǎn)中心；在膝足關(guān)節(jié)板的U副呈類似布置形式。兩組（U+UPS）PU分支的UPU支鏈與整腿機(jī)構(gòu)的UPU支鏈的P副相互平行，并為同步P副。

為便于分析，設(shè)定H1K1H2K2H3K3空間閉環(huán)機(jī)構(gòu)沿軸α1和軸α2轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)角分別為α和β。機(jī)構(gòu)各桿件尺寸及運(yùn)動(dòng)范圍見表1，表1中LH1H3表示點(diǎn)H1到點(diǎn)H2的距離，其余同類符號所表示物理含義與此類似。

1.2 活動(dòng)度分析

建立如圖2所示去除（U+UPS）PU分支的UPS支鏈的2-（U+UPS）PU+UPU平動(dòng)機(jī)器人腿機(jī)構(gòu)簡圖。設(shè)定腿部機(jī)構(gòu)的初始位姿為

H1K1H2K2H3K3，空間閉環(huán)機(jī)構(gòu)相對髖關(guān)節(jié)板完全垂直向下，同步P副處于完全伸長狀態(tài)。在U副H3的中心點(diǎn)建立固定坐標(biāo)系OhXhYhZh，Xh軸與H1H3共線，Yh軸與H2H3共線，Zh軸沿垂直方向向下。在U副K3的中心點(diǎn)建立固定坐標(biāo)系OkfXkfYkfZkf，各軸與坐標(biāo)系OhXhYhZh的各軸同向。

設(shè)定在初始位姿下支鏈H3H1K1K3的四個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)旋量為S1i（i=1，2，3，4），同理，對應(yīng)的轉(zhuǎn)角為θ1i。進(jìn)一步，得到支鏈H3H1K1K3各旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的單位矢量ω1i，并取其上一點(diǎn)q1i，見表 2。

結(jié)合表2，根據(jù)旋量表達(dá)式S=［ω v］T（v表示線速度，v=q×ω）可計(jì)算得支鏈H3H1K1K3運(yùn)動(dòng)旋量系：

SH3H1K1K3=

S1=（0，1，0，0，0，0）T

S2=（1，0，0，0，0，-LH1H3）T

S3=（1，0，0，0，LH3K3，-LH1H3）T

S4=（0，1，0，-LH3H3，0，0）T（1）

互易得其約束旋量系：

SrH3H1K1K3=

Sr11=（0，0，0，0，0，1）T

Sr12=（0，0，1/LH1H3，1，0，0）T（2）

剩余兩條支鏈同理，分別得到其約束旋量系：

SrH3H2K2K3=

Sr21=（0，0，0，0，0，1）T

Sr22=（0，0，1/LH1H3，0，-1，0）T（3）

SrH3K3=

Sr21=（0，0，0，0，0，1）T

Sr22=（0，0，1，0，0，0）T（4）

式（2）～式（4）構(gòu)成2-（U+UPS）PU+UPU平動(dòng)機(jī)器人腿機(jī)構(gòu)的約束旋量多重集，對該多重集求互易得到機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)旋量系：

