初中數(shù)學(xué)有關(guān)圓的解題教學(xué)實(shí)踐

【摘要】圓屬于初中數(shù)學(xué)課程中的一項(xiàng)重要內(nèi)容，雖然學(xué)生在小學(xué)時(shí)期就有接觸，但初中階段圓的相關(guān)知識(shí)難度與深度均有提升，對(duì)他們的學(xué)習(xí)能力有著更高要求．再加上圓不僅特殊，相關(guān)題型同樣特殊，還會(huì)涉及其他幾何圖形與元素，解題難度增大，對(duì)其的觀察能力、思維水平和運(yùn)算能力均有著較高要求．基于此，本文主要對(duì)初中數(shù)學(xué)有關(guān)圓的解題教學(xué)進(jìn)行深入分析和研究，同時(shí)分享一些解題實(shí)例以供參考．

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；圓；解題技巧

在初中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，教師需高度重視有關(guān)圓的題目，雖然題型變化多樣，但是“萬變不離其宗”，終歸考查的是圓的相關(guān)知識(shí)，教師可開展專題訓(xùn)練，組織學(xué)生共同總結(jié)圓的解題技巧，使其掌握更多解題竅門，為中考做準(zhǔn)備．

1 運(yùn)用圓的基礎(chǔ)知識(shí)，解答定值試題

圓作為一種比較常見的幾何圖形，是平面幾何中基本圖形之一，具有多個(gè)獨(dú)特的性質(zhì)與規(guī)律．如圓是定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合；圓的內(nèi)部可以看作是圓心距離小于半徑的點(diǎn)的集合；圓的外部能夠看作是圓心距離大于半徑的點(diǎn)的集合；同圓或等圓的半徑相等．在初中數(shù)學(xué)有關(guān)圓的解題教學(xué)中，教師在平時(shí)教學(xué)中幫助學(xué)生理解與掌握?qǐng)A的性質(zhì)與規(guī)律，帶領(lǐng)他們求解有關(guān)定值的問題，使其通過逐步推導(dǎo)論證的方式解題，無需過多運(yùn)算[1]．

例1 已知有一個(gè)⊙O，CD是⊙O的一條弦，AB是該圓的一條直徑，其中AB與CD是垂直關(guān)系，垂足為E點(diǎn)，如果AB=10，CD=8，那么AE的值是什么？

解 根據(jù)題意畫出圖1，連接OC，

因?yàn)椤袿的直徑AB=10，

所以O(shè)A=OB=OC=5，

又因?yàn)锳B⊥CD，

所以E點(diǎn)是弦CD的中點(diǎn)，

由于CD=8，

則CE=DE=4，

在直角三角形OCE中，結(jié)合勾股定理可得OC2=CE2+OE2

代入相關(guān)數(shù)值后求得OE=3，

這時(shí)AE=OA－OE=5－3=2，

另外一種情況如圖2所示，

AE=OA+OE=5+3=8，

所以AE的值是2或者8．

2 根據(jù)實(shí)際解題需求，添加輔助線解題

縱觀當(dāng)前初中數(shù)學(xué)幾何題目，不少都與圓有所關(guān)聯(lián)，從基礎(chǔ)型到綜合型均有所涉及．對(duì)于基礎(chǔ)型題目，大多學(xué)生都能夠輕松處理，不過面對(duì)綜合型題目時(shí)，他們往往不知所措，無法快速找準(zhǔn)解題的突破口，不僅計(jì)算過程繁瑣，還容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．而且圓的題目通常會(huì)同其他平面幾何圖形或直線、函數(shù)等知識(shí)組合成比較復(fù)雜的試題，這時(shí)教師可提示學(xué)生根據(jù)實(shí)際需要添加一些輔助線，輔助他們順利求得結(jié)果，使其解題自信得以強(qiáng)化[2]．

例2 如圖3所示，兩個(gè)以O(shè)為圓心的同心圓半徑分別是a和b，且a<b，AC為小圓的直徑，點(diǎn)B位于小圓之上，直線BC同大圓相交于P，Q兩點(diǎn)，將線段AP，AQ分別連接起來，請(qǐng)證明：

