“數(shù)形結(jié)合”巧解二次函數(shù)問(wèn)題

【摘要】二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教材中難度比較高的知識(shí)點(diǎn)，相對(duì)艱深晦澀，可能會(huì)給很多學(xué)生帶來(lái)學(xué)習(xí)障礙.想要解決二次函數(shù)問(wèn)題不能依靠生搬硬套定義和公式，而是需要巧借“數(shù)形結(jié)合”的理念，利用函數(shù)圖象反映數(shù)學(xué)問(wèn)題中的各個(gè)參數(shù)和條件，找到解題的入手點(diǎn).本文將從基礎(chǔ)訓(xùn)練、拓展提升、拔高練習(xí)的層面介紹用“數(shù)形結(jié)合”思想解決“二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)”相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，以供參考.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；二次函數(shù)問(wèn)題；初中數(shù)學(xué)

1 “數(shù)形結(jié)合”巧解二次函數(shù)問(wèn)題——“二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)”

1.1 基礎(chǔ)訓(xùn)練

（1）課前預(yù)習(xí)測(cè)試

教師要求學(xué)生提前預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，結(jié)合課內(nèi)外資源完成“預(yù)習(xí)反饋”任務(wù)卡.

函數(shù)y=x2的圖象開(kāi)口，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)是；在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而，在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而.

函數(shù)y=－x2的圖象開(kāi)口，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)是；在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而，在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而.

教師要求學(xué)生綜合教材給出的知識(shí)點(diǎn)及“預(yù)習(xí)反饋”任務(wù)卡填寫(xiě)內(nèi)容，嘗試畫(huà)出二次函數(shù)y=x2的圖象.學(xué)生在教師的指導(dǎo)下按照“列表→描點(diǎn)→連線”完成了這一任務(wù)，見(jiàn)表1.

y=x2的函數(shù)圖象如下：

1.2 拓展提升——y=（ k－1）x2的函數(shù)圖象

問(wèn)題1 要求學(xué)生在掌握y=ax2函數(shù)圖象繪制方法的基礎(chǔ)上，嘗試畫(huà)出y=－ax2（a＞0）的圖象，并且探究?jī)蓚€(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系.

根據(jù)圖2給出的函數(shù)圖象，學(xué)生可以總結(jié)出“這兩個(gè)二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)，開(kāi)口方向相反，開(kāi)口大小相同，關(guān)于x軸對(duì)稱”.

問(wèn)題2 嘗試畫(huà)出二次函數(shù)y=－12x2，y=－x2，？偆ay=－2x2的函數(shù)圖象，觀察三個(gè)函數(shù)圖象的開(kāi)口大小及其與a的大小之間的關(guān)系.

學(xué)生觀察圖象后發(fā)現(xiàn)：對(duì)于拋物線 y=ax2 ，當(dāng)a＜0時(shí)，a越小，開(kāi)口越小，即|a|越大，拋物線的開(kāi)口越小.

問(wèn)題3 觀察函數(shù)y=（ k－1）x2的圖象（如圖4），求k的取值范圍.

通過(guò)觀察函數(shù)圖象可以看出，該函數(shù)開(kāi)口向上，則k－1＞0，即k＞1.

1.3 拔高練習(xí)

經(jīng)過(guò)基礎(chǔ)訓(xùn)練和拓展提升環(huán)節(jié)的練習(xí)，學(xué)生已經(jīng)基本掌握了二次函數(shù)y=ax2函數(shù)圖象的畫(huà)法和性質(zhì)，也可以解決一些相關(guān)的基礎(chǔ)問(wèn)題.

問(wèn)題1 如圖5，直線y＝3x＋4與拋物線y＝x2交于A、B兩點(diǎn)，求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)以及兩交點(diǎn)與原點(diǎn)所圍成的三角形的面積.

由題意得y=3x+4y=x2，

解得x=4y=16或x=－1y=1，

通過(guò)計(jì)算可得兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（4，16）和B（－1，1）.

因?yàn)橹本€y＝3x＋4與y軸相交于點(diǎn)C（0，4），即CO＝4，

所以S△ACO=12×4×4=8，S△BOC=12×4×1=2，

所以S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.

問(wèn)題2 已知二次函數(shù)y＝2x2的圖象（見(jiàn)圖6），

（1）若點(diǎn)（－2，y1）與（3，y2）在此二次函數(shù)圖象上，則 y1 y2；（填“＞”“＝”或“＜”）；

（2）此二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，0），長(zhǎng)方形ABCD的頂點(diǎn)A、B在x軸上，C、D恰好在二次函數(shù)圖象上，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求圖中陰影部分的面積之和.

求解第（1）問(wèn)時(shí)可以按照如下步驟：

將（－2，y1）代入二次函數(shù)y＝2x2中，求得y1=2×（-2）2=8；

將（3，y2）代入二次函數(shù)y＝2x2中，求得y2=2×32=18；

因此y1＜y2.

求解第（2）問(wèn)時(shí)可以按照如下步驟：

因?yàn)槎魏瘮?shù)y＝2x2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)一樣，為2，

所以當(dāng)x＝2時(shí)，y＝2×22＝8．

因?yàn)閽佄锞€和長(zhǎng)方形都是軸對(duì)稱圖形，且y軸為它們的對(duì)稱軸，

所以在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)，左邊陰影部分面積等于右邊空白部分面積，

所以S陰影部分面積之和＝2×8＝16．

2 結(jié)語(yǔ)

根據(jù)分析和研究可以發(fā)現(xiàn)，“數(shù)形結(jié)合”的思想在引導(dǎo)學(xué)生解決二次函數(shù)相關(guān)問(wèn)題時(shí)可以產(chǎn)生比較好的效果.因此，教師可以基于教材整合的知識(shí)點(diǎn)和課堂教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)課后作業(yè)和能力訓(xùn)練數(shù)學(xué)問(wèn)題，使學(xué)生得以利用所學(xué)知識(shí)和自身能力循序漸進(jìn)地解決基礎(chǔ)訓(xùn)練、能力提升和拔高訓(xùn)練中給出的數(shù)學(xué)問(wèn)題，逐步挖掘自身潛力，找到正確的解題方向和方法，從而攻克二次函數(shù)的重難點(diǎn)知識(shí).當(dāng)學(xué)生掌握利用“數(shù)形結(jié)合”思想解決二次函數(shù)問(wèn)題的方法之后也可以基于這一理念舉一反三，解決其他方面的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

參考文獻(xiàn)：

[1]張程燕.數(shù)形結(jié)合巧運(yùn)用，零點(diǎn)分布妙化解——淺談對(duì)二次函數(shù)零點(diǎn)分布問(wèn)題解題教學(xué)的研究[J].數(shù)學(xué)之友，2021（01）：62-65.

[2]黃加陽(yáng).數(shù)形結(jié)合思想在解二次函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（11）：45-47.