Ssp=

Ssp1=（0，0，0，1，0，0）T

Ssp2=（0，0，0，0，1，0）T（5）

沿Z軸方向的移動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)旋量為

Ssp3=（0，0，0，0，0，1）T（6）

綜上，2-（U+UPS）PU+UPU平動(dòng)機(jī)器人腿機(jī)構(gòu)共有3個(gè)平動(dòng)活動(dòng)度。

1.3 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

2-（U+UPS）PU+UPU平動(dòng)機(jī)器人腿機(jī)構(gòu)在初始位姿下點(diǎn)Okf的位姿為

M=I3OhPOkf

01（7）

OhPOkf=［0 0 LH3K3］T

式中，I3為單位矩陣。

進(jìn)一步地，結(jié)合指數(shù)積公式T=（∏ni=1es^θ）M，

es^θ=eω^θ（I-eω^θ（ω×v）+ωωTvθ）

01和羅德里格斯公式eω^θ=I3+ω^sin θ+ω^2（1-cos θ）［24］，計(jì)算得到支鏈H3H1K1K3的位置模型T1。

同理可以得到其余兩條支鏈的位置模型T2、T3。由于三支鏈的末端位姿相同，所以

T1=T2=T3（8）

整理后，最終得到驅(qū)動(dòng)簡化后2-（U+UPS）PU+UPU平動(dòng)機(jī)器人腿末端的位置模型為

P=（PFx，PFy，PFz）

PFx=（LH3K3+ΔLH3K3）sin β1+cos2βtan2α

PFy=-（LH3K3+ΔLH3K3）cos βtan α1+cos2βtan2α

PFz=-（LH3K3+ΔLH3K3）cos β1+cos2βtan2α（9）

式中，ΔLH3K3為桿 H3K3的長度變化值。

因?yàn)辄c(diǎn)C1、C2分別在伸縮桿H1K1和伸縮桿H2K2的殼體上，故同理可以得到C1、C2兩點(diǎn)的位置模型PC1和PC2。根據(jù)圖1b各桿件的位置關(guān)系可知：H3C1=PC1，H3C2=PC2。

進(jìn)一步，根據(jù)矢量關(guān)系可知：

H3C1-H3H′1=H′1C1

H3C2-H3H′2=H′2C2（10）

由式（10）可以得到轉(zhuǎn)角α、β與LH′1C1、LH′2C2在固定坐標(biāo)系OhXhYhZh下的矢量方程：

LA′1C1=‖H3C1-H3H′1‖

LA′2C2=‖H3C2-H3H′2‖

（11）

式中，‖·‖表示二范數(shù)。

解方程組即可得到轉(zhuǎn)角α、β與LH′1C1、LH′2C2的關(guān)系方程：

αβ=JvlLH′1C1LH′2C2（12）

式中，Jvl為［α β］T與［LH′1C1 LH′2C2］T之間的轉(zhuǎn)換矩陣。

聯(lián)立式（9）和式（12），即可得到2-（U+UPS）PU+UPU平動(dòng)機(jī)器人腿末端點(diǎn)與LH′1C1 、LH′2C2和LH3K3之間的關(guān)系：

P=（PFx，PFy，PFz）

PFx=fy（LH′1C1，LH′2C2，LH3K3）

PFy=fy（LH′1C1，LH′2C2，LH3K3）

PFz=fz（LH′1C1，LH′2C2，LH3K3）（13）

進(jìn)一步，通過Solidworks的Motion分析插件仿真驗(yàn)證運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性。給定由高階樣條曲線確定的末端軌跡如下：

x=Lsx（6t5T5-15t4T4+10t3T3）

y=Lsy（6t5T5-15t4T4+10t3T3）

z=Hs（-64t6T6+192t5T5-192t4T4+64t3T3）

（14）

式中，Lsx、Lsy、Hs、T分別為x方向步長、y方向步長、步高和邁步周期。

設(shè)定Ls為步長，根據(jù)幾何關(guān)系，有Ls=（L2sx+L2sy）。

給定一組運(yùn)動(dòng)參數(shù)：Ls=100 mm，Lsx=Lsy，Hs=50 mm，T=5 s。當(dāng)t=0時(shí)，機(jī)器人腿位于初始位置（α=0，β=0，L H3K3=310 mm）。根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解模型得到各P副的長度變化函數(shù)，將其作為驅(qū)動(dòng)函數(shù)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真分析，如圖 3所示，其中黑色曲線為末端軌跡。圖4所示為腿部機(jī)構(gòu)末端在坐標(biāo)系OhXhYhZh下在各方向上的位移ΔS隨時(shí)間的理論及仿真變化情況，其結(jié)果是一致的，證明了本節(jié)所建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型是正確的。