（1）PB·BQ的值是一個(gè)定值；

（2）△APQ各邊的平方和是一個(gè)定值．

解 （1）過點(diǎn)B作大圓的直徑MN，與大圓分別相交于M，N兩點(diǎn)，

由此能夠得到PB·BQ=MB·BN，

根據(jù)題意可知MB=b－a，

BN=b+a，

則PB·BQ=MB·BN=（b－a）·（b+a）=b2－a2，

所以PB·BQ的值是一個(gè)定值．

（2）連接AB，

因?yàn)锳C是小圓的直徑，

所以AB⊥BC，

在Rt△ABP中，根據(jù)勾股定律可得

AP2=PB2+AB2，

在Rt△ABQ中，AQ2=BQ2+AB2，

所以在△APQ中，

AP2+AQ2+PQ2

=PB2+AB2+BQ2+AB2+（BQ+PB）2

=2（PB2+AB2+BQ2）+2BQ·PB

=2［AB2+（BQ-PB）2］+2BQ·PB

=2（AB2+BC2）+6BQ·PB

=2AC2+6BQ·PB

=2（2a）2+6（b2-a2）

=2a2+6b2，

所以△APQ各邊的平方和是一個(gè)定值．

3 歸納圓的相關(guān)知識(shí)，靈活解題

針對(duì)初中數(shù)學(xué)中圓的解題教學(xué)，為幫助學(xué)生更好地解題，教師需引領(lǐng)他們認(rèn)真歸納與圓有關(guān)的知識(shí)內(nèi)容，系統(tǒng)化地研究圓，包括圓心、半徑、直徑、弧、弦、圓心角、圓周角，點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系，正多邊形和圓的關(guān)系，以及圓的弧長與扇形面積等．在解題訓(xùn)練中，教師應(yīng)當(dāng)引領(lǐng)學(xué)生根據(jù)題目，靈活、恰當(dāng)?shù)剡x擇和使用圓的相關(guān)知識(shí)，使其確定最佳解題方案，形成簡潔、清晰的解題流程，促進(jìn)他們快速突破解題障礙[3]．

例3 如圖4所示，AB是半圓O的直徑，線段AP是經(jīng)過點(diǎn)A的半圓切線，在弧AB上面任意選擇一個(gè)不與A，B兩點(diǎn)重合的C點(diǎn)，過C點(diǎn)畫半圓的切線CD，與線段AP相交于D點(diǎn)，再過點(diǎn)C畫線段CE和直徑AB垂直，垂足為點(diǎn)E，把BD連接起來，同線段CE相交于F點(diǎn)，假如點(diǎn)C不是弧AB的中點(diǎn)，請(qǐng)證明CF=FE始終成立．

解 把BC連接起來，且加以延長，同AP相交于G點(diǎn)，連接AC，

因?yàn)锳D和CD都是半圓O的切線，

所以AD=CD，∠DAC=∠DCA，

又因?yàn)锳B是半圓O的直徑，

所以∠ACB=∠GCA=90°，

所以∠DGC+∠DAC=∠DCA+∠DCG=90°，

所以∠DGC=∠DCG，

所以在△GDC中，GD=DC，

因?yàn)锳D=CD，

所以AD=GD，

因?yàn)锳P是半圓O的切線，AB是半圓O的直徑，

所以AB⊥AP，

因?yàn)锳B⊥CE，

所以AP∥CE，

所以CFGD=BEAB=EFAD，

又因?yàn)锳D=GD，

所以CF=FE．

4 結(jié)語

總而言之，在初中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練活動(dòng)中，教師應(yīng)格外關(guān)注有關(guān)圓的試題，圍繞圓設(shè)計(jì)專題練習(xí)，組織學(xué)生認(rèn)真觀察、分析、研究和歸納圓的有關(guān)題目，深度挖掘題干和圖象中的有用信息及條件，以掌握牢固的圓的規(guī)律、定理和性質(zhì)等，尋找解題的切入點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際情況巧妙添加輔助線，使其找到更加簡潔與方便的解題思路，以此不斷提升他們的數(shù)學(xué)解題水平．

參考文獻(xiàn)：

[1]左朋法.初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中“圓”的解題解析[J].數(shù)理天地（初中版），2023（21）：26-27.

[2]陸燕.對(duì)初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的思考與優(yōu)化[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2023（20）：79-80.

[3]陳莉.新課標(biāo)背景下初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)策略[J].亞太教育，2023（17）：118-120.