1.4 末端工作空間和姿態(tài)分析

根據(jù)建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和表1設(shè)計(jì)參數(shù)，利用MATALB軟件繪制2-（U+UPS）PU+UPU平動(dòng)機(jī)器人腿末端工作空間（圖5）。

由圖5a可以看出，工作空間整體為由兩個(gè)同心球弧面包絡(luò)而成，球弧面的半徑不同?？臻g連續(xù)性好，適宜作為機(jī)器人進(jìn)行邁步及抬腿等運(yùn)動(dòng)。圖5b為足端在三維空間全向運(yùn)動(dòng)姿態(tài)示意圖，可以發(fā)現(xiàn)，隨著腿部的運(yùn)動(dòng)，足端可以在三維空間全向運(yùn)動(dòng)且保持末端姿態(tài)恒定，2-（U+UPS）PU分支的UPU支鏈和整機(jī)機(jī)構(gòu)的UPU支鏈的P副的運(yùn)動(dòng)與2-（U+UPS）PU分支的運(yùn)動(dòng)是相互獨(dú)立的，上述兩個(gè)特性可簡化腿部機(jī)構(gòu)控制，同時(shí)具備并聯(lián)機(jī)構(gòu)的承載能力。

腿部機(jī)構(gòu)足端在x方向上可以實(shí)現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)范圍為-308 mm≤x≤116 mm，在y方向上可以實(shí)現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)范圍為-116 mm≤y≤308 mm，在z方向上可以實(shí)現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)范圍為0≤z≤-265 mm。即可以實(shí)現(xiàn)的極限步長約為481.3 mm，極限步高約為265 mm。根據(jù)文獻(xiàn)［25］，人大腿和小腿長度的比值約為1.24，根據(jù)表 1，2-（U+UPS）PU+UPU平動(dòng)機(jī)器人腿的最大長度為342 mm，等比計(jì)算可得，在最大長度相同的情況下，人腿的大腿約為188.2 mm，小腿約為151.7 mm；參考文獻(xiàn)［26］，膝關(guān)節(jié)在伸直狀態(tài)下，人腿髖關(guān)節(jié)后展至前屈的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍約為-20°～75°；在膝關(guān)節(jié)彎曲時(shí)，髖關(guān)節(jié)的屈曲范圍約為0°～140°。由三角函數(shù)關(guān)系計(jì)算可知，在腿部最大長度相同的情況下，人腿可以實(shí)現(xiàn)的極限步長約為438.3 mm，極限步高約為332 mm。與人腿相比，2-（U+UPS）PU+UPU平動(dòng)機(jī)器人腿可以實(shí)現(xiàn)相對更大的步長及較小的步高。具體對比見圖6。

2 機(jī)器人腿力速性能分析

2.1 速度性能分析

腿部機(jī)構(gòu)的末端在不同位置時(shí)，其速度特性是不一樣的。找到速度性能較高的工作空間，對基于2-（U+UPS）PU+UPU平動(dòng)機(jī)器人腿的足式機(jī)器人的末端軌跡規(guī)劃具有重要意義。

現(xiàn)有的運(yùn)動(dòng)性能指標(biāo)中，雅可比矩陣條件數(shù)可以更直接地反映機(jī)構(gòu)末端在工作空間內(nèi)不同位置處的相對速度性能［27-28］。

2-（U+UPS）PU+UPU平動(dòng)機(jī)器人腿的速度雅可比矩陣可以通過對式（13）求偏導(dǎo)得到：

vF=JFvL=

PFxLH′1C1

PFxLH′2C2

PFxΔLH3K3

PFyLH′1C1

PFyLH′2C2

PFyΔLH3K3

PFzLH′1C1

PFzLH′2C2

PFzΔLH3K3

L·H′1C1

L·H′2C2

L·H3K3（15）

式中，vF、vL分別為2-（U+UPS）PU+UPU平動(dòng)機(jī)器人腿末端和各P副的速度；JF為vF、vL之間的轉(zhuǎn)換矩陣。

根據(jù)文獻(xiàn)［27-28］可知雅可比矩陣條件數(shù)公式為

k（JF）=σFmaxσFmin（16）

式中，σFmax、σFmin分別為JF的最大奇異值及最小奇異值。

雅可比矩陣條件數(shù)越趨近于1，機(jī)構(gòu)在空間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能更好［27-28］。

基于2-（U+UPS）PU+UPU平動(dòng)機(jī)器人腿的特殊構(gòu)型，當(dāng)LH3F的長度不變時(shí)，其末端的工作平面為一個(gè)球弧面。為了更方便地建立2-（U+UPS）PU+UPU平動(dòng)機(jī)器人腿的速度性能變化情況，本節(jié)按照不同的ΔLH3K3長度繪制不同球弧面的速度性能變化情況，見圖 7。

從圖7a中可以看出，在不同的球弧面內(nèi)，2-（U+UPS）PU+UPU平動(dòng)機(jī)器人腿的速度性能指標(biāo)變化平滑且柔順，不存在突變，機(jī)構(gòu)的整體靈活性較高。同時(shí)，在中心區(qū)域，指標(biāo)k（JF）數(shù)值較小，機(jī)構(gòu)的速度性能較好。

根據(jù)圖7b，當(dāng)末端點(diǎn)的x、y坐標(biāo)相同時(shí)，隨著z坐標(biāo)值的增大，指標(biāo)k（JF）數(shù)值減小，機(jī)器人腿的速度性能逐漸變好（末端點(diǎn)的x、y坐標(biāo)相同時(shí)，z坐標(biāo)值隨著LH3K3長度的增大而增大）。同時(shí)隨著ΔLH3K3的增大，指標(biāo)k（JF）數(shù)值同樣有所減小，腿部機(jī)構(gòu)的速度性能呈現(xiàn)一定的變好趨勢。

由上述分析可知，當(dāng)機(jī)構(gòu)的末端位于中心區(qū)域，且ΔLH3K3較大時(shí)，機(jī)構(gòu)可以具有更優(yōu)的速度性能。

2.2 靜力學(xué)性能分析

足式機(jī)器人通常是在負(fù)重情況下運(yùn)動(dòng)的，腿部機(jī)構(gòu)的末端在不同位置時(shí)，其力性能是不一樣的，因此分析足式機(jī)器人在工作空間內(nèi)的靜力學(xué)性能十分必要。

2-（U+UPS）PU+UPU平動(dòng)機(jī)器人腿的力雅可比矩陣JFF可以通過對速度雅可比矩陣轉(zhuǎn)置求逆得到［29］：

JFF=（JTF）-1（17）

式中，JF為速度雅可比矩陣。

由虛功原理可知，2-（U+UPS）PU+UPU平動(dòng)機(jī)器人腿的末端執(zhí)行器功率等于其P副的功耗：

FTevF=FTecvL（18）

式中，F(xiàn)e為末端輸出力；Fec為各P副的輸入力；vF、vL分別為2-（U+UPS）PU+UPU平動(dòng)機(jī)器人腿末端和各P副的速度。

聯(lián)立式（15）和式（18），可得2-（U+UPS）PU+UPU平動(dòng)機(jī)器人腿力學(xué)關(guān)系為

Fe=JFFFec=（JTF）-1Fec（19）

式中，JFF為力雅可比矩陣；Fec為各P副的輸入力；JF為速度雅可比矩陣。

參考文獻(xiàn)［23］，根據(jù)范數(shù)理論，對式（19）取2范數(shù)可以得到2-（U+UPS）PU+UPU平動(dòng)機(jī)器人腿輸出力的評價(jià)方程：

‖F(xiàn)e‖2=FTecJTFFJFFFec（20）

從便于分析的角度考慮，設(shè)定2-（U+UPS）PU+UPU平動(dòng)機(jī)器人腿輸入力為單位矢量，引用拉格朗日算子κff得

L=FTec（JTFFJFF）Fec-κff（FTecFec-1）（21）

根據(jù)極值條件

LFec=（JTFFJFF）Fec-κffFec=0（22）

進(jìn)一步得到輸出力極值為

‖F(xiàn)e‖max=κffmax

‖F(xiàn)e‖min=κffmin（23）

設(shè)定極大值為力傳遞性能指標(biāo)k1（JFF），極值差與極大值的比值為力均衡性能指標(biāo)k2（JFF），即

k1（JFF）=‖F(xiàn)e‖max

k2（JFF）=（‖F(xiàn)e‖max-‖F(xiàn)e‖min）/‖F(xiàn)e‖max（24）

從機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的角度看，往往需要在較小輸入力的情況下獲得更大的輸出力。位姿不同時(shí)更小的輸出力極值差可以使機(jī)構(gòu)具有更好的使用性能。因此k1（JFF）越大越好，k2（JFF）越小越好。

類比速度分析，按照ΔLH3K3長度的不同繪制不同球弧面靜力學(xué)性能變化情況，見圖 8。

由圖8a可以看出，在不同的球弧面內(nèi)，2-（U+UPS）PU+UPU平動(dòng)機(jī)器人腿的力傳遞性能指標(biāo)變化平滑且柔順，不存在突變，機(jī)構(gòu)的整體力傳遞性能較好。

進(jìn)一步，根據(jù)圖8b，隨著ΔLH3K3的增大，力傳遞性能指標(biāo)明顯變小，即機(jī)構(gòu)的力傳遞能力明顯變?nèi)酰煌瑫r(shí)，在靠近邊緣區(qū)域力傳遞性能指標(biāo)較好，該特性恰好可以滿足腿工作在邊緣區(qū)域的負(fù)載需求。

由圖8c和圖8d可以看出，隨著ΔLH3K3的增大，力均衡性能指標(biāo)有所減小，力均衡性能有一定的增強(qiáng)；在中心區(qū)域，機(jī)構(gòu)的整體力均衡性能明顯較強(qiáng)。

綜上，當(dāng)ΔLH3K3較小時(shí)，機(jī)構(gòu)明顯具有更好的力傳遞性能。將腿部末端規(guī)劃在中心區(qū)域可以使機(jī)構(gòu)獲得更好的力均衡性能，機(jī)構(gòu)使用性更強(qiáng)，力傳遞的穩(wěn)定性更強(qiáng)。

綜合圖8a～圖8d可以發(fā)現(xiàn)，與力均衡性指標(biāo)相比，隨著ΔLH3K3的增大，力傳遞性能在球弧面內(nèi)的變化較緩，說明機(jī)構(gòu)在腿伸長時(shí)力傳遞性能具有較好的一致性，可以在更大的工作空間滿足力學(xué)要求。

本節(jié)對2-（U+UPS）PU+UPU平動(dòng)機(jī)器人腿的力速性能進(jìn)行了分析，未來可以根據(jù)不同的使用目標(biāo)（機(jī)器人需要更強(qiáng)的速度性能或力學(xué)性能）對機(jī)構(gòu)的末端軌跡位置進(jìn)行規(guī)劃。

3 2-（U+UPS）PU+UPU平動(dòng)機(jī)器人腿機(jī)構(gòu)原型樣機(jī)研制

為驗(yàn)證所提出機(jī)構(gòu)的實(shí)際可行性，筆者設(shè)計(jì)并開發(fā)了2-（U+UPS）PU+UPU平動(dòng)機(jī)器人腿的原型樣機(jī)。

圖9a和圖9b所示分別為2-（U+UPS）PU+UPU平動(dòng)機(jī)器人腿機(jī)構(gòu)原型樣機(jī)三維模型及樣機(jī)實(shí)體。其電機(jī)為大疆公司生產(chǎn)的M2006直流無刷電機(jī)，電缸為FESTO公司生產(chǎn)的EPCC-BS-32-100-3P-A型電缸，腿部機(jī)構(gòu)其余各桿件均為3D打印件。電機(jī)與電缸通過直齒輪來傳遞動(dòng)力。

使用Nokov動(dòng)作捕捉系統(tǒng)對機(jī)器人腿的末端運(yùn)動(dòng)進(jìn)行監(jiān)測，以驗(yàn)證所提出機(jī)構(gòu)的實(shí)際可行性，如圖10所示。相關(guān)運(yùn)動(dòng)參數(shù)與1.3節(jié)仿真驗(yàn)證部分一致。

圖11所示為Nokov動(dòng)作捕捉系統(tǒng)監(jiān)測軟件Seeker的輸出窗口，粉色曲線為實(shí)驗(yàn)所得末端軌跡。軌跡整體平滑且穩(wěn)定。將數(shù)據(jù)導(dǎo)出，利用MATLAB軟件繪制末端變化的理論曲線與實(shí)驗(yàn)曲線對比圖（圖12），可以看出實(shí)驗(yàn)曲線與理論曲線基本一致，在x方向上最大誤差為1.3 mm，平均誤差為0.6 mm；在y方向上最大誤差為1.5 mm，平均誤差為0.7 mm；在z方向上最大誤差為0.8 mm，平均誤差為0.3 mm，證明2-（U+UPS）PU+UPU平動(dòng)機(jī)器人腿具有實(shí)際可行性。同時(shí)發(fā)現(xiàn)，機(jī)構(gòu)在x方向和y方向上的平均誤差明顯大于z方向上的平均誤差，表明控制機(jī)構(gòu)沿x和y方向運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)側(cè)向推桿的相關(guān)零部件裝配和制造精度較低。未來將對樣機(jī)機(jī)構(gòu)作進(jìn)一步的優(yōu)化，重點(diǎn)對兩個(gè)側(cè)向推桿相關(guān)部件的加工制造及裝配進(jìn)行嚴(yán)格控制，以提高末端運(yùn)動(dòng)精度。同時(shí)，本次實(shí)驗(yàn)的運(yùn)動(dòng)控制方法為位置控制，未來考慮構(gòu)建機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，使用力位混合控制，并通過定向的誤差補(bǔ)償來降低誤差值。

進(jìn)一步，通過監(jiān)測腿部在不同負(fù)載下沿不同方向運(yùn)動(dòng)時(shí)的末端誤差來驗(yàn)證力速性能分析相關(guān)結(jié)論。

實(shí)驗(yàn)共6組，腿部機(jī)構(gòu)分別在無負(fù)載和1 kg負(fù)載情況下沿三個(gè)不同的方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向分別為在坐標(biāo)系OhXhYhZh下沿-Xh方向，沿Yh方向和沿上述兩個(gè)方向的角平分線方向。末端運(yùn)動(dòng)軌跡見式（14），運(yùn)動(dòng)參數(shù)為步長Ls=（L2sx+L2sy）=100 mm，步高Hs=50 mm， 邁步周期T=5 s。當(dāng)t=0時(shí)，機(jī)器人腿位于初始位置（α=0，β=0，LH3K3=310 mm）。設(shè)ΔLs表示Ls的改變量（末端相對其初始位置的水平距離），ΔHs表示Hs的改變量（末端相對其初始位置的垂直距離）。圖13為腿部沿Yh方向的運(yùn)動(dòng)示意圖，末端在A點(diǎn)時(shí)，腿部處于初始位置。隨著ΔLs的增大，末端逐漸遠(yuǎn)離工作空間中心區(qū)域，直至運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)。末端運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)附近時(shí)，ΔHs較大（ΔLs在50 mm左右），此時(shí)LH3K3較小，即ΔLH3K3較小。

圖14分別顯示了腿部末端在x、y、z三個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)誤差。由圖14a和圖14b可以看出，當(dāng)ΔLs較小時(shí)（距離工作空間中心區(qū)域較近處），在不同方向和不同負(fù)載下，末端在x方向和y方向上的運(yùn)動(dòng)誤差較小且變化不大，

即腿部的力速性能較好；隨著ΔLs增大（逐漸遠(yuǎn)離工作空間中心區(qū)域），誤差值逐漸變大，且相對無負(fù)載運(yùn)動(dòng)，有負(fù)載運(yùn)動(dòng)的誤差更大，證明在遠(yuǎn)離中心區(qū)域后，機(jī)構(gòu)的力速性能較差。如圖14c所示，在ΔHs較大區(qū)域（ΔLs在50 mm左右），即ΔLH3K3較小時(shí)，末端在z方向上的運(yùn)動(dòng)誤差較大，且在有負(fù)載的情況下，誤差更大，證明ΔLH3K3較小時(shí)，腿部的速度性能和力傳遞穩(wěn)定性較差。上述結(jié)果符合第2節(jié)力速性能分析的相關(guān)結(jié)論。

4 結(jié)論

（1）本文提出了一種2-（U+UPS）PU+UPU串并混聯(lián)平動(dòng)機(jī)器人腿，介紹了腿部機(jī)構(gòu)三維模型，基于旋量理論分析了機(jī)構(gòu)的活動(dòng)度，證明了機(jī)構(gòu)的末端無伴隨轉(zhuǎn)動(dòng)特征；然后建立了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，基于模型數(shù)值計(jì)算得到機(jī)構(gòu)末端工作空間，表明機(jī)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)的極限步長為466.7 mm，極限步高為255 mm。

（2）分析了2-（U+UPS）PU+UPU平動(dòng)機(jī)器人腿的速度及靜力學(xué)性能。結(jié)果顯示，當(dāng)機(jī)構(gòu)的末端位于中心區(qū)域時(shí)，機(jī)構(gòu)可以具有更好的速度性能和力傳遞穩(wěn)定性。當(dāng)ΔLH3K3較小時(shí)，機(jī)構(gòu)速度性能和力傳遞穩(wěn)定性較差，但力傳遞性能相對較好。將腿部末端規(guī)劃在中心區(qū)域可以使機(jī)構(gòu)獲得更好的力均衡性能，機(jī)構(gòu)實(shí)用性更強(qiáng)，力傳遞的穩(wěn)定性也更好。同時(shí)，在腿伸長時(shí)力傳遞性能具有較好的一致性，可以在更大的工作空間滿足力學(xué)要求。

（3）研制了2-（U+UPS）PU+UPU平動(dòng)機(jī)器人腿的原型樣機(jī)，并通過Nokov動(dòng)作捕捉系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)作捕捉，驗(yàn)證了原型樣機(jī)的可行性。

在未來的工作中，考慮建立2-（U+UPS）PU+UPU平動(dòng)機(jī)器人腿的動(dòng)力學(xué)模型，研制基于該腿部機(jī)構(gòu)的多足機(jī)器人，并聚焦于開發(fā)多足機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制算法。

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（編輯 王艷麗）

作者簡介：

羅自榮，男，1974年生，教授、博士研究生導(dǎo)師。研究方向?yàn)闊o人系統(tǒng)平臺與動(dòng)力、智能機(jī)器人與仿生機(jī)械。發(fā)表論文60余篇。 E-mail：luozirong@nudt.edu.cn。徐毓?jié)桑ㄍㄐ抛髡撸?，男?992年生，博士研究生。研究方向?yàn)闊o人系統(tǒng)平臺與動(dòng)力、足式機(jī)器人機(jī)械設(shè)計(jì)與運(yùn)動(dòng)控制。發(fā)表論文10余篇。E-mail：xuyuze_nudt@sina.com。